Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn - Đại Học Xây Dựng

Bài giảng hay về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn TS Nguyễn Tiến Dũng, Đại Học Xây Dựng1 M ở đ ầ u 11.1 Ph ươn g p h á p p h ầ n tử h ữu h ạ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 2 C ơ sở te n sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 3 C h uyể n tr ục toạ đ ộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 4 Gi ả i tí ch vé c tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. 5 Đạ i số tuyế n tí n h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. 6 C ơ sở lý t h uyế t đ à n h ồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. 7 B à i tậ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Phương trình cơ sở và phương trình biến thiên 132 .1 Ph ươn g trì n h cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 .1.1 Th a n h ch ị u ké o n é n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 .1. 2 Th a n h ch ị u uốn n ga n g p h ẳ n g . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 .1. 3 Vậ t t h ể đ à n h ồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 .1. 4 Tấ m ch ị u uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 . 2 Th i ế t l ậ p p h ươn g trì n h bi ế n t h i ê n từ n guyê n lý côn g kh ả d ĩ . . . . 182.2.1 Nguyên lý công khả dĩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Thanh chịu kéo nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.4 Vật thể đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.5 Tấm chịu uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Thiết lập phương trình biến thiên từ phương pháp hàm thử . . . . 192.3.1 Thanh chịu kéo nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3 Vật thể đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4 Tấm chịu uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22ii i Mục lục3 H ệ t h a n h 233.1 Hàm chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3 Thanh chịu xoắn thuần tuý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Dạng ma trận của các bài toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Thanh chịu xoắn thuần tuý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Dàn phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Khung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.1 Thanh hai đầu nút cứng (NN) . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Thanh đầu trái là khớp, đầu phải là nút cứng (KN) . . . . . 403.4.3 Thanh đầu trái là nút cứng, đầu phải là khớp (NK) . . . . 413.5 Khung không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của hệ kết cấu . . . . . . . . . . 443.7 Xác định chuyển vị và nội lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 494.1 Hàm chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.1 Phần tử tam giác ba điểm nút . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.2 Phần tử tứ giác bốn điểm nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1.3 Phần tử hữu hạn bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Phần tử cơ sở và hoán chuyển đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . 544.2.1 Phần tử cơ sở tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.2 Phần tử cơ sở tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 Tấm và vỏ 635.1 Tấm chịu uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.1 Hàm chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.2 Biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.3 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . 66Mục l ục iii5.1.4 Ví dụ phân tích tấm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Vỏ mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.1 Phần tử vỏ phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.2 Phần tử vỏ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.3 Phần tử vỏ nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 Bà i toá n đ ộn g lự c h ọc 756.1 Phương trình động lực học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Dạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Dao động tự do không có lực cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Mục lục

1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn 1

1.2 Cơ sở ten sơ 2

1.3 Chuyển trục toạ độ 5

1.4 Giải tích véc tơ 7

1.5 Đại số tuyến tính 9

1.6 Cơ sở lý thuyết đàn hồi 9

1.7 Bài tập 11

2 Phương trình cơ sở và phương trình biến thiên 13 2.1 Phương trình cơ sở 13

2.1.1 Thanh chịu kéo nén 13

2.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 14

2.1.3 Vật thể đàn hồi 15

2.1.4 Tấm chịu uốn 16

2.2 Thiết lập phương trình biến thiên từ nguyên lý công khả dĩ 18

2.2.1 Nguyên lý công khả dĩ 18

2.2.2 Thanh chịu kéo nén 19

2.2.3 Thanh chịu uốn ngang phẳng 19

2.2.4 Vật thể đàn hồi 19

2.2.5 Tấm chịu uốn 19

2.3 Thiết lập phương trình biến thiên từ phương pháp hàm thử 19

2.3.1 Thanh chịu kéo nén 20

2.3.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 20

2.3.3 Vật thể đàn hồi 21

2.3.4 Tấm chịu uốn 21

2.4 Bài tập 22

i

3 Hệ thanh 23

3.1 Hàm chuyển vị 23

3.1.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục 23

3.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 25

3.1.3 Thanh chịu xoắn thuần tuý 29

3.2 Dạng ma trận của các bài toán cơ bản 30

3.2.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục 31

3.2.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng 32

3.2.3 Thanh chịu xoắn thuần tuý 35

3.3 Dàn phẳng 37

3.4 Khung phẳng 38

3.4.1 Thanh hai đầu nút cứng (N-N) 39

3.4.2 Thanh đầu trái là khớp, đầu phải là nút cứng (K-N) 40

3.4.3 Thanh đầu trái là nút cứng, đầu phải là khớp (N-K) 41

3.5 Khung không gian 42

3.6 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của hệ kết cấu 44

3.7 Xác định chuyển vị và nội lực 45

3.8 Bài tập 45

4 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 49 4.1 Hàm chuyển vị 49

4.1.1 Phần tử tam giác ba điểm nút 50

4.1.2 Phần tử tứ giác bốn điểm nút 52

4.1.3 Phần tử hữu hạn bậc cao 53

4.2 Phần tử cơ sở và hoán chuyển đẳng hướng 54

4.2.1 Phần tử cơ sở tứ giác 57

4.2.2 Phần tử cơ sở tam giác 58

4.3 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút 59

4.4 Tích phân số 60

4.5 Bài tập 62

5 Tấm và vỏ 63 5.1 Tấm chịu uốn 64

5.1.1 Hàm chuyển vị 64

5.1.2 Biến dạng 65

5.1.3 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút 66

Mục lục iii

5.1.4 Ví dụ phân tích tấm uốn 66

5.2 Vỏ mỏng 66

5.2.1 Phần tử vỏ phẳng 68

5.2.2 Phần tử vỏ cong 68

5.2.3 Phần tử vỏ nội suy 69

5.3 Bài tập 71

6 Bài toán động lực học 75 6.1 Phương trình động lực học 75

6.2 Dạng ma trận 76

6.3 Dao động tự do không có lực cản 78

6.4 Bài tập 79

et al (2002), Chapelle and Bathe (2003) và Wells (2006).

Trong phân tích kết cấu bằng Phương pháp phần tử hữu hạn, vật thể liêntục được xấp xỉ bằng tổ hợp của các phần tử hữu hạn Các phần tử này có kíchthước hữu hạn và được liên kết với nhau bằng một số hữu hạn các điểm nút.Sau khi mối quan hệ ứng suất - biến dạng của các phần tử hữu hạn được thiếtlập và lắp ghép với nhau, trạng thái ứng suất - biến dạng của hệ kết cấu có thểđược xác định

Các công thức cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn thường được thiếtlập trên nền tảng của các nguyên lý năng lượng hoặc các công thức biến thiên.Khi thiết lập công thức, có thể chọn trường biến dạng hay trường ứng suấtlàm ẩn số chính, và tương ứng với nó phương pháp phần tử hữu hạn mô hình

1

chuyển vị và mô hình ứng suất được sử dụng Trong thực hành, phương phápphần tử hữu hạn mô hình chuyển vị thường được sử dụng.

Việc phân tích kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hìnhchuyển vị thường gồm các bước sau:

• Rời rạc hoá kết cấu thành các phần tử hữu hạn;

• Chọn các hàm chuyển vị mô tả chuyển vị của phần tử hữu hạn;

• Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của các phần tử hữu hạn trong hệtoa độ địa phương;

• Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của các phần tử hữu hạn trong hệtoạ độ chung;

• Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của hệ kết cấu;

• Thi hành các điều kiện biên;

• Giải hệ phương trình cân bằng để tìm véc tơ chuyển vị nút trong hệ toạ độchung;

• Tìm véc tơ chuyển vị nút trong hệ toạ độ địa phương;

• Tính nội lực, biến dạng, ứng suất trong các phần tử

Độ chính xác của kết quả tính phụ thuộc vào độ mịn của lưới chia, bậc củacác hàm xấp xỉ sử dụng để mô tả các phần tử hữu hạn và độ chính xác của việcgiải hệ phương trình đại số

1.2 Cơ sở ten sơ

Trong phân tích kết cấu thường gặp các đại lượng véc tơ và ten sơ Ví dụ chuyển

vị hay ngoại lực tại một điểm là một đại lượng véc tơ, ứng suất hay biến dạngtại một điểm là một đại lượng ten sơ Một đại lượng véc tơ hoặc ten sơ có thểđưọc biểu diễn trong các hệ toạ độ (hay hệ cơ sở) khác nhau Trong phần lớn nộidung tài liệu này, hệ toạ độ đề các (Cartesian), trực chuẩn (orthonormal) được

sử dụng Điều này làm đơn giản hoá các triển khai Một đại lượng véc tơ và ten

sơ do đó có thể được biểu diễn đầy đủ qua các thành phần của chúng, với cácvéc tơ cơ sở có chiều dài bằng đơn vị

1.2 Cơ sở ten sơ 3

Trong tài liệu, các đại lượng vô hướng được ký hiệu bằng các ký tự in thường

(l, a, E ), các đại lượng véc tơ, ten sơ và ma trận được ký hiệu bằng các ký tự

in đậm (u, σ, M, ).

