10. Cấu trúc luận văn
3.1 Sử dụng Cabri II Plus trong một số tình huống dạy học điển
Lượng giác ở THPT
3.1.1 Sử dụng Cabri II Plus trong dạy học các khái niệm của Lượng giác
Chƣơng trình Lƣợng giác ở THPT cung cấp một hệ thống khái niệm bao gồm: đƣờng tròn định hƣớng, đƣờng tròn lƣợng giác, cung lƣợng giác, góc lƣợng giác, rađian, số đo của một cung lƣợng giác, giá trị lƣợng giác của một cung, hàm số lƣợng giác, phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
Với hệ thống chức năng công cụ của Cabri II Plus nhƣ đã phân tích ở
1.6.2, ta có một môi trƣờng tƣơng tác thuận lợi để hình thành cho HS các khái niệm trên một cách vững chắc.
3.1.1.1 Sử dụng Cabri II Plus trong HĐ tiếp cận khái niệm
Theo Nguyễn Bá Kim [14, tr.345] con đƣờng tiếp cận một khái niệm là quá trình HĐ và tƣ duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tƣờng minh, mô tả, giải thích hay chỉ thông qua trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tƣợng hoặc tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không. Tiếp cận khái niệm là khâu đầu tiên của quá trình hình thành khái niệm.
Phần Lƣợng giác có những khái niệm khó vì không có một khái niệm rộng hơn khái niệm đó để làm điểm xuất phát cho con đƣờng suy diễn và cũng khó tìm đƣợc những đối tƣợng minh họa khái niệm để trình bày khái niệm theo con đƣờng qui nạp. Với sự hỗ trợ của Cabri II Plus, ta có thể cho HS tiếp cận khái niệm theo “con đƣờng kiến thiết” [14, tr.349] mà không tốn quá nhiều thời gian. Các ví dụ sau đây đều trình bày theo các bƣớc tiếp cận khái niệm theo con đƣờng kiến thiết đã nêu ở 1.5.
Ví dụ 1: Tiếp cận khái niệm đƣờng tròn định hƣớng
Bước 1: Xây dựng tƣơng ứng giữa một điểm trên đƣờng tròn và một điểm trên trục số
HS mở tệp vidu1.fig, mô hình sử dụng có đặc điểm khi dịch chuyển điểm E trên thanh trƣợt theo chiều dƣơng thì điểm T chuyển động trên trục số lên trên và AT > 0, khi dịch chuyển điểm E theo chiều âm thì điểm T chuyển động trên trục số xuống dƣới, AT < 0.
HS dịch chuyển điểm E và trả lời
1) Khi điểm T trên trục số chuyển động theo chiều dƣơng thì thấy điểm M chuyển động theo chiều ngƣợc hay thuận với kim đồng hồ? (Trả lời: Ngƣợc chiều kim đồng hồ)
2) Khi điểm T chuyển động theo chiều âm thì điểm M trên đƣờng tròn cũng thay đổi theo chiều nào? (Trả lời: Thuận chiều kim đồng hồ) 3) So sánh độ dài AT và độ dài cung AM . (Trả lời: Bằng nhau)
4) Dịch chuyển điểm M chạy hết một vòng tròn và cho biết: Ứng với mỗi điểm T trên trục số có mấy điểm M trên đƣờng tròn?
(Trả lời: một)
5) (Câu hỏi phụ) Em có thể dùng một kí hiệu nào mô tả tƣơng ứng giữa một điểm T trên trục số và một điểm trên đƣờng tròn? Theo tƣơng ứng đó ta nên qui định chiều nào là chiều “dƣơng” trên đƣờng tròn?
Bước 2: GV tổng quát “Mỗi số thực r trên trục số ứng với một điểm M trên đƣờng tròn. Khi r tăng dần thì điểm M chuyển động trên đƣờng tròn theo chiều ngƣợc chiều quay của kim đồng hồ, khi r giảm dần thì điểm N chuyển động trên đƣờng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ. Nhƣ vậy trên đƣờng tròn cũng có một hƣớng, tƣơng tự nhƣ hƣớng dƣơng âm trên trục số.”
Bước 3: Phát biểu định nghĩa đƣờng tròn định hƣớng “là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương” [9, tr.134]
Mô hình này làm nhiệm vụ mô tả lại HĐ trình bày ở trang 133 SGK Đại số 10. Mô hình có thể thực hiện đƣợc nhiệm vụ dạy học trong thời gian ngắn, có khả năng tƣơng tác với HS thông qua các phản hồi của môi trƣờng khi HS dịch chuyển điểm E trên thanh trƣợt. Đồng thời khắc phục nhƣợc điểm về tính chính xác và tính hữu hạn của mô hình trong [10], khắc phục nhƣợc điểm dễ hỏng của mô hình trong [18].
Ví dụ 2: Tiếp cận khái niệm cung lƣợng giác
Bước 1: Mô tả cách tạo nên một cung từ hai điểm A, B cho trƣớc
HĐ1: HS mở phần mềm Cabri II Plus vẽ một đƣờng tròn bất kì, lấy hai điểm cố định A, B. Lấy M là một điểm trùng với A. Tạo vết cho điểm M, dịch chuyển điểm M từ vị trí A đến vị trí B theo một chiều (âm hoặc dƣơng), vết để lại của điểm M cho ta hình ảnh về cung lƣợng giác AB (xem tệp vidu2.fig). HS trả lời các câu hỏi sau vào phiếu học tập:
Có bao nhiêu cung lƣợng giác AB nhƣ vậy? (Trả lời: Có vô số)
Em tạo nên các cung đó nhƣ thế nào? (Trả lời: Nếu dịch chuyển M từ A đến B và thêm một vòng ta lại có thêm đƣợc một cung lƣợng giác AB nữa, hoặc dịch chuyển điểm M theo chiều âm). HĐ2: Mở lại tệp vidu1.fig, lấy B là một
điểm bất kì trên đƣờng tròn, dịch chuyển E để M thay đổi từ A đến B, hãy cho biết có bao nhiêu cung lƣợng giác tạo thành? (Trả lời: Vẫn nhƣ HĐ1, có vô số)
HĐ3: Hãy đánh dấu vị trí của các điểm T1, T2 …trên trục số ứng với mỗi cung lƣợng giác, đo độ dài các đoạn AT1, AT2 …, so sánh chúng
với nhau và cho biết độ dài các đoạn đó có đặc điểm gì? Từ đó suy ra độ dài các cung lƣợng giác AB có đặc điểm gì? (Trả lời: Các đoạn hơn nhau k2 cm, k Z, do đó độ dài các cung cũng hơn nhau k2 cm)
Bước 2: Khái quát hóa quá trình xây dựng
Nhƣ vậy, bằng cách dịch chuyển điểm M từ điểm A đến điểm B trên đƣờng tròn định hƣớng ta có thể tạo nên vô số cung lƣợng giác, các cung này có độ dài hơn nhau k2.
Bước 3: Phát biểu định nghĩa “Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng, ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B” [9, tr.134]. Ý đồ của GV trong tình huống dạy học trên là cho HS tự mình HĐ, tƣơng tác với phần mềm để khám phá ra khái niệm cung lƣợng giác. HĐ1 giúp HS hình dung khái niệm và nhận thấy cung lƣợng giác đƣợc định nghĩa trên đƣờng tròn định hƣớng bất kì. HĐ2 khẳng định chắc chắn lại về sự vô số của các cung lƣợng giác AB và gợi ý cho việc nghiên cứu đặc điểm của các cung này ở HĐ3. Mục đích của HĐ3 là chuẩn bị cho việc đƣa ra khái niệm số đo của một cung lƣợng giác ở ví dụ 5.
Mô hình xây dựng trong Cabri II Plus cho phép HS nhanh chóng nhận ra sự vô số của các cung lƣợng giác, các em có thể đo đạc các cung lƣợng giác với độ chính xác cao do đó phát hiện ra đặc điểm của các cung lƣợng có cùng điểm biểu diễn. Cabri II Plus không hạn chế về độ lớn các hình vẽ nên HS có thể lấy các cung tùy ý để kiểm chứng lại những dự đoán của mình.
Ví dụ 3: Tiếp cận khái niệm hàm số cos
Bước 1: Xây dựng định nghĩa cosin của một góc lƣợng giác bất kì
HĐ1: GV giấu công cụ Tìm tọa độ (Equation or Coordinate), HS mở tệp vidu3.fig và thực hiện các HĐ sau:
Xác định điểm M sao cho sđAM =
3
Xác định hoành độ điểm M (Trả lời: Qua M kẻ đƣờng thẳng vuông góc Ox tại H, đo độ dài OH ta đƣợc xM = 0,5).
Xét tam giác vuông OMH, hãy tính cos 3 (Trả lời: cos 3 = OH OM = 0,5).
Sử dụng công cụ Máy tính (Caculate) kiểm tra lại cos
3 = 0,5 O y x A(1;0) A'(-1;0) B(0;1) B'(0;-1) + M H Hình 3.3
So sánh cos
3
và OH, kết quả này còn đúng không khi em dịch chuyển
điểm M trên cung AB , trên cung BA '? (Trả lời: Kết quả vẫn đúng trên cung
AB, nhƣng khi sang cung BA ' thì góc AOM đã lớn hơn 900 nên không dùng tỉ số lƣợng giác trong tam giác vuông đƣợc)
(Câu hỏi phụ) Em hãy định nghĩa cos ( là góc lƣợng giác ứng với điểm M) sao cho khi ta dịch chuyển điểm M trên đƣờng tròn lƣợng giác thì định nghĩa đó vẫn đúng? (HS có thể nhớ lại cách định nghĩa ở Hình học 10)
HĐ2: Cho điểm M thay đổi, nhận xét gì về điểm H, độ dài OH, độ dài đại số của OH? (Trả lời: Điểm H chạy trên đoạn AA’, 0 OH 1,
1 OH 1
).
Bước 2: GV tổng quát: “Nhƣ vậy, mỗi số thực x có thể đặt tƣơng ứng với một điểm M duy nhất trên đƣờng tròn lƣợng giác mà số đo cung AM
bằng x rad, mỗi điểm M lại có hoành độ hoàn toàn xác định chính là cosx, nên ta có thể đặt tƣơng ứng với mỗi số thực x một giá trị cosx”.
Bước 3: Phát biểu định nghĩa “Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với mỗi số thực cosx os : R R os c x y c x
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu y = cosx” [8, tr.5] Trong ví dụ trên, mục đích của HĐ1 là giúp HS nắm khái niệm hàm cos, HĐ2 tạo tiền đề cho HS phát biểu tính chất của hàm cos.
Dựa vào tính chất vi thế giới của Cabri II Plus, GV đã tạo ra một tình huống yêu cầu HS phải huy động các kiến thức để tìm đƣợc tọa độ của điểm M, nhờ công cụ đo đạc và tính toán dự đoán mối quan hệ giữa OH và cos
(đối tƣợng đại diện cho khái niệm), thông qua các tƣơng tác với phần mềm HS khái quát hóa và hình thành đƣợc khái niệm theo con đƣờng kiến thiết. Tính tích cực của HS đã đƣợc phát huy trong tình huống dạy học này.
khả năng dịch chuyển đối tƣợng mà vẫn giữ nguyên tính chất của hình vẽ, tạo cho ta một môi trƣờng thuận lợi để đƣa ra nhiều ví dụ cụ thể, từ đó nêu bật đặc điểm chung và hình thành khái niệm cho HS theo con đƣờng qui nạp. Các ví dụ sau đây đều trình bày theo các bƣớc của tiếp cận khái niệm qui nạp đã trình bày trong 1.5.
Ví dụ 4: Tiếp cận khái niệm rađian
Nhƣ phân tích về lý do đƣa ra khái niệm rađian ở phần 2.3.1.3, chúng tôi thấy tuy không tìm ra khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đƣờng suy diễn nhƣng có thể xây dựng đƣợc nhiều hình ảnh về số đo bằng rađian của một cung để hình thành cho HS khái niệm rađian theo con đƣờng qui nạp. Có thể dùng một trong hai cách tiếp cận sau:
Cách tiếp cận 1: HS mở tệp vidu5_1.fig, trong tệp xây dựng một mô hình các đƣờng tròn đồng tâm, trên hình vẽ đã vẽ một góc.
HS đo các độ dài cung l và bán kính R tƣơng ứng.
Tính tỉ số l/R và nhận thấy tỉ số đó là nhƣ nhau đối với ba đƣờng tròn.
Yêu cầu HS thay đổi góc ban đầu, tỷ số đó có thay đổi không? Thay đổi nhƣ thế nào? (Trả lời: Khi góc càng lớn thì tỷ số đó càng lớn).
GV tổng kết “tỉ số đó đặc trƣng cho độ lớn của một góc, ta gọi là số đo bằng rađian của góc”.
Trong cách tiếp cận này, các hỗ trợ tính toán đa dạng, chính xác và tính tƣơng tác cao của Cabri II Plus đã giúp HS nhanh chóng phát hiện ra đặc điểm của tỷ số giữa độ dài cung và bán kính, từ đó đƣa đến dự đoán về sự tồn tại của khái niệm số đo bằng rađian. Các hình vẽ trong tệp cũng có thể đƣợc thay đổi để tạo nên nhiều hình ảnh về số đo bằng rađian của một cung, thuận lợi cho việc nêu ra đặc điểm của tỷ số đó. HS có thể vẽ thêm nhiều đƣờng
Hình 3.4 0.7 cm 1.4 cm2.1 cm 0.9 cm 1.7 cm 2.6 cm
Xem do dai cung l va ban kinh R cac duong tron tuong ung Tinh ty so l/R
Nhan xet ve cac ty so do Dich chuyen mot canh de thay doi goc va nhan xet
tròn đồng tâm khác để kiểm chứng dự đoán của mình.
Cách tiếp cận 2: HS mở tệp vidu5_2.fig, trong tệp vẽ đƣờng tròn tâm O và một góc MON.
Đo độ dài cung MN = l và độ dài bán kính đƣờng tròn R
Tính tỷ số l/R
Dịch chuyển đƣờng tròn để thấy tỷ số đó không thay đổi.
Dịch chuyển một cạnh của góc, tỷ số đó có
thay đổi không? Thay đổi nhƣ thế nào? (Trả lời: Góc càng lớn thì tỷ số đó càng lớn).
GV tổng kết “tỉ số đó đặc trƣng cho độ lớn của một góc, ta gọi là số đo bằng rađian của góc”.
Trong ví dụ trên HS có thể dịch chuyển để thay đổi đƣờng tròn, thông qua phản hồi của môi trƣờng (các độ dài thay đổi nhƣng tỷ số không thay đổi) HS dự đoán đƣợc về sự tồn tại của một khái niệm đặc trƣng cho độ lớn của góc đang quan sát.
Cách tiếp cận khái niệm nhƣ trên giúp HS nhận thấy ý nghĩa của đơn vị rađian trong mối liên hệ giữa bán kính và độ dài cung tròn, bƣớc đầu hình dung đƣợc về số đo của một cung lƣợng giác, công thức tính độ dài cung và qua nhiều hình ảnh cụ thể giúp HS loại bỏ sai lầm, cho rằng cung có độ dài 1 thì có số đo 1rad.
Tiếp cận khái niệm rađian theo một trong hai cách trên sẽ tạo điều kiện cho việc nhận dạng và thể hiện khái niệm rađian, giúp HS giải quyết đƣợc các BT kiểm tra khái niệm rađian ở mức độ hiểu nhƣ tìm độ dài cung, tìm số đo một cung lƣợng giác hay biểu diễn một điểm trên đƣờng tròn lƣợng giác.
Sử dụng phần mềm Cabri II Plus ta còn có thể giúp HS hình thành khái niệm trƣớc khi định nghĩa bằng cách đƣa ra nhiều ví dụ cụ thể về khái niệm,
Hình 3.5 O M N l = 1.61 cm R = 2.03 cm Ket qua 0.79
qua các HĐ tính toán, đo đạc HS tự mình rút ra kinh nghiệm và phƣơng pháp vận dụng định nghĩa để giải BT. Cách làm này đặc biệt hữu ích đối với những khái niệm không đƣợc phát biểu tƣờng minh.
Ví dụ 5: Tiếp cận khái niệm số đo một cung lƣợng giác
Khái niệm số đo một cung lƣợng giác không đƣợc phát biểu tƣờng minh nhƣng qua cách xây dựng khái niệm rađian nhƣ ví dụ 4 ta có thể xây dựng đƣợc cách tính số đo của một số cung cụ thể, từ đó tổng quát lên “Số đo của một cung lượng giác AM (A M) là một số thực âm hay dương” [9, tr.138]. Cách làm cụ thể nhƣ sau:
GV vẽ đƣờng tròn lƣợng giác, lƣu ý HS bán kính R = 1, lấy = 3,14.
HS dùng công cụ Khoảng cách (Distance or length) đo độ dài cung
AA'. Từ kết quả l = 3,14 kết luận số đo cung nửa đƣờng tròn AA' là .
HS tìm số đo của một số cung lƣợng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối với cung AB nhƣ hình vẽ 3.6
Do hƣớng của các cung khác nhau nên HS sẽ tìm đƣợc số đo của cung
AB trong hình 3.6 a) là 3, trong hình 3.6 b) là -3. Do đó HS kết luận đƣợc “số đo của một cung là một số thực âm hay dƣơng”. HS mở tệp vidu1.fig để kiểm tra lại kết quả.
Khi xét độ lớn các cung này, HS khá sẽ nhận thấy các cung khác nhau bội của chu vi đƣờng tròn, do vậy số đo bằng rađian của các cung đó cũng khác nhau k2, GV có thể tổng kết ngay tại đây. Với HS trung bình có thể sử dụng lại HĐ3 trong ví dụ 2, từ đó HS sẽ nhận thấy rằng “số đo của các cung
Hình 3.6
lƣợng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2”. Tiếp tục cho HS làm việc với các cung không đặc biệt (bằng cách đo trực tiếp), lặp lại HĐ tìm số đo các cung lƣợng giác khác nhau có cùng điểm đầu và điểm cuối với cung này, qua đó khẳng định lại hai nhận xét trên.
Nhƣ vậy, trong ví dụ này Cabri II Plus đã giúp HS tiếp xúc với khái niệm số đo bằng rađian của một góc trƣớc khi định nghĩa nó. Thông qua tính