10. Cấu trúc luận văn
2.2 Phân tích sách giáo khoa năm 2005
2.2.1 Lượng giác lớp 10
Lƣợng giác trong SGK Đại số 10 năm 2005 [9] gồm các vấn đề sau:
Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác
§ 1. Cung và góc lƣợng giác: Khái niệm cung và góc lƣợng giác. Số đo của cung và góc lƣợng giác. Đƣờng tròn lƣợng giác. Độ và rađian § 2. Giá trị lƣợng giác của một cung: Giá trị lƣợng giác của cung . Ý
nghĩa hình học. Quan hệ giữa các giá trị lƣợng giác
§ 3. Công thức lƣợng giác: Công thức cộng. Công thức nhân đôi. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
Nhƣ giới hạn đã nói, ở phần này chúng tôi chỉ tập trung phân tích những vấn đề liên quan đến khái niệm đƣờng tròn lƣợng giác.
2.2.1.1 Khái niệm cung và góc lượng giác
Khái niệm cung và góc lƣợng giác là một khái niệm nền tảng của môn Lƣợng giác: HS nắm vững khái niệm cung và góc lƣợng giác thì sẽ có cơ sở hiểu đƣợc các tính chất của hàm số lƣợng giác, đặc biệt là tính chất tuần hoàn. Nắm vững khái niệm cung và góc lƣợng giác thì mới hiểu định nghĩa đƣờng tròn lƣợng giác, từ đó có thể xây dựng định nghĩa giá trị lƣợng giác của một cung, hệ thức liên quan giữa các giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt, giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
Định nghĩa cung và góc lƣợng giác trong SGK đƣợc trình bày theo kiểu kiến thiết: chỉ mô tả cách tạo ra cung và góc lƣợng giác chứ không chỉ đƣợc nó thuộc khái niệm nào tổng quát hơn và các thuộc tính bản chất gắn liền với cung và góc lƣợng giác.
Chúng ta đã biết về cung và góc hình học có số đo dƣơng, nhỏ hơn 180o. Khái niệm cung và góc lƣợng giác là mở rộng của khái niệm cung và góc hình học. Việc mở rộng này thể hiện ở hai ý: thêm vào sự định hƣớng và mở rộng số đo của cung lƣợng giác (là một số dƣơng, âm tùy ý). Nhƣ vậy, khái niệm cung và góc lƣợng giác chỉ đƣợc hoàn thành khi thực hiện đƣợc cả
hai ý trên.
Để tạo nên đƣợc sử mở rộng về định hƣớng của cung lƣợng giác, SGK thiết lập HĐ mô tả một ánh xạ từ tập hợp số thực trên trục số lên tập các điểm trên đƣờng tròn. Việc này sẽ giúp HS quan niệm đƣợc rằng trên đƣờng tròn cũng xác định đƣợc một hƣớng (nhƣ hƣớng +, - trên trục số), từ đó đƣa ra khái niệm đƣờng tròn định hƣớng.
“Cắt một hình tròn bằng bìa cứng, đánh dấu tâm O và đường kính AA’. Đính một sợi dây vào hình tròn tại A. Xem dây như một trục số t’t, gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán kính OA. Như vậy hình tròn này có bán kính R = 1. Cuốn dây áp sát đường tròn, điểm 1 trên trục t’t chuyển thành điểm M1 trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành điểm M2, … ; điểm -1 thành điểm N1, … Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với một điểm xác định trên đường tròn.” [9, tr.133]
Mục đích của HĐ này là để xây dựng đƣờng tròn định hƣớng, khi cuốn tia At theo đƣờng tròn nhƣ trên thì mỗi số thực dƣơng r trên trục số ứng với một điểm M trên
đƣờng tròn. Khi r tăng dần thì điểm M chuyển động trên đƣờng tròn theo chiều ngƣợc chiều quay của kim đồng hồ. Tƣơng tự nếu cuốn tia At’ theo đƣờng tròn thì mỗi số thực âm r ứng với một điểm N trên đƣờng tròn và khi r
giảm dần thì điểm N chuyển động trên đƣờng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ. Nhƣ vậy, một cách tự nhiên HS hình dung đƣợc về hƣớng dƣơng âm trên đƣờng tròn cũng tƣơng tự nhƣ hƣớng dƣơng âm trên trục số.
HĐ trên tạo tiền đề để đi đến khái niệm về đƣờng tròn định hƣớng “là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.” [9, tr.134]
Mỗi số thực r đƣợc biểu diễn bới một điểm trên trục số. Mỗi điểm trên O t' t A 1 2 -1 -2 M1 M2 N1 A' Hình 2.1
trục số lại ứng với một điểm duy nhất trên đƣờng tròn định hƣớng. Vì vậy có thể nói về một tƣơng ứng hàm số từ tập hợp số thực lên tập hợp các điểm trên đƣờng tròn định hƣớng. Tƣơng ứng hàm này sẽ giúp đỡ cho việc định nghĩa hàm số lƣợng giác sau này.
Để mô tả cung lƣợng giác, SGK lấy hai điểm A, B trên đƣờng tròn định hƣớng, khi đó “một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (dương hoặc âm) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B” [9, tr.134]. Tiếp đó, SGK vẽ hình ảnh của bốn cung lƣợng giác khác nhau có cùng điểm đầu A và điểm cuối B, kết hợp với sự mô tả bằng lời về chuyển động của điểm M tạo nên các cung lƣợng giác, từ đó đƣa ra kết luận “Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B”. [9, tr.134]
Khó khăn chính của việc tiếp thu khái niệm này là ở chỗ hình ảnh của các cung lƣợng giác khác nhau đƣợc hình thành từ hai điểm A, B cho trƣớc bị trùng lên nhau, vì vậy qua hình vẽ trong SGK HS không thể thao tác đƣợc với các cung (ví dụ: đo độ dài cung lƣợng giác) và không hình dung đƣợc những cung lƣợng giác lớn.
Cũng trên cơ sở nhận định nhƣ trên, các ý kiến đề nghị về sử dụng PTDH cho phần này đều nhằm vào việc “duỗi” cung lƣợng giác thành đoạn thẳng để HS nhận biết rõ và có thể tiến hành đo đạc, rút ra kết luận. Ví dụ, SGV [10, tr.160] đã gợi ý một giải pháp: cuốn một sợi dây thép quanh một ống nhựa tròn, khi đó các cung lƣợng giác sẽ đƣợc “duỗi thẳng” thành các đoạn dây thép. Tuy nhiên do tính hữu hạn của dụng cụ trực quan (chỉ mô tả đƣợc một số ít trƣờng hợp) và tính kém chính xác (có thể do sai số nên nếu quấn nhiều vòng dây thép có điểm đầu là A và điểm cuối là B, các đoạn dây không chênh nhau các đoạn là bội của chu vi ống nhựa tròn), mặt khác do thời gian học tập hạn chế nên cách làm này cũng chƣa mang lại hiệu quả cao.
mục Thiết bị học tập tối thiểu của Bộ Giáo dục, là mô hình góc và cung lƣợng giác sản xuất bằng nhựa (gồm 1 đĩa tròn 240mm, dày 17mm, có in vạch chia độ từ Oo đến 360o, hai bán nguyệt có chia độ (một màu đỏ, một có cùng màu với hình tròn trên đĩa), có thể trượt trên nhau trên mặt đĩa và được gắn bằng một vít gắn tại tâm của đĩa. Có thể chỉnh góc có màu đỏ, từ đó có các cung trên vòng tròn của mặt đĩa. Một thước cuộn (1,5m) đo độ dài được cuộn lại nằm phía trong hình tròn của đĩa, có một nút bấm màu đen để co thước lại. Mô hình này có thể gắn trên bảng từ bằng nhiều nam châm có từ tính cao được dính chặt ở mặt sau của đĩa) [18]. Tuy nhiên, do mô hình đƣợc cấu tạo bằng nhựa nên dễ bị dập, vỡ. Các nam châm gắn ở phía dƣới nếu sử dụng lâu sẽ giảm dần độ bám bảng từ, mặt khác nếu mô hình gắn trên bảng từ không chắc mà bị rơi xuống sẽ dập vỡ và không sử dụng đƣợc. Chúng tôi cũng nhận định rằng cả hai mô hình chỉ giúp HS thao tác với các cung lƣợng giác chứ không mô tả đƣợc chuyển động của điểm M (theo một chiều) đã tạo nên hình ảnh cung lƣợng giác nhƣ thế nào.
Khái niệm góc lƣợng giác đƣợc suy từ cung lƣợng giác bằng cách gắn mỗi điểm M trên đƣờng tròn định hƣớng với tia OM. Khi M chuyển động tạo nên cung lƣợng giác thì tia OM quay xung quanh gốc O tạo nên một góc lƣợng giác tƣơng ứng. Do đó SGK đƣa ra qui ƣớc: “từ nay về sau khi ta nói về cung thì cũng đúng cho góc lượng giác và ngược lại” [9, tr.139]. Trong luận văn này chúng tôi cũng sử dụng qui ƣớc đó.
