Giả sử x là một điểm của một không gian tôpô X. Hợp của tất cả các tập hợp liên thông của X chứa x cũng là một tập hợp liên thông. Đó là tập hợp liên thông lớn nhất trong X chứa x.
Tập hợp liên thông lớn nhất trong không gian X chứa điểm x ∈ X gọi là thành phần liên thông của điểm x. Nếu x ∈ A ⊂X thì thành phần liên thông của điểm x trong không gian con A của X gọi là thành phần liên thông của x trong tập hợp A.
Hiển nhiên nếu X là một không gian liên thông thì nó là thành phần liên thông của mỗi điểm của nó.
chứa các thành phần liên thông của mỗi điểm của nó trong X. Do đó thành phần liên thông của mỗi điểm trong một không gian tôpô X chứa trong giao của tất cả các tập hợp vừa đóng vừa mở chứa điểm đó.
Dễ dàng chứng minh được quan hệ R: xRy ⇔y thuộc thành phần liên thông của x là một quan hệ tương đương.
ĐỊNH LÍ 4.9. Trong một không gian tôpô X thành phần liên thông của mỗi điểm là một tập hợp đóng.
Chứng minh. Gọi Cx là thành phần liên thông của x ∈X . theo định lí 4.2 Cxlà một tập liên thông. Từ định nghĩa của thành phần liên thông của một điểm ta có Cx
=Cx. Vậy Cx là một tập hợp đóng.□
ĐỊNH LÍ 4.10. Trong tích Đềcác s
s SX X
∈
∏ của một họ không gian tôpô { }Xs s S∈ , thành phần liên thông của điểm x = (xs) s
s SX X
∈