Một véc tơ a trong không gian thực d chiều R d thường được biểu diễn qua

các thành phần véc tơ a i , i=1→d, như sau:

Nhân vô hướng hai véc tơ a và b có cùng chiều d được định nghĩa là một đại

lượng vô hướng:

trong đó (·) ký hiệu phép nhân vô hướng

Einstein (1916) đã đề xuất ký hiệu phép tổng (Einstein summation) để biểudiễn rút gọn các phép tính véc tơ và ten sơ dưới dạng chỉ số, xem thêm Hughes(2000) Để biểu diễn số hạng sau cùng của biểu thức trên, ký hiệu phép tổngđược bỏ qua Khi các chỉ số của các thừa số trong phép tính trùng nhau (chỉ số

i ), phép tổng được thực hiện lặp lại theo chỉ số đó (i =1→d ) Ví dụ, khi d =3:

s =a i b i =a1b1+a2b2+a3b3 (1.3)

Chiều dài của một véc tơ được định nghĩa từ kết quả phép nhân vô hướng củavéc tơ với chính nó:

a = kak = √a·a =√

Tương tự như các véc tơ, một ten sơ bậc hai A trong không gian thực d chiều

Rd thường được biểu diễn qua các thành phần véc tơ A ij , i, j =1→d, như sau:

b i(A ij c j) = (A ij c j)b i =c j(A ji b i) (1.9)Dạng tường minh:

Phép tính sau hay được sử dụng, liên quan tới chuyển vị ten sơ:

(AB)T =B T A T (1.11)Một ten sơ bậc hai có thể nhận được từ phép nhân ten sơ của hai véc tơ:

1.3 Chuyển trục toạ độ 5Tích vô hướng của hai ten sơ bậc hai có thể định nghĩa bởi:

trong đó δ ij là Kronecker-delta, δ ij=1khi i= j và δ ij =0khi i6= j

Nhân hữu hướng (nhân véc tơ) giữa hai véc tơ trong không gian R3 đượcđịnh nghĩa bởi:

E = Eijk =e i· e j×e k
(1.19)Ten sơ này có đặc điểm: khi các chỉ số lặp lại,Eijk =0; nếu sự hoán vị(i, j, k) làchẵn (thuận), Eijk = 1; nếu sự hoán vị(i, j, k) là lẻ (nghịch), Eijk = −1 Sử dụngten sơ hoán vị vòng quanh, phép nhân có hướng hai véc tơ có thể định nghĩabởi:

c =a×b= E : (a⊗b) (1.20)Ten sơ bậc bốn thường gặp là ten sơ đàn hồi của vật liệu:

1.3 Chuyển trục toạ độ

Trong tính toán thực hành, ngoài hệ trục toạ độ chung (tổng thể) cho toàn hệkết cấu, mỗi phần tử hữu hạn được gắn với một hệ toạ độ riêng (địa phương).Mối quan hệ giữa các đại lượng trong hệ toạ độ chung và riêng được thực hiện

qua một ma trận chuyển trục toạ độ Xét hai hệ toạ độ e i và e′

j , i = 1 → d Ma

trận chuyển trục T giữa hai hệ toạ độ được định nghĩa:

T ij=e i·e′j (1.22)

Một đại lượng véc tơ được biểu diễn trong hai hệ toạ độ e i và e′

j qua hai véc tơ

a và a′ có mối quan hệ sau:

a =Ta′ =T ij a′j, (1.26)và

a′ =T T a=T ji a j (1.27)Một đại lượng ten sơ bậc hai được biểu diễn trong hai hệ toạ độ qua hai ten

sơ A và A′ có mối quan hệ sau:

A =TA′T T = A ij =T ik A′km T jm, (1.28)và

A′ =T T AT = A′ij =T ki A km T mj (1.29)

Một triển khai quan trọng là vi phân của một hàm Vi phân của một trường

véc tơ a là một đại lượng vô hướng, được ký hiệu bởi ∇ ·a:

Một triển khai quan trọng khác là gradient của một hàm Gradient của mộtđại lượng vô hướng là một véc tơ:

Các công thức cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn được xây dựng trên

lý thuyết vi phân (lý thuyết Gauss) Lý thuyết này chuyển đổi một tích phân trên

thể tích về tích phân trên bề mặt Xét một vật thể có thể tích Ω và biên ∂Ω Một

điểm trên biên có véc tơ pháp tuyến n Lý thuyết vi phân chỉ ra rằng, cho một trường véc tơ a,

Công thức tích phân từng phần thường xuyên được sử dụng trong thiết lập

công thức phần tử hữu hạn Cho một trường véc tơ a và một trường ten sơ B, ta

1.5 Đại số tuyến tính 9

1.5 Đại số tuyến tính

Các giá trị riếng và véc tơ riêng của một ma trận là các tính chất của nó Cho ma

trận A và véc tơ b, đại lượng vô hướng λ được gọi là trị riêng của ma trận nếu:

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, K là ma trận độ cứng của hệ kết cấu, f là

véc tơ lực nút Véc tơ chuyển vị nút tìm đuợc:

1.6 Cơ sở lý thuyết đàn hồi

Phương trình cân bằng (Navier-Cauchy):

ǫ ij = 1

2 u i,j+u j,i
, (1.57)

là một ten sơ bậc hai đối xứng

Phương trình vật lý (định luật Hooke):

hay

σ ij = Cijkl ǫ kl, (1.59)trong đó C là ten sơ đàn hồi bậc bốn của vật liệu,

Cijkl =µ δ ik δ jl+δ il δ jk
+λδ ij δ kl, (1.60)trong đó

(1+ν) (1−2ν), (1.61)và

E là mô đun Young, ν là hệ số Poisson, λ và µ là các hệ số Lamé.

Trong thực hành, các ten sơ biến dạng ǫ và ứng suất σ thường được viết lại

dưới dạng véc tơ Do tính chất đối xứng của các ten sơ này, các véc tơ biến dạng

1.7 Bài tập 11Phương trình vật lý được viết lại dưới dạng ma trận:

• Chọn một lưới chia mịn nhất có thể, phân tích kết cấu, xác định chuyển

vị tại một điểm tuỳ chọn trên kết cấu và sử dụng làm kết quả để so sánh

u re f;

• Thay đổi lưới chia, tính chuyển vị tại điểm đã ấn định u i, tính sai số

e =u re f −u i;

• Vẽ đồ thị liên hệ giữa số lượng phần tử n và sai số e;

• Vẽ đồ thị liên hệ giữa log(n) và log(e);

• Nhận xét kết quả

Bài 2: Trong không gian 3 chiều (d=3), triển khai các biểu thức sau:

a) a i b i

b) a i b j

Bài 3: Chứng minh công thức tích phân từng phần (1.46).

Bài 4: Áp dụng công thức tích phân từng phần cho biểu thức sau:

Z

và viết lại kết quả dưới dạng chỉ số

Bài 5: Viết ma trận đàn hồiD cho các bài toán ứng suất phẳng σ33 =0và biến

dạng phẳng ǫ33 =0

Chương 2

Phương trình cơ sở và phương trình biến thiên

Bước quan trọng trước khi thiết lập các công thức cơ bản của phương pháp phần

tử hữu hạn là biến đổi các phương trình cơ sở (strong form) mô tả các vấn đề cơhọc về các phương trình biến thiên (weak form) Việc sử dụng các phương trìnhbiến thiên cho phép giảm bậc của các phương trình cơ sở, và để thuận tiện choviệc triển khai phương pháp số trong các bước tiếp sau

Chương này trình bày các phương trình cơ sở của một số bài toán cơ họcthường gặp, và hai phương pháp để xây dựng các phương trình biến thiên: sửdụng nguyên lý công khả dĩ và sử dụng hàm thử (hàm trọng số)

2.1 Phương trình cơ sở

Các phương trình cơ sở (phương trình gốc) mô tả các điều kiện cân bằng lực,cân bằng động học, điều kiện vật lý và các điều kiện biên của các bài toán cơhọc Phần này giới thiệu lại các phương trình cơ sở của các vấn đề thanh chịukéo nén, thanh chịu uốn, vật thể đàn hồi chịu tải trọng và tấm chịu uốn

