Định nghĩa. Không gian tôpô (X,τ ) gọi là metric hóa nếu tồn tại một metric ρ
sao cho tôpô sinh bởi ρ trùng với tôpô τ .
Không gian metric hóa có một cơ sở đếm được tại mỗi điểm của nó.
Không gian tôpô có tại mỗi điểm của nó một cơ sở đếm được gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất. (Không gian tôpô có một cơ sở đếm được gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai). Như vậy, không gian metric hóa là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
ĐỊNH LÍ 5.6. (Urưxơn)- Không gian chính quy (X,τ ) có cơ sở đếm được là metric hóa.
Chứng minh. Giả sử B = {Un} là một cơ sở đếm được của không gian X. Vì X là chính quy nên: nếu x ∈ Um thì tồn tại Un sao cho x ∈ Un ⊂Un⊂Um . Như vậy, tồn tại những cặp tập hợp (Un , Um ) thuộc B sao cho Un ⊂Um . Hiển nhiên họ các cặp như vậy là đếm được. Ta đánh số các cặp như thế:(U ,U ), …, (U ,U ),
…,( , )
k k
n m
U U , …
X là một không gian chính quy có cơ sở đếm được nên nó là một không gian chuẩn tắc. Với mỗi k, Unkvà \
k
m
X U là hai tập hợp đóng không giao nhau trong không gian chuẩn tắc X nên tồn tại một hàm số liên tục fk: X →I sao cho fk(x)=1 với x ∈ \
k
m
X U .
Gọi ρ là hàm số xác định trên XxX bởi ρ(x, y) =
1 1 | ( ) ( ) |, , 1 | ( ) ( ) |, , 2k k k k f x f y x y X ∞ = − ∀ ∈ ∑ (1)
Chuỗi hàm vế phải của (1) hội tụ với mọi x, y ∈X, vì| fk( )x − fk( ) | 1,y ≤ với mọi
,
x y∈X và với mọi k.
Dễ thấy ρ là một metric trên X và tôpô sinh bởi ρ trùng với tôpô đã cho trên X. □