tôpô rời rạc cũng là không gian compact địa phương.
ĐỊNH LÍ 2.1. Không gian compact địa phương Hausdorff là hoàn toàn chính quy.
Chứng minh. Giả sử X là một không gian compact địa phương Hausdorff, F là một tập đóng trong X và x ∈X \ F. Gọi U là một lân cận của x sao cho U là compact. Tập F1 = (U\U) ∪(U ∩ F) là đóng trong X và do đó là đóng trong U.
Vì U là không gian con compact Hausdorff nên theo định lí 1.5 nó là không gian chuẩn tắc. Do đó nó là không gian hoàn toàn chính quy. Hiển nhiên x∈U ∩ F1. Vì vậy tồn tại một hàm số f1: U →I liên tục sao cho f1(x) = 0 và f1(x) = 1 với mọi y
∈F1. Gọi f2 : X \ U →I là hàm số xác định bởi : 1 2 ( ), ( ) ( ), \ f y y U f y f y y X U ∀ ∈ = ∀ ∈
Vì U ∩(X\ F) = U \U ⊂F1. Do đó với mọi y ∈ U ∩(X\ U), f1(y) = 1 = f2(y). Vậy f là một ánh xạ. Ta sẽ chứng minh f là một liên tục. Thật vậy, giả sử A là một tập hợp đóng trong I. Vì f 1, f2 là những hàm liên tục nên 1
1
f− (A) là một tập đóng trong U và
12 2
f− (A) là một tập đóng trong X \ U. Vì U và X \ U là những tập đóng trong X nên
11 1
f− (A) và 1 2
f− (A) là hai tập đóng trong X. Rõ ràng f(x) = 0 và f(y)=1 với mọi y ∈F. Vậy X là hoàn toàn chính quy.□
ĐỊNH LÍ 2.2. Giả sử X là không gian compact địa phương Hausdorff, A là một tập hợp compact của X và V là một tập hợp mở chứa A. Khi đó tồn tại một tập hợp mở U sao cho
U compact và A ⊂ U ⊂ V ⊂ V.
Chứng minh. Với mỗi x ∈A tòn tại một lân cận Vx của x sao cho Vx là một tập compact trong X. Vì X là không gian chính quy nên tồn tại lân cận Wx của x sao cho
x
W ⊂V. Tập Ux =Vx∩Wx là một lân cận của x. Do Ux⊂Vx nên Uxlà một tập compact. Vì { }Ux x A
∈ là một phủ mở của tập hợp compact A nên tồn tại x1, …, xn ∈A sao cho A ⊂ 1 i n x i U = ∪ . Đặt U= 1 i n x i U = ∪ ; U là tập mở chứa A. Vì 1 i n x i U U = = ∪ nên U và 1 1 i i n n x x i i U U W V = = = ∪ ⊂ ∪ ⊂ .□
phương là một không gian compact địa phương.
b) Không gian con mở của một không gian compact địa phương Hausdorff là một không gian compact địa phương.
Hệ quả. Không gian con mở của một không gian compact Hausdorff là một không gian compact địa phương.
ĐỊNH LÍ 2.4. Tổng trực tiếp
s S∈
⊕Xs của một họ không gian tôpô { }Xs s S∈ là compact địa phương khi và chỉ khi với mỗi s ∈ S, Xslà compact địa phương.
ĐỊNH LÍ 2.5. Tích Đềcác s
s SX X
∈