tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận V của điểm f(x0) ∈ Y tồn tại một lân cận U của
x0 sao cho f(U) ⊂V. Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập con A của X nếu f liên tục tại mỗi điểm x của A. Ánh xạ f gọi là liên tục hoặc ( liên tục trên X) nếu f liên tục tại mỗi điểm x của X.
ĐỊNH LÍ 4.1. Giả sử f: X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, B(x) là một cơ sở của không gian tôpô X tại x, B[f(x)] là một cơ sở của không gian tôpô Y tại f(x). Khi đó f liên tục tại điểm x khi và chỉ khi với mỗi V∈
B[f(x)], tồn tại một U ∈ B(x) sao cho f(U)⊂V.
ĐỊNH LÍ 4.2. Giả sử f: X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y khi đó f liên tục khi và chỉ khi với mỗi V ∈ τY ta đều có f−1( )V ∈τX.
ĐỊNH LÍ 4.3. Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y khi đó các mệnh đề sau là tương đương
1) f liên tục.
2) Tạo ảnh của mỗi tập đóng trong Y là một tập đóng trong X. 3) Với mỗi tập hợp con A của X ta đều có f A( )⊂ f A( ).
4) Với mỗi tập hợp con B của Y ta đều có f−1( )B ⊂ f−1( )B . 5) Với mỗi tập hợp con B của Y ta đều có f−1(Int )B ⊂Intf−1( )B .
Ví dụ 1. Cho ánh xạ f : X →Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Nếu trên X trang bị tôpô rời rạc thì f liên tục với mọi tôpô trên Y. Nếu trên Y trang bị tôpô phản rời rạc thì f liên tục với mọi tôpô trên X.
Ví dụ 2. Giả sử trên tập hợp X được trang bị hai tôpô τ và τ'. Khi đó ánh xạ đồng nhất
I: (X, τ ) → (X, τ') liên tục khi và chỉ khi τ mạnh hơn τ'.
ĐỊNH LÍ 4.4. Giả sử X, Y, Z là các không gian tôpô, f : X → Y, g: Y → Z là những ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ hợp h = g0f : X→ Z; h(x) = g(f(x)) cũng là ánh xạ liên tục.
ĐỊNH LÍ 4.5. Giả sử f, g: X → R là những hàm số liên tục. Khi đó, các hàm số | |f , f±g, min (f, g), max (f, g) là những hàm số liên tục. Nếu g ≠ 0 với mọi x∈X thì f
g cũng là hàm số liên tục.