II. CÁC DẠNG TỐN: Dạng 1: Tốn chuyển động:
x 6+ bể Theo bài ra ta cĩ phương trình:
Theo bài ra ta cĩ phương trình:
1
x + 1
x 6+ =
14 4
Giải phương trình trên, ta được: x = 6.
Vậy vịi thứ nhất chảy 6 giờ, vịi thứ hai chảy 12 giờ thì đầy bể.
Bài tập 3: Cĩ hai vịi nước, vịi I chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vịi II chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta
cho vịi I chảy trong một thời gian, rồi khĩa lại và cho vịi II chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vịi đã chảy trong bao lâu?
Giải
Vịi I chảy riêng làm đầy bể trong 1,5 = 3
2 giờ thì trong 1 giờ chảy vào được 2 3 bể. Vịi II chảy riêng làm đầy bể trong 2 giờ thì trong 1 giờ chảy vào được 1
2 bể.
Gọi thời gian mà vịi I đã chảy là x giờ (0 < x < 1,8), thời gian vịi II đã chảy là 1,8 - x giờ. Theo bài ra, ta cĩ phương trình:
( )
2 1
x 1,8 x 1 3 +2 − = Giải phương trình trên, ta được: x = 0,6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vịi I chảy trong 0,6 giờ, vịi II chảy trong 1,2 giờ.
Bài tập 4: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vịi
thứ nhất chảy nhanh hơn vịi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mõi vịi chảy trong bao lâu mới đầy bể.
Giải
Gọi thời gian vịi thứ hai chảy riêng đầy bể là x giờ, (x > 2) Vịi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x - 2 giờ.
Ta cĩ: 2 giờ 55 phút = 35 12 giờ. Theo bài ra, ta cĩ phương trình:
1 1 12x x 2+ =35 x x 2+ =35
−
Giải phương trình trên, ta được: x = 7 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy vịi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 5 giờ, vịi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 7 giờ.
3. Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Hai vịi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vịi thứ nhất chảy trong
10 phút và vịi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy 15
2
bể. Hỏi mỗi vịi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy bể.
Bài tập 2: Hai vịi nước nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vịi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì
đầy bể. Hỏi nếu vịi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Bài tập 3: Hai vịi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau
5 4
4 giờ đẩy bể, mơĩ giờ lượng nước của vịi 1 chảy bằng
2 1
1 lượng nước ở vịi 2. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
Bài tập 4: Hai vũi nước cùng chảy vào một cái bể khơng cĩ nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu
mở vũi 1 trong 3 giờ và vũi 2 trong 4 giờ thỡ được 3
4 bể nước. Hỏi mỗi vũi chảy một mỡnh thỡ trong bao lâu mới đầy bể.
Dạng 5: Tốn tìm số: 1. Phương pháp:
Cách viết số trong hệ thập phân của số tự nhiên: Số cĩ hai chữ số: ab = 10a+b
Số cĩ ba chữ số: abc = 100a+10b+c
Số cĩ ba chữ số: abcd = 1000a+100b+10c+ d Quan hệ chia hết và chia cĩ dư:
Số a chia b được c và cĩ số dư là r, được viết: a = b.c + r. Nếu a chia hết cho b thì số dư r = 0.
Nếu a khơng chia hết cho b thì số dư r ≠ 0.
2. Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Một số của một phân số lớn hơn tử số của nĩ là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nĩ
thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng 1
2 phân số đã cho. Tìm phân số đĩ?
Giải
Gọi tử số của phân số đĩ là x, (Điều kiện: x 3≠ ) Mẫu số của phân số đĩ là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì Tử số là x + 1
Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4 Được phân số mới bằng 1
2 ta cĩ phương trình:
x 1 1 x 4+ =2
+
Giải phương trình trên ta được: x = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phân số cần tìm là 2
5.
Bài tập 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp cĩ tổng các bình phương của nĩ là 85. Giải
Gọi số bé là x, (x N∈ ). Số tự nhiên kề sau là x + 1.
Vì tổng các bình phương của nĩ là 85 nên ta cĩ phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85 2 2 2 2 2 2 x x 2x 1 85 2x 2x 84 0 x x 42 0 b 4ac 1 4.1.( 42) 169 0 169 13 ⇔ + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ∆ = − = − − = > ⇒ ∆ = = Phương trình cĩ hai nghiệm
1
2
1 13
x 6 (tho¶ m·n ®iỊu kiƯn) 2 1 13 x 7 (lo¹i) 2 − + = = − − = = −
Vậy hai số phải tìm là 6 và 7.
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số. Biết rằng tổng các chữ số là 11. Nếu đỗi chỗ hai chữ số,
hàng chục và hàng đơn vị thì số đĩ tăng thêm 27 đơn vị.
Giải
Gọi chữ số hàng đơn vị là x, (Điều kiện: 0 < x ≤ 9). Chữ số hàng chục là 11 - x.
10x + 11 - x = 10(11 - x) + x + 27 Giải phương trình trên, ta được: x = 7.
Vậy số cần tìm là 47.
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2
và số đĩ lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nĩ là 1.
Giải
Gọi chữ số đơn vị là x, (0 ≤ x ≤ 7). Chữ số hàng chục là x + 2.
Vì số cần tìm lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nĩ là 1 nên ta cĩ phương trình: 10(x + 2) + x = (x + 2)2 + x2 + 1
Giải phương trình trên, ta được: x = 5. Vậy số cần tìm là 75.
Bài tập 5: Tìm hai số khi biết tổng là 12 và tổng bình phương của chúng bằng 90. Hai số đĩ là. Giải Gọi số thứ nhất là x (x∈N, x < 12) Số thứ hai là 12 - x. Theo bài ra ta cĩ: x2 + (12 - x)2 = 90 ⇔ x2 - 12 x + 27 = 0 ⇔ =x 3 x 9= Vậy hai số cần tìm là 3 và 9. 3. Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Tìm số tự nhiên cĩ 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4
và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận được số mới bằng 5 17
số ban đầu.
Bài tập 2: Tìm số tự nhiên cĩ 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2
và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận được số mới bằng 7 4
số ban đầu.
Bài tập 3: Cho một số cĩ hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi theo thứ tự ngược lại
được một số mới lớn hơn số lúc đầu 27 đơn vị. Tìm số đã cho.
Bài tập 4: Một số cĩ hai chữ số lớn gấp 3 lần tổng các chữ số của nĩ, cịn bình phương của tổng các
chữ số gấp 3 lân số đã cho. Tìm số đĩ.
Bài tập 5: Đem một số cĩ hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nĩ thì được 405. Nêu lấy số được
viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nĩ thì được 486. Tìm số đĩ.
Bài tập 6: Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đĩ. Bài tập 7: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50. Hỏi số đĩ là bao nhiêu? Bài tập 8: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đĩ biết rằng 2
5 số thứ nhất thì bằng 1
6 số thứ hai.
Bài tập 9: Tìm số tự nhiên cĩ 2 chữ số, biết rằng số đĩ bằng lập phương của số tạo bởi chữ số hàng
vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đĩ.
Bài tập 10: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
Dạng 6: Tốn sử dụng các kiến thức vậy lý, hĩa học: 1. Phương pháp:
Tính khối lượng riêng của vật:
m D =
V D: Khối lượng riêng, m: Khối lượng, V: Thể tích.
Cơng thức tính thành phần phần trăm của chất cĩ trong dung dịch:
ct dd
m
C% = .100% m
C%: Nồng độ phần trăm, mct: Khối lượng chất tan, mdd: Khối lượng dung dịch.
2. Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác cĩ khối lượng riêng nhỏ hơn nĩ là
0,2g/cm3 để được hỗn hợp cĩ khối lượng riêng 0,7g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Giải
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (g/cm3), (Điều kiện: x > 0,2) Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x – 0,2 (g/cm3).
Thể tích của chất lỏng thứ nhất là 8 3 (cm ) x Thể tích của chất lỏng thứ hai là 6 3 0 2(cm ) x− , Thể tích của hỗn hợp là 8 6 3 0 2(cm ) x x+ , +
Theo bài ra ta cĩ phương trình: 8 6 14 0 2 0 7 x x+ , = ,
+
Giải phương trình trên, ta được: x = 0,8 (thỏa mãn điều kiện) Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 0,8 (g/cm3) Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm3).
Bài tập 2: Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào
dung dịch đĩ để được một dung dịch chứa 20% muối?
Giải
Gọi x là lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0, g) Khi đĩ lượng dung dịch nước là 200 + x.
Nồng độ dung dịch là 50 200 + x
Theo đề bài ta cĩ phương trình: 50 = 20 200 + x 100 Giải phương trình trên, ta được: x = 100. Vậy lượng nước cần pha thêm là 100g.
Bài tập 3: Người ta pha 3kg nước nĩng ở nhiệt độ 900C và 2kg nước lạnh ở nhiệt độ 200C. Hỏi nhiệt độ nước sau khi pha là bao nhiêu.
Giải
Gọi nhiệt độ cuối cùng của nước sau khi pha là x0C, (x > 0)
Khi đĩ nhiệt lượng tỏa ra là: 3c(90 - x) kilocalo, (với c là nhiệt dung riêng của nước) Nhiệt lượng hấp thụ là: 2c(x - 20) kilocalo.
Do nhiệt lượng thu được bằng nhiệt lượng tỏa ra, ta cĩ phương trình: 3c(90 - x) = 2c(x - 20) Giải phương trình trên, ta được: x = 620C (thỏa mãn điều kiện)
Bài tập 4: Khi trộn 8g chất lỏng M với 6g chất lỏng N cĩ khối lượng riêng nhỏ hơn 200kg/m thì được một hỗn hợp cĩ khối lượng riêng 700kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Giải
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng M là x kg/m3, (x > 200) Khối lượng riêng của chất lỏng N là x - 200 kg/m3
Theo bài ra, ta cĩ phương trình: 8 6 14 x x 200+ =700
− Giải phương trình trên, ta được: x = 800.
Vậy khối lượng riêng của M là 800 kg/m3 và khối lượng riêng của N là 600 kg/m3.
Bài tập 5: Người ta hịa lẫn 4kg chất lỏng I với 3kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp cĩ khối lượng
riêng là 700kg/m3. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng II là 200kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Giải
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng I là x kg/m3, (x > 200) Khối lượng riêng của chất lỏng II là x - 200 kg/m3.
Theo bài ra, ta cĩ phương trình: 4 3 7 x x 200+ =700
− Giải phương trình trên, ta được: x = 800.
Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là 800 kg/m3, khối lượng riêng của chất lỏng II là 600 kg/m3.
3. Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Cho 200g dung dịch cĩ nồng độ 10%. Phải pha thêm vào dung dịch đĩ bao nhiêu gam
nước để dung dịch lúc sau cĩ nồng độ là 8%.
Bài tập 2: Hai dung dịch cĩ khối lượng tổng cộng bằng 220kg. Lượng muối trong dung dịch I là 5kg,
lượng muối trong dung dịch II là 4,8kg. Biết nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 1%. Tính khối lượng mỗi dung dịch nĩi trên.
Bài tập 3: Vào thế kỷ III trước cơng nguyên, vua xứ Xi-ra-cut giao cho Ac-si-met kiểm tra chiếc mũ
bằng vàng của nhà vua cĩ bị pha thêm bạc hay khơng. Chiếc mũ cĩ trọng lượng 5niuton (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm 0,3 niuton. Biết rằng khi cân trong nước, vàng giảm
1
20 trọng lượng, bạc giảm 1
10 trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, bao nhiêu gam bạc?
Dạng 7: Tốn dân số, phần trăm: 1. Phương pháp:
Cách giải:
Gọi a là số dân được biết trước. Khi đĩ:
Nếu tăng dân số thêm b% thì ta cĩ số dân sau khi tăng là: a + ab%. Nếu giảm dân số b% thì ta cĩ số dân sau khi giảm là: a - ab%.
Gọi x là số tiền được gửi cố định, với lãi suất gửi số tiền x là y%/ tháng và khơng thay đổi lãi suất. Khi đĩ:
Số tiền tính được trong một tháng là: x + x.y%
Số tiền tính được trong hai tháng là: x + (x +x.y%).y% Tương tự như vậy, ta tính được số tiền gửi trong một năm.
2. Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho
trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau. 1) Hãy viết biểu thức biểu thị :
Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;
Số tiền (cả gốc lẫn lãi) cĩ được sau tháng thứ nhất; Tổng số tiền lãi cĩ được sau tháng thứ hai.
2) Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?
Giải
1) Số tiền lãi sau một tháng gửi với lãi suất a% với tiền gửi x nghìn đồng là ax. Số tiền cĩ được (cả gốc lẫn lãi) sau tháng thứ nhất : x + ax = x (1 + a) nghìn đồng.
Số tiền lại sau hai tháng là : L = ax + ax(1 + a) = x(a2 + 2a) 2) Thay a = 1,2% là L = 48,288 ta được : 144 24 x + = 48, 288 1000000 1000 ÷
Giải phương trình trên, ta được: x = 2000000 đồng
Bài tập 2: Năm ngối, tổng dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, cịn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy, số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. tinh số dân năm ngối của mỗi tỉnh.
Giải
Gọi tổng số dân của tỉnh A trong năm ngối là x (người), (Điều kiện: 0 < x < 4000000) Số dân của tỉnh B trong năm ngối là 400000 - x.
Theo bài ra, ta cĩ phương trình:
x + 1,1%x = 4000000 - x + 1,2%(4000000 - x) + 807200 Giải phương trình trên ta được: x = 2400000.
Vậy dân số tỉnh A là 2400000, dân số tỉnh B là 1600000.
Bài tập 3: Dân số hiện nay của một phường là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số của phường là
40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số tăng bao nhiêu phần trăm?
Giải
Gọi số phân trăm dân số tăng mỗi năm là x% (x > 0).
Dân số cách đây 2 năm là 40000 người thì dân số cách đây một năm là: 40000 + x
100 40000 = 40000 + 400x Hiện nay là năm thứ hai nên dân số tăng thêm x%, tức là dân số hiện nay là:
40000 + 400x + x
100(40000 + 400x) = 4x
2 + 800x + 40000 Theo bài ra, ta cĩ phương trình:
4x + 800x + 40000 = 41618 hay x + 200x - 404 = 0 Giải phương trình trên, ta được: x = 2.
Vậy dân số tăng hằng năm là 2%.
3. Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Năm ngối tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng
1,2%, cịn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngối và năm nay.
Bài tập 2: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ I vượt mức
15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng, mỗi tổ sản