3. 1 NĂNG LƯỢNG
4.5. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VẬT
Để khảo sát những tính chất động lực học của chuyển động quay trước hết ta xét đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyến động quay.
1. Tác dụng của lực trong chuyển động quay
a) Tác dụng làm qua) của lực
Giả sử tác dụng lên vật rắn lực F (để tại điểm M) làm vật rắn quay quanh trục Δ
- Trong đó thành phần F2 song song trục Δ không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn chuyển động trượt dọc theo trục quay, theo giả thiết chuyển động này không có.
- Còn thành phần F1 nằm trong mặt phẳng vuông góc trục Δ lại được phân tích ra hai thành phần:
Thành phần Fn nằm theo bán kính OM không gây ra chuyển động quay chỉ có tác dụng làm vật rắn rời khỏi trục quay, chuyển động này cũng không có.
- Như vậy chỉ có thành phần Ft nằm theo phương tiếp tuyến của vòng tròn tâm O bán kính OM của lực F mới có tác dụng thực sự trong chuyển động quay.
Kết luận: trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục cố định chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự.
Vì vậy để đơn giản ta giả thuyết: vật rắn chuyển động quay là do các lực tiếp tuyến tác dụng lên.
b) Tác dụng của lực trong chuyển động quay
Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay người ta đưa ra một đại lượng gọi là mô men lực.
Định nghĩa: mô men của lực Ft đối với trục Δ là một véc tơ μ (hình 4.4) xác định bởi:
→ véc tơ μ có phương của trục quay, có chiều thuận đối với véc tơ quay từ rsang Ft có trị số:
Nhằm xét: mô men μ của lực Ft đối với trục Δ là mô men của Ft đối điểm O (giao điểm của Δ và mặt phẳng chứa Ft vuông góc với Δ)
2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay
Giả sử chất điểm Mi (có khối lượng mi), cách trục một khoảng ri ứng với bán kính véc tơ OM=ri chịu tác dụng của ngoại lực tiếp tuyến Ft và chuyển động quay với véc tơ gia tốc tiếp tuyến tại. Theo định luật Niutơn II:
Nhân hữu hướng hai vế với bán kính véc tơ
trong đó ri ∧Fti =μi chính là mô men của lực Fti đối với trục quay, còn vế trái ta có:
Khai triển ngoại tích kép ở vế phải của (4.27), ta được:
(ri.β =0 vì vuông góc với β) Vậy (4.26) có dạng:
Cộng các phương trình (4-28) vế với vế theo i (tức theo tất cả các chất điểm của vật rắn) ta có:
là tổng hợp mô men các ngoại lực tác dụng lên vật rắn ; còn (∑miri2)=i là đại
lượng gọi là mô men quán tính của vật rắn đối với trục Δ (nó bằng tổng mô men quán tính của các chất điểm của vật rắn). Vậy (4.29) có thể viết .
Đây là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định. Phương trình này tương tự như phương trình của định luật Niutơn II
F a
m = đối với chuyển động tịnh tiến. Trong đó μ đặc trưng cho tác dụng của ngoại lực đối với vật rắn quay có ý nghĩa tương tự như F;β đặc trưng cho sự thay đổi trạng thái chuyển động của vật rắn quay có ý nghĩa tương tự như gia tốc a ; mô men quán tính I có ý nghĩa tương tự như khối lượng m, nghĩa là I là đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật rắn trong chuyển động quay.
3. Tính mô men quán tính
Mô men quán tính I của vật rắn đối với trục Δđược tính theo công thức:
trong đó miri2 là mô men quán tính của chất điểm Mi của vật rắn đối với trục quay Δ. Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục để tính mô men quán tính I, ta chia vật rắn thành những phân tử vô cùng nhỏ, mỗi phân tử có khối lượng vi phân dm và cách trục Δ một khoảng r, khi đó phép cộng ở vế phải của (4.31) trở thành phép lấy tích phân cho toàn bộ vật rắn:
Thí dụ: tính mô men quán tính của một thanh đồng chất chiều dài là l, khối lượng m đối với trục Δđi qua đầu thanh và vuông góc với thanh.
Xét một phân tử của thanh khối lượng dm chiều dài dx cách đầu O của thanh một đoạn x. Mô men quán tính của tìm đối với trục Δ là:
Vì thanh là đồng chất nên khối lượng của các đoạn trên thanh tỷ lệ với chiều dài của đoạn đó:
Khi đó (4 .33) thành:
Mô men quán tính I của toàn bộ thanh đối với trục Δbằng:
Bằng cách tính tương tự ta có thể tìm được mô men quán tính của những vật đồng chất có hình dạng đối xứng đối với
Định lý Stene - Huy ghen
“Mô men quán tính của một vật rắn đối với một trục Δ bất kỳ bằng mô men quán tính của vật đối với trục ΔOđi qua khối tâm G của vật song song với Δ cộng với tích của khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách h giữa hai trục:
Giả sử mặt cắt ngang của vật rắn vuông góc với hai trục song song đi qua khối tâm G (ΔO) và điểm A (Δ) như hình 4.6.
Xét phần tử âm của vật rắn, ta có:
Khi đó mô men quán tính của vật đối với trục Δlà:
trong đó: ∫r2dm=IO chính là mô men quân tính của vật đối với trục ΔOđi qua khối tâm:
Còn theo (4.4) thì:
Xác định vị trí của khối tâm G đối với trục quay qua G, nhưng theo giả thiết ban đầu trục quay qua điểm G chính là trục quay đi qua khối tâm nên rG =0 do đó:
4. Công và công suất của lực trong chuyển động quay
Khi một vật rắn quay xung quanh một trục Δ thì công vi phân của một lực tiếp tuyến Ft (H. 4.7) ứng với chuyển dời vi phân ds là: dA = Ftds ; d = rdα, dα là góc quay ứng với chuyển dời ds vậy: da = rFtdα
Ở đây rFt = μ là mô men của lực Ft
Từđây ta suy ra biểu thức của công suất:
hay:
5. Động năng trong trường hợp vật rắn quay
Trong chuyển động quay quanh một trục biểu thức công vi phân:
Theo phương trình cơ bản của chuyển động quay .
Nghĩa là:
Tích phân hai vế trong khoảng thời gian từ t1đến t2 trong đó vận tốc góc ω biến thiên từ ω1 đến ω2 ta được công của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay trên khoảng thời gian ấy bằng:
Ta suy ra biểu thức động năng của vật rắn quay quanh một trục với vận tốc ω:
Trong trường hợp tổng quát: vật rắn vừa quay vừa tịnh tiến, thì động năng toàn phần của vật rắn bàng tổng động năng quay và động năng tịnh tiến:
Trường hợp riêng vật rắn đối xứng tròn xoay lăn không trượt ; khi đó vận tốc tịnh tiến (v) liên hệ với vận tốc góc (ω) bởi hệ thức v = R.ω, với R là bán kính tiết diện vật rắn (ở điểm tiếp xúc với mặt phẳng ởđó vật rắn lăn không trượt). Khi đó động năng toàn phần bằng: