giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn

 Các p.tử đó rất tiện lợi để mô hình hóa các kết cấu trong không gian 2 và 3 chiều.. Tuy nhiên trong rất nhiều bài toán vật rắn, có nhiều kết cấu phức tạp với nhiều loại tải trọng và cá

ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN

TS Phan Minh Đức Khoa Cơ khí Giao thông – Trường ĐH Bách Khoa

Đại học Đà Nẵng

 Introduction

 Plane Stress – Constant Strain Triangle (P1)

 Plane Strain – Rectangular Element (P2)

 Plane Quadrilateral Element (P3)

 Axisymmetric Stress Analysis (P4)

 General 3-D Stress Elements (P5)

 Strain-Stress Computation (P6)

 Summary

Giới thiệu

 Phần tử THANH và DẦM, đã xét, là các p.tử “thẳng” – chỉ cần

dùng 1 trục tọa độ tham chiếu để mô tả

 Các p.tử đó rất tiện lợi để mô hình hóa các kết cấu trong không gian 2 và 3 chiều Tuy nhiên trong rất nhiều bài toán vật rắn, có nhiều kết cấu phức tạp với nhiều loại tải trọng và các điều kiện ràng buộc;

 Trong phần này, ta xét các p.trình PTHH 2 và 3 chiều dùng phân tích ứng suất các kết cấu rắn đàn hồi tuyến tính.

 Cơ sở xây dựng các PTr ở đây là thuyết thế năng cực tiểu, đơn giản hơn p.pháp Galerkin tuy p.pháp Galerkin là cơ bản, áp dụng được cho rất nhiều bài toán;

PLANE STRESS

“Plane Strees”:

 Vật thể có k.thước z (bề dày) rất nhỏ (<10%) so với 2 kích thước kia;

 Vật thể chỉ chịu tải trong (x,y);

 Vật liệu đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng;

 Tồn tại các ứng suất : x, y, xy

P.trình cân bằng:

xy= yx và:

 Theo định nghĩa của “Plane Stress”, ta có:

z = O; xz = O; yz = O

 Từ quan hệ stress-strain ( phụ lục B ), ta được các thành phần:

 Các thuộc tính vật liệu:

E: module đàn hồi

: hệ số Poisson của vật liệu

G: Module đàn hồi trượt

 Viết ở dạng ma trận:

 Năng lượng tích lũy trong vật:

P.trình trên áp dụng chung cho tất cả các trường hợp, không nhất thiết là TẤM.

FE Formulation Constant Strain Triangle

 3-node triangular element

mô tả miền con trong tấm

[ vy)(x,N v

y)(x,N v

y)(x,Ny)

(x,

v

}]{

[uy)(x,Nu

y)(x,Nu

y)(x,Ny)

(x,

u

3 3

2 2

1 1

3 3

2 2

1 1

v N

u N

 Biến dạng tương đối trong ph.tử:

 [B] là ma trận 3x6 của các đạo hàm riêng của hàm dạng

 Các đạo hàm riêng trong [B] là các hằng số, do hàm dạng tuyến tính Do đó, các thành phần sức căng là hằng số trong toàn thể tích phần tử;

 Năng lượng biến dạng trong phần tử:

 Giả sử tính chất vật liệu không thay đổi, Ptr trở thành:

 Công thực hiện bởi các lực nút:

 Với:

 Như vậy, thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong ph.tử:

 Khi vật (tấm) ở tr.thái cân bằng, phần tử cũng ở TT cân bằng Thế năng của nó cực tiểu Do đó:

 Do vậy, ta được:

Thiết lập Ma trận độ cứng

 Các hàm dạng theo 6.37 (chương 6):

 Do đó, các đạo hàm riêng:

 Và ma trận [B]:

 Thể tích của p.tử: t.A

 Do đó:

C = (1-)/2

Trường hợp Tải trọng phân bố

 Ở các BT kết cấu, ta thường gặp lực phân bố, như là áp suất hoặc lực cắt, trên một phần của biên kết cấu

 Đối với tấm, các lực phân bố này tác dụng trên cạnh phần tử và cũng là biên của kết cấu

 Ta tìm lực nút tương đương với lực (tác dụng trên 1 đv diện tích) trên mặt cạnh 2-3 của p.tử

 Cơ sở: Có cùng thế năng biến dạng đàn hồi cực tiểu.

 Các lực phân bố được phân tích trong hệ tọa độ chung:

nx và ny là các vectow đơn vị theo các trục

 Công thực hiện bởi lực phân bố, với t.phân dọc theo 2-3:

 Tuy nhiên: N1(x,y) = 0 dọc theo 2-3

 và

 Nên

 Và có dạng

 Do đó:

 Do N1(x,y) = 0 dọc theo 23 nên PT trên có thể viết:

 Dọc theo 1-2: px = 0; py=-100 psi Do đó:

 Dọc theo 2-3: x = 1; px= 150y; py= 0 Do đó:

 Do đó:

Trường hợp Lực khối

 Tương tự, thông thường tác dụng vào vật cũng có thể có các lực phân bố trong toàn bộ thể tích vật, như: trọng

lượng, lực quán tính, lực điện từ;

 Ta xét lực khối trong bài toán 2 chiều Lực khối được biểu diễn bởi vector:

 Chuyển vị của các điểm trong PT được xác định bởi:

 Công thực hiện bởi lực khối:

 Có dạng:

 Và:

 Biểu diễn dưới dạng:

 Do đó:

 Viết gọn ở dạng ma trận:

- Do vật không chịu lực khối theo hướng x nên không có thành phần lực nút theo hướng x.

- Thành phần lực nút theo hướng y:

Với các hàm dạng:

- Nên ta được:

- Nên ta được:

- Nhận xét: Lực nút tương đương có giá trị bằng nhau

END (Part 1)