1. Cơng thức: - Tính độ dài đường trịn: C = 2πR = πd (R: Bán kính, d: Đường kính, lấy π = 3,14) - Tính độ dài cung trịn: Rn 180 π = l
(n: Số đo độ của cung)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Lấy giá trị gần đúng của π là 3,14, hãy điền vào các ơ trống trong bảng sau (đơn vị độ dài:
cm, làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Bán kính đường trịn (R) 12 10 Đường kính đường trịn (d) 8 14 Độ dài đường trịn (C) 30 25,5 Chứng minh Bán kính đường trịn (R) 12 4 ≈ 4,8 7 10 ≈ 4 Đường kính đường trịn (d) 24 8 ≈ 9,6 14 20 ≈ 8 Độ dài đường trịn (C) 75,36 25,12 30 43,96 62,8 25,5 Bài tập 2:
a) Tính độ dài cung 600 của một đường trịn cĩ bán kính 2 dm. b) Tính chu vi vành xe đạp cĩ đường kính 650 mm. Giải a) Độ dài cung: Rn 3,14.2.60 2,09dm 180 180 π = = = l b) Ta cĩ: C = πd = 3,14.650 = 2041 mm.
Bài tập 3: Lấy giá trị gần đúng của π là 3,14. Hãy điền vào các ơ trống trong bảng sau (làm trịn kết
Số đo của cung trong (n ) 90 50 41 25 Độ dài cung trịn (l) 35,6cm 20,8cm 9,2cm Giải Bán kính đường trịn (R) 10cm ≈41cm 21cm 6,2cm ≈21,1c m
Số đo của cung trong (n0)
900 500 ≈56,8c
m 410 250
Độ dài cung trịn (l)
15,7cm 35,6cm 20,8cm ≈4,4c
m 9,2cm
Bài tập 4: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Chứng minh rằng độ dài của
nửa đường trịn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường trịn đường kính AB và BC.
Chứng minh
Gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính của các đường trịn cĩ bán AC, AB, BC. Khi đĩ:
AC 1
l = πR ; lAB = πR2 và lBC = πR3 ⇒lAC = π = πR1 (R2+R3) = π + πR2 R3 =lAB+lBC
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Máy kéo nơng nghiệp cĩ hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau
cĩ đường kính là 1,672 m và bánh xe trước cĩ đường kính là 88 cm. Hỏi sau khi bánh xe sau lăn được 10 vịng thì bánh xe trước lăn được mấy vịng?
Bài tập 2: Đường trịn lớn của Trái Đất dài khoảng 40000 km. Tính bán kính Trái Đất.
Bài tập 3: Vĩ độ của Hà Nội là. Mỗi vịng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40000 km. Tính độ dài
cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.
Bài tập 4: Cho đường trịn (O), bán kính OM. Vẽ đường trịn tâm O’, đường kính OM. Một bán kính
OA của đường trịn (O) cắt đường trịn (O’) ở B. Chứng minh MA và ¼ MB cĩ độ dài bằng nhau. ¼
Bài tập 5: Vẽ lại hình tạo bởi các cung trịn dưới đây với tâm lần lượt là B, C, D, A theo đúng kích
thước đã cho (cạnh hình vuơng ABCD dài 1 cm). Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài đường xoắn đĩ.
BAØI 10: DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN. I. KIẾN THỨC CẦN NẮM: 1. Cơng thức: - Diện tích hình trịn: S = πR2 - Diện tích hình quạt trịn: 2 R n S 360 π = hay S R 2 =l
(R: Bán kính, n0: Số đo cung trịn, l: Độ dài cung trịn, π = 3,14)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Tính diện tích hình trịn nội tiếp một hình vuơng cĩ cạnh là 4 cm. Giải
Áp dụng định lý Pitago cho ∆ABD vuơng tại A, ta cĩ:
BD2 AB2 AD2 32 BD 4 2 AO 1BD 2 2cm 2 = + = ⇒ = ⇒ = = Diện tích hình trịn là: ( )2 2 2 S= πR =3,14. 2 2 =25,12cm .
Bài tập 2: Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình trịn cĩ chu vi 12 m. Hỏi
chân đống cát đĩ chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuơng?
Giải
Chu vi đống là 12m ⇒ R ≈ 2m ⇒ Diện tích đống cát là ≈ 11,5m2.
Bài tập 3: Tính diện tích một hình quạt trịn cĩ bán kính 6 cm, số đo cung là 360.
Giải Diện tích hình quạt trịn là: 2 2 2 R n 3,14.6 .36 S 11,304cm . 360 360 π = = =
Bài tập 4: Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD cĩ AB = 40 m, AD = 30 m. Người ta muốn buộc hai
con dê ở hai gĩc vườn A, B. Cĩ hai cách buộc: - Mỗi dây thừng dài 20 m.
- Một dây thừng dài 30 m và dây thừng kia dài 10 m.
Giải
Xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Mỗi dây thừng dài 20 m. Ta cĩ diện tích cỏ mà 2 con dê ăn được là:
2 2 2 R n 3,14.20 .90 S 2. 2. 628m 360 360 π = = =
- Trường hợp 2: - Một dây thừng dài 30 m và dây thừng kia dài 10 m. Ta cĩ diện tích cỏ mà mỗi con dê ăn được là:
2 2 2 1 1 R n 3,14.30 .90 S 706,5m 360 360 π = = = 2 2 2 2 2 R n 3,14.10 .90 S 78,5m 360 360 π = = =
Suy ra: Diện tích cỏ mà 2 con dê ăn được là: 706,5 + 78,5 = 785m2.
