III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập
3. Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:
* Trong tứ giác nội tiếp, tổng các gĩc đối diện bằng 1800. Ngược lại, nếu một tứ giác cĩ tổng các gĩc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đĩ nội tiếp được đường trịn.
µ µ µ µ 0
A + C = B + D = 180
* Gĩc ngồi ở một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng gĩc trong ở đỉnh đối diện.
(µ µ 1 A C= )
* Định lý: Ptơ-lê-mê: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng các tích của hai cạnh đối diện bằng tích của
hai đường chéo.
AB.CD + AD.BC = AC.BD
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Tứ giác ABCD cĩ ABC ADC 180 .· +· = 0 Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Chứng minh
Vì ABC ADC 180· +· = 0 ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn.
Giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC là tâm đường trịn đi qua 3 điểm ABC. Giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và BD là tâm đường trịn đi qua 3 điểm ABD. Mà ∆ABC và ∆ABD cĩ cùng tâm đường trịn ngồi tiếp nên cĩ giao điểm các đường trung trực của các cạnh là trùng nhau.
Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Bài tập 2: ABCD là một tứ giác nội tiếp đường trịn tâm M. Biết:
· 0 · 0 · 0
DAB 80 , DAM 30 , BMC 70 .= = = Hãy tính số đo các gĩc
· · · ·
MAB, BCM, AMB, DMC, AMD, MCD, BCD.
Giải
Ta cĩ:
· · · 0
MAB DAB DAM 80 30 50= − = − =
· · 0
BCM BMC 70= = (Vì ∆MBC cân tại M)
· 0 · · 0
AMB 180= −MAB MBA 180 50 50 80− = − − = (Vì ∆MAB cân tại M)
· · · 0
MCD 180 DAB BCM 180 80 70 30= − − = − − =
· · · 0
DMC 180 MCD MDC 180 30 30 120= − − = − − =
· · · 0
AMD 180 MAD MDA 180 30 30 120= − − = − − =
· · · 0
BCD BCM MCD 70 30 100= + = + =
Bài tập 3: Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa đỉnh A, lấy điểm D sao
a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường trịn đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Chứng minh
a) Vì ∆ABC đều ⇒ AB = AC và DB = DC ⇒ AD là đường trung trực của BC và cũng là đường phân giác của A .µ
Ta cĩ: DBC· 1ACB· 1BAC DAC· ·
2 2
= = = (2 gĩc cùng chắn CD )»
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Vì ∆ABC đều nên đường trịn (O) ngoại tiếp ABC sẽ ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Ta cĩ tâm O của đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.
Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD. Đường trịn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P
khác C. Chứng minh AP = AD.
Chứng minh
Ta chứng minh được tứ giác ABCP là hình thang cân. ⇒ ABC APC 180· +· = 0
và APD APC 180· +· = 0
Mà ADC ABC· =·
⇒ ADC APC· =· ⇒ ∆ADP cân tại A. Vậy AP = AD.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại E. Vẽ EF ⊥ AD (F∈ AD). Gọi M alaf trung điểm DE. Chứng minh: a) Các tứ giác ABEF, DCEFF nội tiếp.
b) Tia CA là phân giác của BCF .· c) Tứ giác BCMF nội tiếp.
Bài tập 2: Cho ∆ABC vuơng tại A. Lấy điểm M trên cạnh AC. Vẽ đường trịn đường kính MC.
Đường thẳng BM cắt đường trịn tại D. DA cắt đường trịn tại S. a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Chứng minh CA là tia phân giác của gĩc SCB .·
Bài tập 3: Từ điểm A ở ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường trịn. Trên BC
lấy điểm M. Vẽ đường thẳng xy ⊥ OM tại M cắt AB, AC lần lượt tại E, D. a) Chứng minh: Tứ giác EBMO và DCMO nội tiếp.
b) Chứng minh: M là trung điểm ED. c) Chứng minh: Tứ giác EODA nội tiếp.
BAØI 8: ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP. ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP.