Đảo lại, nếu tồn tại một tập hợp con không đếm được R của S sao cho với mọi s ∈R, Xs có nhiều hơn một phần tử thì Xs không phải là một không gian phản rời rạc với mọi s ∈ R. Theo bổ đề 5.8 s
s S X X
∈
∈
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận Câu hỏi:
1. Hãy trình bày khái niệm không gian compact, không gian compact địa phương, không gian liên thông, không gian metric hóa.
2. Hãy nêu những tính chất của ánh xạ liên tục trên không gian compact, không gian liên thông hoặc tập hợp compact, compact địa phương và tập hợp liên thông.
3. Hãy cho biết sự liên hệ giữa tính chất tách và các tính chất compact, compact địa phương và tính liên thông của các không gian tôpô.
Bài tập
Bài 3.1. Hãy chứng minh rằng: tập con A của không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi đối với cặp tập con mở (tương ứng đóng) bất kỳ U, V trong X sao cho A ⊂U
∪V, từ A ∩U ≠ ∅ và A ∩V ≠ ∅ suy ra A ∩U ∩V ≠ ∅ .
Bài 3.2. Hãy chứng minh rằng: không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi mọi cặp điểm của X đều nằm trong một tập con liên thông của X.
Bài 3.3. Cho M và N là những tập con liên thông của không gian tôpô X và
M ∩N ≠ ∅. Hãy chứng minh rằng M∪N cũng liên thông.
Bài 3.4. Cho M và N là những tập con liên thông của không gian tôpô X và
M ∩N ≠ ∅. Hãy chứng minh rằng M∪N cũng liên thông.
Bài 3.5. Cho M và N là những tập con đóng của không gian tôpô X và thoả mãn M∪N và M∩N đều liên thông. Hãy chứng minh rằng M và N cũng liên thông.
Bài3.6. Chứng minh rằng hình tròn đóng hoặc mở trên mặt phẳng là một tập liên thông.
Bài 3.7. Chứng minh rằng thành phần liên thông của không gian tôpô X là tập con đóng của X; hai thành phần liên thông của không gian tôpô X hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau.