1. Dạng phương trình: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 trong đĩ a, b, c là các hệ số, x là ẩn số. 2. Cách giải: a. Dạng tổng quát:
Bước 1: Tính biệt thức: ∆ = b2 - 4ac.
Bước 2: Lấy nghiệm của phương trình bậc hai theo ∆: Nếu ∆ < 0: Phương trình vơ nghiệm.
Nếu ∆ = 0: Phương trình cĩ nghiệm kép x = - b 2a Nếu ∆ > 0: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt:
1,2
-b ±Δ x =
2a
b. Dạng thu gọn:
Bước 1: Tính biệt thức: ∆' = b'2 - ac, (với b = 2b') Bước 2: Lấy nghiệm của phương trình bậc hai theo ∆':
Nếu ∆' < 0: Phương trình vơ nghiệm.
Nếu ∆' = 0: Phương trình cĩ nghiệm kép x = -b' a Nếu ∆' > 0: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt:
1,2
-b' ±Δ' x =
a
3. Điều kiện để phương trình bậc hai cĩ nghiệm:
Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)
Phương trình trên cĩ nghiệm nếu một trong các trường hợp sau xảy ra:
Lưu ý: Chứng minh phương trình bậc hai (luơn) cĩ hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
1) 3x2 - 10x + 8 = 0 2) x2 - x - 6 = 0 3) 2x2 + 6x - 20 = 0 Giải 1) 3x2 - 10x + 8 = 0 Ta cĩ: ∆ = (-10)2 - 4.3.8 = 4 > 0. Suy ra: ∆ = 4=2.
Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x1 = ( ) 2
3 . 2 2 10 + = − − và x2 = ( ) 3 4 3 . 2 2 10 − = − − . 2) x2 - x - 6 = 0 Ta cĩ: ∆ = (-1)2 - 4.1.(-6) = 25 > 0.
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
i) ac ≤ 0
2i) ∃α ∈ R: af(α) ≤ 0. 3i) ∆ ≥ 0, (∆’ ≥ 0)
Suy ra: ∆ = 25 5=
Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là ( ) ( )
1 1 1 5 1 5 x 3; x 2 2 2 − − + − − − = = = = − 3) 2x2 + 6x - 20 = 0 Ta cĩ: ∆' = 32 - 2.(-20) = 49 > 0. Suy ra: ∆ =' 49 7=
Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là 1 1
3 7 3 7
x 2; x 5
2 2
− + − −
= = = = −
Bài tập 2: Chứng minh phương trình sau luơn cĩ hai nghiệm:
1) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - 8 = 0 2) x2 - 2(m - 2)x - m2 - 8m + 1 = 0.
Giải
1) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - 8 = 0 Ta cĩ:
∆' = (3m - 1)2 - (9m2 - 6m - 8) = 9 > 0. Vậy phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. 2) x2 - 2(m - 2)x - m2 - 8m - 6 = 0.
Ta cĩ:
∆' = (m - 2)2 + (m2 + 8m + 6) = 2(m2 + 2m + 1) + 8 = 2(m + 1)2 + 8 ≥ 8 > 0. Vậy phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 3: Tìm m để hai phương trình
x2 + (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) và x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) cĩ ít nhất một nghiệm chung.
Giải
Điều kiện phương trình cĩ nghiệm:
∆1 = (m + 4)2 – 4(m + 5) = m2 + 4m – 4 ≥ 0 ⇔ m≤ −2 2 2− ∪m 2 2 2≥ −
∆2 = (m + 2)2 – 4(m + 1) = m2 ≥ 0 (thỏa mãn với mọi m) Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm ⇔x1=1; x2 = +m 1 Với x1 = 1 thay vào phương trình (1), ta được:
2m + 10 = 0 ⇔ m = - 5 (thỏa mãn).
Với x2 = m + 1 thay vào phương trình (1), ta được: m2 + 4m + 5 = 0
Phương trình này vơ nghiệm.
Vậy m = -5 thì hai phương trình luơn cĩ nghiệm chung là x = 1.
Bài tập 4: Tìm m để hai phương trình sau cĩ ít nhất một nghiệm chung:
x2 - mx + 1 = 0 (1) và x2 - x + m = 0 (2) tìm các nghiệm riêng của từng phương trình nếu cĩ.
Giải
- Điều kiện cần:
Lấy (1) trừ (2), ta được: x(m – 1) = (1 – m) ⇔ x = -1, (m ≠ 1). - Điều kiện đủ:
Với x = -1 thay vào cả hai phương trình, ta được: m = -2. Tìm nghiệm cịn lại:
Với m = - 2, thay vào (1), ta được: x2 + 2x + 1= 0 cĩ nghiệm kép x = -1.
Với m = - 2, thay vào (2), ta được: x2 - x – 2 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt là x = -1; x = 2.
Bài tập 5: Chứng minh phương trình: (m + 1)x2 - 2mx - m - 1 = 0 luơn cĩ nghiệm với mọi m.
Ta cĩ: Tích a.c = (m + 1)(-m - 1) = - (m + 1)2 ≤ 0. Vậy phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
1) 5x2 - 6x + 1 = 0 2) x2 - 10x + 8 = 0 3) x2 - 5 x + 1 = 0
Bài tập 2: Tìm m để các phương trình sau:
1) x2 + x - m = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt.
2) x2 - 3x + m - 1 = 0 cĩ nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đĩ. 3) 2x2 - x + 3m - 1 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt.
4) 3x2 - mx + m2 = 0 vơ nghiệm.
Bài tập 3: Tìm m để hai phương trình sau:
2x2 - x + m = 0 và x2 – (m + 4)x + m + 3 = 0
cĩ ít nhất một nghiệm chung và tìm các nghiệm riêng của từng phương trình nếu cĩ.
BAØI 4: HỆ THỨC VI - ET VAØ ỨNG DỤNG