Vậy cách buộc dây thừng này dài 30m và dây thừng kia dài 10m thì diện tích cỏ mà cả hai con dê cĩ thể ăn được sẽ lớn hơn.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Điền vào ơ trống trong bảng sau (làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):
Bán kính đường trịn (R) Độ dài đường trịn (C) Diện tích hình trịn (S1) Số đo của cung trịn (n0) Diện tích hình quạt trịn (S2) 13,2cm 47,50 2,5cm 12,50cm2 37,80cm2 10,60cm2 Bài tập 2:
a) Vẽ hình (tạo bởi các cung trịn) với AH = 10 cm và AB = NH = 2 cm. Nêu cách vẽ. b) Tính diện tích hình HOABINH (miền nền đen).
Bài tập 3: Hình vành khăn là phần hình trịn nằm giữa hai đường trịn đồng tâm.
a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 (giả sử R1 > R2 ). b) Tính diện tích hình vành khăn khi R1 = 10,5 cm, R2 = 7,8 cm.
Bài tập 4: Hình viên phân là phần hình trịn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính
diện tích hình viên phân AmB (miền nền đen), biết gĩc ở tâm AOB 60· = 0 và bán kính đường trịn là 5,1 cm.
Bài tập 5:
a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung trịn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách vẽ hình.
BAØI 11: ƠN TẬP
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì: : sđAB = sđ» AC + sđ» CB ?»
2. Với hai cung nhỏ trong một đường trịn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại. 3. Với hai cung nhỏ trong một đường trịn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại.
4. Trong một đường trịn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
5. Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
6. Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (khơng phải là đường kính) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau.
7. Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuơng gĩc với dây căng cung ấy và ngược lại.
8. Số đo của gĩc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
9. Số đo của gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 10. Trong một đường trịn :
a) Các gĩc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. c) Các gĩc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
d) Gĩc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 cĩ số đo bằng nửa số đo của gĩc ở tâm cùng chắn một cung.
e) Gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn là gĩc vuơng và ngược lại, gĩc vuơng nội tiếp thì chắn nửa đường trịn.
g) Gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và gĩc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 11. Số đo của gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
12. Số đo của gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
13. Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một gĩc khơng đổi là hai cung chứa gĩc α dựng trên đoạn thẳng đĩ. (00 < α < 1800)
14. Một tứ giác cĩ tổng số đo hai gĩc đối diện bằng thì nội tiếp được đường trịn và ngược lại. 15. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp :
a) Tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối bằng 1800.
b) Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong của đỉnh đối diện.
c) Tứ giác cĩ bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta cĩ thể xác định được). Điểm đĩ là tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác.
d) Tứ giác cĩ hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một gĩc 16. Hình thang nội tiếp được đường trịn là hình thang cân và ngược lại.
17. Bất kì đa giác đều nào cũng cĩ một và chỉ một đường trịn ngoại tiếp, cĩ một và chỉ một đường trịn nội tiếp.
18. Trên đường trịn bán kính R, độ dài l của một cung n0được tính theo cơng thức:
Rn 180 π =
l
19. Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n0 được tính theo cơng thức:
2R n R n S 360 π = hay S R 2 =l II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (gĩc C khác 900 và cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng :
a) CD = CE. b) BHD cân. c) CD = CH.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) và tia phân giác của gĩc A cắt đường trịn tại
M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng : a) OM đi qua trung điểm của dây BC. b) AM là tia phân giác của gĩc OAH.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuơng ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường trịn đường kính
MC. Kẻ BM cắt đường trịn tại D. Đường thẳng DA cắt đường trịn tại S. Chứng minh rằng: a) ABCD là một tứ giác nội tiếp.
b) ABD ACD· =·
c) CA là tia phân giác của gĩc SCB.
Bài tập 4: Cho đường trịn (O) và một điểm A cố định trên đường trịn. Tìm quỹ tích các trung điểm
M của dây AB khi điểm B di động trên đường trịn đĩ.
Bài tập 5: Dựng tam giác ABC, biết BC = 6 cm, gĩc BAC vuơng, đường cao AH cĩ độ dài là 2 cm. Bài tập 6: Cho đường trịn (O), đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngồi đường trịn. SA, SB
cắt đường trịn O tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AM. Chứng minh SH ⊥ AB.
Bài tập 7: Dựng ∆ABC biết cạnh huyền 8cm và 1 cạnh gĩc vuơng bằng 5cm.
Bài tập 8: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O). Gọi M, N, K là điểm chính giữa của các cung bị chắn
BC, CA, AB bởi các gĩc A, B, C. a) Chứng minh: AM ⊥ NK.
b) AM cắt CK tại I. Chứng minh: ∆CMI cân.
Bài tập 9: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O) và tia phân giác của gĩc A cắt đường trịn tại M. Vẽ
đường cao AH.
a) Chứng minh: OM đi qua trung điểm của dây BC. b) Chứng minh: AM là tia phân giác của OAH .· c) Cho A 60 .µ = 0 Tính diện tích hình quạt BOC theo R.
Bài tập 10: Cho đường trịn (O) và điểm A cố định trên đường trịn. Tìm quỹ tích các trung điểm M
của dây AB khi B di động trên đường trịn.
Bài tập 11: Cho đường trịn (O), cung BC cĩ số đo bằng 1200. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Khi điểm A di động trên cung lớn BC thì điểm D di chuyển trên đường nào?
Bài tập 12: Cho ∆ABC cĩ 3 gĩc đều nhọn nội tiếp đường trịn (O), đường cao hạ từ A và B cắt nhau
tại H và cắt đường trịn (O) lần lượt tại D và E. a) Chứng minh: CD = CE.
b) Chứng minh: ∆BHD cân. c) Chứng minh: CD = CH.
CHƯƠNG IV: HÌNH TRỤ, HÌNH NĨN, HÌNH CẦU BAØI 1: HÌNH TRỤ. DIỆN TÍCH XUNG QUANH
VAØ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ.