III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập
2. Cách giải bài tốn quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đĩ, ta phải chứng minh hai phần:
- Phần thuận: Mọi điểm cĩ tính chất τ đều thuộc hình H. - Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều tính chất τ.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M cĩ tính chất τ là hình H.
(Thơng thường với bài tốn “Tìm quỹ tích …” ta nên dự đốn hình H trước khi chứng minh).
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuơng ở A, cĩ cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân
giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Giải
- Phần thuận:
Giả sử điểm I dựng được thỏa mãn bài tốn.
Ta cĩ: · 1( )µ µ 1( µ ) 0
BIC 180 B C 180 180 A 180 45 135
2 2
= − + = − − = − =
Khi A di chuyển trên (O) thì I di chuyển trên cung trịn đi qua ba điểm B, I, C. Kẻ Bx là tiếp tuyến của (O') · 0
ABx 135
⇒ =
Vì B cố định nên Bx cố định và BC cố định nên đường trung trực d của BC cũng cố định. Vậy O' cố định khơng phụ thuộc vào I.
- Phần đảo:
Lấy điểm A' nằm trên (O) thì ta cĩ điểm I' nằm trên (O').
Khi đĩ: · · 0
BI 'A ABx 135
⇒ = = (cùng chắn cung BC)
Ta cĩ: Mỗi điểm A thì tương ứng một điểm A' nên mỗi điểm I sẽ cĩ một điểm I'.
- Kết luận: Với cạnh BC cố định thì luơn cĩ 2 ∆ABC vuơng tại A. Khi A di chuyển trên 1 đường trịn
thì I di chuyển trên 2 cung trịn đi qua 3 điểm B, I, C.
Bài tập 2: Cho các hình thoi ABCD cĩ cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường
chéo của các hình thoi.
- Phân thuận:
Giả sử tìm được quỹ tích của điểm O thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Gọi I là trung điểm của AB. Vì AB cố định ⇒ I cố định.
Kẻ đường trịn I; AB 2
÷
. Mà AOB 90· = 0⇒ O nằm trên đường trịn (I) cố định. Với mỗi điểm O ta cĩ điểm C đối xứng với A qua O. Điểm D đối xứng với B qua O. Nối các điểm A, B, C, D ta được hình thoi ABCD tâm O với AB cố định.
- Phần đảo: Ta luơn cĩ đường trịn I; AB 2 ÷ cố định. Lấy điểm O' thuộc (I), khi đĩ: AO 'B 90· = 0.
Lấy điểm C' đối xứng với A qua O'. Điểm D' đối xứng với B qua O'.
Vậy ta được hình thoi ABC'D' thỏa mãn yêu cầu bài tốn cĩ O' là tâm và AB cố định.
- Kết luận:
Vì AB cố định và AOB 90· = 0 nên O luơn nằm trên đường trịn tâm là trung điểm của AB. Bài tốn cĩ một nghiệm hình (1 quỹ tích).
Bài tập 3: Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường trịn tâm B cĩ bán kính
khơng lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Chứng minh
- Phần thuận:
Giả sử điểm M tìm được thỏa mãn yêu cầu bài tốn: AM là tiếp tuyến của đường trịn tâm B cĩ bán kính khơng lớn hơn AB.
Suy ra: · 0 AMB 90= . Kẻ đường trịn O; AB 2 ÷
. Với mỗi điểm M khơng trùng với A và nằm trên (O) đều thỏa mãn
· 0
AMB 90= nên AM ⊥ MB tại M.
Nên AM là tiếp tuyến của đường trịn tâm B cĩ bán kính khơng lớn hơn AB.
- Phần đảo: Với AB cố định, chỉ cĩ 1 đường trịn O; AB 2 ÷ . Lấy điểm M' ∈ (O) và M' khơng trùng với A và B.
⇒ AM 'B 90· = 0 ⇒ AM' ⊥ BM' tại M' ⇒ AM' là tiếp điểm của đường trịn tâm B cĩ bán kính khơng lớn hơn AB.
- Kết luận:
Vì cĩ 1 đường trịn O thỏa mãn · 0
AMB 90= nên bài tốn chỉ cĩ mơt nghiệm hình.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Dựng tam giác ABC, biết BC = 6 cm, A 40µ = 0 và đường cao AH = 4 cm.
Bài tập 2: Cho đường trịn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường trịn. Trên tia đối
của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. a) Chứng minh AIB khơng đổi. ·
b) Tìm tập hợp các điểm I nĩi trên.
Bài tập 3: Cho I, O lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
với µ 0
A 60= . Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường trịn.
Bài tập 4: “Gĩc sút” của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ ? Biết rằng chiều rộng cầu mơn là 7,32
m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân cĩ cùng “gĩc sút” như quả phạt đền 11 mét.
Bài tập 5: Dựng một cung chứa gĩc 550 trên đoạn thẳng AB = 3cm. BAØI 7: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Khái niệm: Tứ giác nội tiếp là tứ giác cĩ 4 đỉnh cùng nằm trên một đường trịn.2. Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo của 2 gĩc đối diện bằng 1800.