Nhƣ vậy trong SGK chỉ trình bày sự mở rộng về hƣớng, sau đó mô tả cung lƣợng giác và kết thúc khái niệm cung lƣợng giác. Chúng tôi nhận định rằng ở đây SGK đã thể hiện ý 2 của sự mở rộng trên dƣới dạng ngầm ẩn: ngầm công nhận khái niệm số đo (bằng độ) của cung lƣợng giác tƣơng tự nhƣ số đo của cung hình học, từ đó do chuyển động của điểm M có thể theo chiều âm hoặc dƣơng sẽ tạo nên những cung có số đo dƣơng, âm và chuyển động của điểm M qua nhiều vòng sẽ tạo nên những cung có số đo lớn hay nhỏ tùy ý. Sự ngầm ẩn đó đƣợc bộc lộ rõ hơn khi SGK chỉ trình bày về số đo của cung lƣợng giác theo cách đƣa luôn các ví dụ cụ thể. Ở đây có sự công nhận “số đo
của cung lƣợng giác tính theo độ có thể âm hoặc còn có thể lớn hơn 1800” do đó cùng với mối liên hệ giữa độ và rađian dẫn đến khái niệm số đo bằng rađian của các cung lƣợng giác, từ đó tổng quát lên nhận xét “Số đo của một cung lượng giác AM (A M) là một số thực âm hay dương”. [9, tr.138]
2.2.1.2 Khái niệm đường tròn lượng giác-giá trị lượng giác của một cung
Trên cơ sở khái niệm đƣờng tròn định hƣớng, SGK đƣa ra khái niệm về đƣờng tròn lƣợng giác trong hệ trục toạ độ Oxy. Đó là đƣờng tròn định hƣớng có tâm O, bán kính R = 1. “Đường tròn này
cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0), A’(-1;0), B(0;1), B’(0;-1). Ta lấy điểm A(1;0) làm điểm gốc”. [9, tr.135]
Cách làm này sẽ thuận lợi cho việc tìm ý nghĩa hình học của tan và việc chứng minh các công thức lƣợng giác bằng tọa độ nhƣ trình bày ở phần 3.1.2. Mặt khác, sở dĩ
SGK không đặt mục đƣờng tròn lƣợng giác ngay sau mục đƣờng tròn định hƣớng vì muốn khẳng định khái niệm cung và góc lƣợng giác đƣợc xác định trên mọi đƣờng tròn. [10, tr.161]
Quan hệ giữa khái niệm cung lƣợng giác và khái niệm đƣờng tròn lƣợng giác thể hiện: mọi cung lƣợng giác đều có thể biểu diễn bằng một điểm trên đƣờng tròn lƣợng giác. “Chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđAM = ”. [9, tr.139]
Kĩ năng biểu diễn cung lƣợng giác trên đƣờng tròn lƣợng giác là cơ sở vững chắc cho việc định nghĩa các giá trị lƣợng giác của cung và biểu diễn công thức nghiệm để loại nghiệm khi giải phƣơng trình lƣợng giác. Cụ thể:
Định nghĩa giá trị lượng giác của cung trên đường tròn lượng giác: Hình 2.2 O y x A(1;0) A'(-1;0) B(0;1) B'(0;-1) +
“Trên đƣờng tròn lƣợng giác cho cung AM có sđAM = . Tung độ y OK của điểm M gọi là sin của
, kí hiệu là sin sinOK
Hoành độ x OH của điểm M gọi là côsin của , kí hiệu là cos cos =OH
Nếu cos ≠ 0 thì tỉ số sin os
c
gọi là tang của
, kí hiệu tan tan sin os c Nếu sin ≠ 0 thì tỉ số os sin c
gọi là côtang của , kí hiệu cot cot os sin
c
Các giá trị sin, cos , tan , cot đƣợc gọi là các giá trị lƣợng giác của cung ”.[9, tr.141]
Định nghĩa trên chính là sự mở rộng định nghĩa các giá trị lƣợng giác của góc (0 180o) trên nửa đƣờng tròn lƣợng giác (đã có trong bài 1 chƣơng II SGK Hình học 10), từ góc hình học sang góc lƣợng giác.
