ĐỊNH LÍ 4.11. R là một không gian liên thông.
Chứng minh. Giả sử R là không gian không liên thông. Khi đó tồn tại một tập con thực sự của R vừa đóng vừa mở A. Vì A là tập con thực sự của R nên tồn tại một số thực r ∉A.
Hiển nhiên A⊂(- ∞, r) ∪(r, ∞). Đặt B = A∩(- ∞, r) và C = A∩(r, ∞).
Ta có A = B∪C. Vì A là một tập hợp khác rỗng nên ít nhất B hoặc C khác rỗng. Giả sử B≠ ∅. Tập hợp B bị chặn trên bởi r nên tồn tại cận trên đúng b≤ r. Vì b là cận trên đúng của B nên tồn tại một dãy { }xn ⊂B sao cho lim
n→∞ xn = b. Vì { }xn là dãy những phần tử của tập đóng A nên b∈A. Vậy b < r do đó b ∈B.
Vì B là tập mở trong R nên tồn tại ε > 0 sao cho (b-ε, b +ε)⊂B ⇒ b +ε ≤r. Số thực x = b +
2
ε
là một phần tử của B, điều này không thể, vì b là cận trên đúng của B. Vậy B = ∅.
Tương tự nếu C ≠ ∅ thì cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vậy R là một không gian liên thông.□
ĐỊNH LÍ 4.12. Nếu A là một tập hợp liên thông trong không gian R thì A là một khoảng (mở hoặc đóng hoặc nửa đóng, hữu hạn hoặc vô hạn).
Chứng minh. Để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh nếu a < b thuộc A thì [a, b] ⊂A. Thật vậy, giả sử tồn tại c ∈(a, b) sao cho c ∉A. Khi đó B = (-∞, c) và C = (c, ∞) là hai tập hợp mở không giao nhau trong R, B∩A=∅, C∩A ≠ ∅ và A
⊂B ∪C. Theo định lí 4.1, A là một tập không liên thông. Điều này trái với giả thiết. Sau đây là một sự mở rộng của định lí Bonzno – Cauchy trong giải tích cổ điển.
ĐỊNH LÍ 4.13. Giả sử f : X → R là một hàm thực liên tục trên một không gian liên thông X; a,b ∈ X, f(a) ≠f(b). Khi đó với mọi số thực C giữa f(a) và f(b) tồn tại một điểm c ∈X sao cho f(c) = C.
Chứng minh. Theo định lí 4.5 thì f(X) là một tập liên thông. Theo định lí 4.12 thì f(X) là một khoảng. Do đó có hai đầu mút f(a) và f(b) nằm trọn trong f(X), vậy C ∈ f(X).□
Không gian tôpô X gọi là liên thông cung nếu với hai điểm bất kì a,b ∈ X tồn tại một ánh xạ liên tục f : [0,1] → X sao cho f(0) = a, f(1) = b.
Ánh xạ f gọi là một cung nối hai điểm a và b, a gọi là điểm đầu, b gọi là điểm cuối của cung. Vì [0,1] là tập hợp liên thông, f là ánh xạ liên tục nên f([0,1]) là một tập hợp liên thông trong X. Tập hợp liên thông này chứa a và b nên X là một không gian liên thông. Như vậy một không gian liên thông cung là liên thông. Điều ngược lại nhìn chung là không đúng.
ĐỊNH LÍ 4.14. Nếu X là một không gian tôpô, A là một tập hợp của X thì một cung bất kì nối một điểm trong của A với một điểm ngoài của A phải cắt biên δ A của A.
III.5. TÔPÔ SINH RA BỞI METRIC. KHÔNG GIAN METRIC HÓA 1. Tôpô sinh bởi một metric 1. Tôpô sinh bởi một metric
Giả sử (X, ρ) là một không gian metric. Họ τ các tập mở trong X là một tôpô trên X.
τ gọi là tôpô sinh ra bởi metric ρ.
ĐỊNH LÍ 5.1. Nếu x0 là một điểm của không gian metric X thì các họ hình cầu tâm x0bán kính r là các số hữu tỉ dương là cơ sở của tôpô τ sinh bởi metric ρ tại điểm x0.
nếu với một lân cận bất kì U của x0, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥
n0thì x∈U.
Khi đó ta viết lim lim
n→∞xn= x0hoặc xn→ x0.
Dễ dàng thấy rằng trong định nghĩa trên có thể thay U bằng một tập hợp bất kì thuộc cơ sở của tôpô tại điểm x0.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng : Dãy phần tử {xn} của không gian metric ( X,
ρ) hội tụ đến phần tử x0của X khi và chỉ khi lim
n→∞ ρ( xn,x0) = 0.
ĐỊNH LÍ 5.2. a) Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Nếu f liên tục tại điểm x0∈ X thì với một dãy bất kì {xn} những điểm X, nếu lim
n→∞xn= x0thì lim
n→∞f(xn) = f(x0).
b) Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ không gian metric X vào không gian metric Y và x0là một điểm của X. Nếu với một dãy bất kì { xn} những điểm của X hội tụ đến x0, đều có lim
n→∞f(xn) = f(x0) thì f liên tục tại điểm x0.
Giả sử ρ1 và ρ2 là hai metric trên cùng tập hợp X. Ta nói rằng ρ1 và ρ2 tương đương nếu chúng sinh ra cùng một tôpô trên X.
Hiển nhiên ρ1 và ρ2tương đương khi và chỉ khi ánh xạ đồng nhất ix: (X, ρ1) → (X, ρ2) là phép đồng phôi.
Từ định lí 5.2, ta có : ρ1 và ρ2tương đương khi và chỉ khi với một dãy bất kì {xn} những điểm của X
lim
n→∞ ρ 1( xn,x0) = 0 ⇔ lim
n→∞ ρ 2 ( xn,x0) = 0.
Ta nói một metric ρ trên X bị chặn bởi một số r nếu ρ(x,y) ≤ r với mọi x,y
∈X.
ĐỊNH LÍ 5.3. Với một không gian metric bất kì (X, ρ) tồn tại một metric
ρ 1bị chặn bởi đơn vị tương đương với ρ.
ĐỊNH LÍ 5.4. Không gian metric là một không gian chuẩn tắc.
Chứng minh. Hiển nhiên trong không gian metric thì tập {x} là tập hợp đóng. Do đó X là T1 – không gian. Giả sử A và B là hai tập đóng không giao nhau trong X. Đặt
Vì các hàm x ֏ ρ(x, A) và x ֏ ρ(x, B) là liên tục trên X, nên U, V là những tập mở trong X.
Hiển nhiên A⊂U, B⊂V và U∩V =∅. Vậy X là không gian chuẩn tắc. □
ĐỊNH LÍ 5.5. Nếu X là một không gian metric khả li thì X có một cơ sở đếm được.
Do đó, không gian con của một không gian metric khả li là một không gian khả li.
Chứng minh. Giả sử X là một không gian metric khả li. Khi đó, tồn tại một tập đếm được {an} trù mật trong X. Ta sẽ chứng minh họ các hình cầu S(an, r) trong đó r là là một số hữu tỉ dương là một cơ sở của tôpô τ sinh bởi metric. Thật vậy, giả sử V là một tập mở tùy ý trong X và x ∈V. Khi đó tồn tại số dương ε sao cho S(x, ε)⊂V. Vì {an} trù mật trong X nên tồn tại một an sao cho: ρ(x,an) <
4
ε
. Nếu r là một số hữu tỉ sao cho
4 r 2
ε ε
< < thì x ∈ S(an, r) ⊂ S(x, ε)⊂V. Dễ thấy họ hình cầu nói trên là đếm được. Do đó tôpô τ có một cơ sở đếm được.
Giả sử X là một không gian metric khả li và M là một không gian con của X. Theo điều vừa chứng minh X có một cơ sở đếm được. Do đó, không gian con M có một cơ sở đếm được, vậy M là một không gian khả li.□