2.1.1 Thanh chịu kéo nén

Xét thanh thẳng đàn hồi tuyến tính có tiết diện ngang A, chiều dài l, xem Hình 2.1 Ký hiệu E là mô đun đàn hồi kéo nén của vật liệu Chọn trục toạ

độ x trùng với trục thanh Một đầu thanh (x = 0) được cố định và đầu còn lại

(x = l ) được tác dụng một lực F Thanh chịu tải trọng phân bố theo phương

13

l EA

Hình 2.1: Thanh chịu kéo nén

trục thanh có cường độ f Phương trình cân bằng và các điều kiện biên của hệ

có thể viết:

Khi hệ thanh đàn hồi tuyến tính, định luật Hooke được sử dung, σ =Eǫ=Eu,x

Bài toán kéo thanh có thể viết: tìm trường chuyển vị u thoả mãn

2.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng

Xét thanh thẳng đàn hồi tuyến tính chiều dài l, xem Hình 2.2 Tiết diện ngang của thanh có độ cứng chống uốn EI Chọn trục toạ độ x trùng với trục thanh

và trục y vuông góc với trục thanh Một đầu thanh (x = 0) được cố định và

đầu còn lại (x = l ) được tác dụng lực F vuông góc với trục thanh và mô men

M Thanh chịu tải trọng vuông góc với trục thanh có cường độ f Ký hiệu u là chuyển vị theo phương y và φ là góc xoay, m và q là mô men uốn và lực cắt tại

tiết diện Phương trình cân bằng và các điều kiện biên của hệ có thể viết:

trong đó κ là độ cong của thanh Khi thanh có tiết diện không đổi, EI =constant,

bài toán uốn thanh có thể viết: tìm trường chuyển vị u thoả mãn

chuyển vị cho trước được ký hiệu là g g trên mặt biên Γu và véc tơ lực được ký

hiệu là g h trên mặt biên Γh Ký hiệu n là véc tơ pháp tuyến trên biên Γ h Bài toán

vật thể đàn hồi chịu tải trọng phân bố thể tích f đưọc phát biểu: tìm trường chuyển vị u và trường ứng suất σ thoả mãn

Cijkl =µ δ ik δ jl+δ il δ jk
+λδ ij δ kl, (2.28)trong đó

(1+ν) (1−2ν), (2.29)và

2.1.4 Tấm chịu uốn

Xét một tấm phẳng đa giác có mặt trung gian được ký hiệu bởi Ω và chiều dày

t (Hình 2.4) Cạnh biên của tấm được ký hiệu là Γ và được chia thành các biênlực và biên chuyển vị Γw∪ΓQ = Γθ∪ΓM = ∂Ω and Γw∩ΓQ = Γθ ∩ΓM = ∅

Sử dụng hệ toạ độ đề các x1x2x3, trong đó phương x3 vuông góc với mặt phẳng

của tấm Ký hiệu α, β, δ và γ là các chỉ số của hai phương x1 và x2 Ký hiệu n α

và s α lần lượt là các véc tơ pháp tuyến và tiếp tuyến đơn vị vuông góc với biêncủa phần tử

Bài toán uốn tấm có thể được phát biểu là: cho tải trọng phân bố F vuông góc

với mặt phẳng tấm, và cho các chuyển vị thẳng, góc xoay, mô men uốn pháp

tuyến, và lực tác dụng trên các biên, ký hiệu lần lượt là g u , g θ , M, và Q; tìm trường chuyển vị u thoả mãn

trong đó δ αβ là Kronecker delta và các hệ số Lamé định nghĩa từ mô đun đàn

hồi Young E và hệ số Poisson ν,

¯λ= Eν

Người đọc có thể tham khảo thêm về bài toán uốn tấm trong các tài liệu về tấm

vỏ, ví dụ Hughes (2000) và Hughes and Garikipati (2004)

2.2 Thiết lập phương trình biến thiên từ nguyên lý

công khả dĩ

2.2.1 Nguyên lý công khả dĩ

Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên những chuyển vị và biến dạng vôcùng bé do nguyên nhân bất kỳ nào đó gây ra Các chuyển vị và biến dạng vôcùng bé thoả mãn các điều kiện động học của hệ gọi là chuyển vị khả dĩ và biếndạng khả dĩ

Theo nguyên lý công khả dĩ, điều kiện cần và đủ để vật thể biến dạng ởtrạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng năng lượng biến dạngkhả dĩ,

trong đó δT ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực và δU ký hiệu thế năng biến

dạng

Xét một hệ đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của trưòng lực phân bố thể tích

p V , trường lực phân bố bề mặt p S , các lực tập trung P k , k =1→n Ký hiệu σ là trường ứng suất xuất hiện trên hệ Gọi δu là trường chuyển vị khả dĩ, và δǫ là

trưòng biến dạng khả dĩ bất kỳ Công khả dĩ của các ngoại lực trên các chuyển

2.3 Thiết lập phương trình biến thiên từ phương pháp hàm thử 19

2.2.2 Thanh chịu kéo nén

Áp dụng nguyên lý công khả dĩ cho thanh chịu kéo nén:

trường chuyển vị u thoả mãn

2.2.3 Thanh chịu uốn ngang phẳng

Phương trình biến thiên cho bài toán uốn thanh: tìm trường chuyển vị u thoả

sử dụng một hàm thử được định nghĩa trong một không gian khả tích phù hợp,

và áp dụng tích phân từng phần để giảm bậc của các phương trình cơ sở

2.3.1 Thanh chịu kéo nén

Giả sử trường chuyển vị u là nghiệm của các phương trình (2.4) đến (2.6) Xét hàm thử w ∈ V, trong đó V là không gian của các hàm khả tích phù hợp định

nghĩa trên miền đang xét Chú ý là hàm w phải thoả mãn điều kiện w = 0 tại

x=0 Nhân hai vế của phương trình (2.4) với w và tích phân trên toàn hệ, ta có

Lưu ý w=0tại x=0và EAu,x =F tại x=l; bài toán thanh chịu kéo nén được

định nghĩa: tìm trường chuyển vị u thoả mãn

Z l

Z l

0 w f dx+wF|x=l ∀w∈ V (2.53)

2.3.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng

Tương tự như với trường hợp thanh chịu kéo nén, xét hàm thử w∈ V Nhân hai

vế của phương trình (2.15) với hàm thử w và tích phân trên toàn hệ ta đưọc:

Z l

Z l

0 w f =0 ∀w∈ V (2.54)Tích phân từng phần số hạng thứ nhất của phương trình trên hai lần liên tiếp,

Lưu ý w = 0 tại x = 0, EIu,xx = M tại x = l và EIu,xxx = −F tại x = l Bài

toán thanh chịu uốn ngang phẳng được định nghĩa: tìm trường chuyển vị u thoả

2.3 Thiết lập phương trình biến thiên từ phương pháp hàm thử 21

Thay thế phương trình (2.64) vào phương trình (2.61), ta có

Bài 2: Lập phương trình biến thiên cho phương trình Poisson (bài toán truyền

nhiệt, dòng thấm ): tìm trường vô hướng u thoả mãn

trong đó κ ij là ten sơ bậc hai cho trước

Bài 3: Cho σ là ten sơ bậc hai có chiều bằng 3 Chứng minh rằng nếu σ là đối

xứng thì ∇w : σ = ∇S w : σ

Chương 3

Hệ thanh

Khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị cho bài toán hệthanh, kết cấu được rời rạc hoá thành các phần tử thanh thẳng, các thanh liênkết với nhau tại nút Các chuyển vị nút của hệ là các ẩn số chính; biến dạng vànội lực trong các thanh sẽ được xác định được từ chuyển vị tại đầu thanh.Trên cơ sở các phương trình biến thiên cho thanh chịu kéo nén, chịu uốnngang phẳng và chịu xoắn thuần tuý, các công thức cơ bản của phương phápphần tử hữu hạn mô hình chuyển vị áp dụng cho bài toán hệ thanh được thiếtlập Các kết quả cho các bài toán cơ bản này được áp dụng để phân tích các hệkết cấu thường gặp như hệ dàn khớp, hệ khung phẳng và hệ khung không gian

3.1.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục

Xét phần tử thanh có chiều dài bằng l, diện tích tiết diện A, các nút đầu thanh được ký hiệu là i và j Sử dụng trục toạ độ x có phương trùng với trục thanh,

23

Hình 3.1: Phần tử thanh chịu kéo nén

chiều từ i đến j và gốc toạ độ tại i (Hình 3.1) Khi thanh chịu kéo nén dọc trục,

véc tơ chuyển vị tại một tiết diện trên thanh có dạng

trong đó α1 và α2 là các hệ số, sẽ được xác định từ điều kiện chuyển vị nút của

hệ Tại x =0và x=l , chuyển vị tại các nút i và j là

So sánh biểu thức trên với phương trình (3.1), ma trận hàm chuyển vị N của

phần tử thanh chịu kéo nén là

3.1 Hàm chuyển vị 25

x y

Hình 3.2: Phần tử thanh chịu uốn ngang phẳng

3.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng

Xét phần tử thanh có chiều dài l, diện tích tiết diện A, mô men quán tính I, hai nút đầu thanh được ký hiệu là i và j Sử dụng hệ trục toạ độ x0y, gốc toạ độ tại

i(Hình 3.2) Khi thanh chịu uốn ngang phẳng, véc tơ chuyển vị tại một tiết diệntrên thanh có dạng

Thanh hai đầu nút cứng (N-N)

Xét thanh hai đầu nút cứng như Hình 3.3 Tại x = 0 và x = l, hàm chuyển vị

Thanh đầu trái là khớp, đầu phải là nút cứng (K-N)

Xét thanh có đầu i là khớp và đầu j là nút cứng như Hình 3.4 Tại x=0và x=l,

3.1 Hàm chuyển vị 27

Hình 3.4: Thanh đầu trái là khớp, đầu phải là nút cứng

hàm chuyển vị phải thoả mãn các điều kiện sau:

Thanh đầu trái là nút cứng, đầu phải là khớp (N-K)

Xét thanh có đầu i là khớp và đầu j là nút cứng như Hình 3.5 Tại x =0và x=l,

i N K j

Hình 3.5: Thanh đầu trái là nút cứng, đầu phải là khớp

hàm chuyển vị phải thoả mãn các điều kiện sau:

3.1 Hàm chuyển vị 29

Hình 3.6: Thanh hai đầu khớp

Thanh hai đầu khớp (K-K)

Xét thanh có hai đầu i và j là khớp như Hình 3.6 Tại x =0và x=l, hàm chuyển

vị phải thoả mãn các điều kiện sau:

3.1.3 Thanh chịu xoắn thuần tuý

Xét phần tử thanh có chiều dài của thanh bằng l, diện tích tiết diện A, hai nút đầu thanh được ký hiệu là i và j Sử dụng trục toạ độ x có phương trùng với trục thanh, chiều từ i đến j và gốc toạ độ tại i (Hình 3.7) Khi thanh chịu kéo

nén dọc trục, véc tơ chuyển vị tại một tiết diện trên thanh có dạng

Hình 3.7: Phần tử thanh chịu xoắn thuần tuý

Giả thiết hàm chuyển vị u(x) tại tiết diện là bậc nhất:

3.2 Dạng ma trận của các bài toán cơ bản

Trên cơ sở các phương trình biến thiên đã trình bày trong Chương 2, các phươngtrình cân bằng cho các bài toán cơ bản được thiết lập dưới dạng ma trận

3.2 Dạng ma trận của các bài toán cơ bản 31

3.2.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục

Hàm chuyển vị u và hàm thử w được viết dưới dạng

Trong phương trình trên, K e là ma trận độ cứng của thanh chịu kéo nén đúng

tâm, F f là véc tơ lực nút quy đổi, F N là véc tơ lực đặt tại nút và F e là véc tơ lựcnút tổng cộng của phần tử Sau khi thực hiện tích phân, ta có

3.2.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng

Hàm chuyển vị v và hàm thử w được viết dưới dạng

trong đó N là ma trận hàm chuyển vị Các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của

chuyển vị theo toạ độ x, w,x , v,xx và w,xx, do vậy có thể viết dưới dạng

trong đó B và D là các ma trận chứa các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của chuyển

vị Phương trình biến thiên cho thanh chịu uốn ngang phẳng viết lại dưới dạng

3.2 Dạng ma trận của các bài toán cơ bản 33trong đó

Trong phương trình trên, K e là ma trận độ cứng của thanh chịu uốn ngang

phẳng, F f là véc tơ lực nút quy đổi, F N là véc tơ lực đặt tại nút và F e là véc tơ

lực nút tổng cộng của phần tử Dưới đây là các ma trận B,D, K e và véc tơ F e chocác trường hợp thanh có liên kết hai đầu khác nhau chịu uốn ngang phẳng

Thanh hai đầu nút cứng (N-N)