tại hai tập mở A và B trong X sao cho A ∩ M ≠ ∅,B∩M ≠ ∅, M ⊂ A∪B. Giả sử x
∈ s
s SM M
∈
∩ . Vì x ∈ M nên x thuộc một trong hai tập A hoặc B, chẳmg hạn x ∈ A. Vì B
∩M ≠ ∅ nên tồn tại s0 ∈S sao cho B ∩MS0 ≠ ∅. Ta lại có A∩MS0 ≠ ∅, A∩ B ∩MS0 =∅ và MS0⊂ A∪B. Theo định lí 4.1 MS0 không là tập liên thông. Điều này tráI giả thiết. Vậy M = s
s SM M
∈
∪ là một tập liên thông.□
Hệ quả 2. Nếu với hai điểm bất kỳ x và y của một không gian tôpô X đều tồn tại một tập liên thông chứa x và y thì X là một không gian liên thông.
ĐỊNH LÍ 4.4. Giả sử A là một tập hợp tuỳ ý, B là một tập hợp liên thông trong một không gian X. Nếu B có điểm chung với cả A và phần bù X\ A của A thì B có điểm chung với biên δ A của A.
Hệ quả 3. Mọi tập hợp con thực sự không rỗng của một không gian liên thông đều có ít nhất một điểm biên.
ĐỊNH LÍ 4.5. Ảnh liên tục của một tập hợp liên thông là tập hợp liên thông.
Chứng minh. Để chứng minh định lí ta chỉ cần chỉ cần chứng minh rằng nếu f : X →Y là một toàn ánh liên tục từ không gian tôpô X lên một không gian tôpô Y thì Y là liên thông. Thật vậy, giả sử Y không liên thông. Khi đó tồn tại hai tập mở khác rỗng, không giao nhau A và B của Y sao cho Y = A ∪B. Vì f liên tục f - 1(A) và f - 1(B) là hai tập mở khác rỗng, không giao nhau trong X và:
f - 1(A) ∪f - 1(B) = X.
Hiển nhiên một không gian rời rạc có ít nhất hai điểm là không liên thông. Bây giờ ta tìm một điều kiện để một không gian tôpô là liên thông.
ĐỊNH LÍ 4.6. Không gian tôpô X là không liên thông khi và chỉ khi tồn tại một toàn ánh liên tục f : X → Y từ X lên không gian rời rạc Y có ít nhất hai phần tử.
Chứng minh. Nếu tồn tại một toàn ánh liên tục f : X →Y trong đó Y là một không gian tôpô rời rạc có ít nhất hai phần tử và X là liên thông thì theo định lí 4.5 Y là liên thông. Điều này là không thể. Vậy X là không liên thông.
Đảo lại, giả sử X là một không gian tôpô không liên thông. Khi đó hai tập mở khác rỗng, không giao nhau A và B của X sao cho X = A ∪B. Gọi Y là không gian tôpô rời rạc có hai phần tử {a, b}. Xét ánh xạ f : X →Y xác định bởi f(x) = a với mọi
x ∈A, f(x) = b với mọi x ∈B. Dễ thấy f là một toàn ánh liên tục.
ĐỊNH LÍ 4.7.
a) Tích Đềcác s
s SX X
∈
∏ của một họ các không gian liên thông { }Xs s S∈ là một không gian liên thông.
b) Tích Đềcác s
s SX X
∈
∏ của một họ không gian tôpô không rỗng { }Xs s S∈ là liên thông thì mỗi không gian Xsđều là liên thông.
ĐỊNH LÍ 4.8. Không gian thương của một không gian liên thông là một không gian liên thông.
Chứng minh. Giả sử X là một không liên thông, R là một quan hệ tương đương trên X. Vì ánh xạ thương π : X →X/R là một toàn ánh liên tục nên không gian thương X/R là liên thông.□