Mỗi cung lƣợng giác đƣợc biểu diễn bởi một điểm M trên đƣờng tròn lƣợng giác. Các giá trị lƣợng giác sin và cos của một cung lƣợng giác là hoành độ và tung độ của điểm M. Ứng với mỗi điểm M chỉ có một hình chiếu trên trục sin do đó chỉ có một giá trị sin, chỉ có một hình chiếu trên trục cos do đó chỉ có một giá trị cos, và cũng chỉ có một giá trị tan, một giá trị cot. Nhƣ vậy có sự tƣơng ứng hàm số giữa một cung lƣợng giác và giá trị lƣợng giác của cung đó. Tƣơng ứng này sẽ giúp cho việc định nghĩa hàm số lƣợng giác sau này.
Định nghĩa các giá trị lƣợng giác trên đƣờng tròn lƣợng giác cho thấy tính chất của các giá trị lƣợng giác. SGK cũng trình bày cách chứng minh công thức lƣợng giác bằng đƣờng tròn lƣợng giác.
Tóm lại, sử dụng đƣờng tròn lƣợng giác ta có thể biểu diễn đƣợc cung
Hình 2.3 4 O y x A A' B B' M K H
lƣợng giác, xây dựng định nghĩa giá trị lƣợng giác của một cung, chứng minh các tính chất của giá trị lƣợng giác, hệ thức liên quan giữa giá trị lƣợng giác của các cung đặc biệt, tìm ra ý nghĩa hình học của tan và cot, chứng minh các công thức lƣợng giác, xây dựng công thức nghiệm giải phƣơng trình lƣợng giác cơ bản. Vì vậy, có thể nói đƣờng tròn lƣợng giác là công cụ xuyên suốt trong việc học môn lƣợng giác, còn khái niệm cung và góc lƣợng giác là khái niệm nền tảng của lƣợng giác.
Phân tích ở hai phần trên cho thấy do hình ảnh của các cung lƣợng giác bị trùng lên nhau nên gây khó khăn cho HS trong việc học tập khái niệm cung lƣợng giác. Các mô hình đƣờng tròn lƣợng giác đang sử dụng ngoài những hạn chế riêng đều chỉ giúp HS thao tác với các cung lƣợng giác chứ không mô tả đƣợc hình ảnh liên tục của cung lƣợng giác tạo thành khi thay đổi điểm M.
2.2.1.3 Khái niệm rađian
Để đo cung lƣợng giác, SGK trình bày thêm một loại đơn vị đo nữa là rađian, tuy nhiên không chỉ ra lí do cụ thể của việc sử dụng đơn vị mới này mà chỉ nói một cách chung chung rằng nó rất thuận tiện trong Toán học và Vật lý. Nghiên cứu các tài liệu [11], [16] và [25] chúng tôi tổng kết các lí do chính của việc đƣa ra khái niệm rađian nhƣ sau:
Nhƣ đã nói ở phần 2.3.1.1 khái niệm cung lƣợng giác đƣợc mô tả bằng chuyển động của điểm M trên đƣờng tròn, còn góc lƣợng giác là góc quét bởi tia OM khi M chuyển động. Khi xét các đƣờng tròn đồng tâm, có bán kính R khác nhau, tỉ số giữa độ dài cung l và bán kính không phụ thuộc vào bán kính mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc, vì vậy ngƣời ta gọi đại lƣợng không đổi đó là số đo bằng rađian của góc l
R
.
Từ đó cũng dẫn đến công thức tính độ dài cung l = R. và công thức tính diện tích hình quạt 2
2
q
R S .
nhiều công thức tính toán đơn giản hơn. Ví dụ: nếu tính bằng độ thì công thức tính độ dài cung ao phải là
180
a
l R, hoặc công thức tính đạo
hàm (sinx)’=cosx. 180
. Mặt khác, đơn vị rađian tính theo hệ đếm cơ số
10 còn đơn vị độ lại biểu diễn theo hệ đếm cơ số 60 rất dài và phức tạp.
Sử dụng đơn vị rađian ta có thể đặt một cung lƣợng giác với số đo x rad tƣơng ứng với một số thực x, do đó hoàn chỉnh việc mở rộng khái niệm cung lƣợng giác và dẫn đến việc khảo sát các hàm số lƣợng giác với đối số thực x tùy ý.
Nếu sử dụng đơn vị rađian ta còn có thể tính đƣợc vận tốc góc w của một chuyển động tròn, tức là số vòng quay trên một phút của chuyển động ấy, và qua công thức =
r
v
, (r là bán kính trục quay) có thể xác định đƣợc vận tốc dài v của xe, từ đó cho phép xác định vị trí của một xe cáp treo trong hệ thống tại một thời điểm nào đó.
Đơn vị độ là do các nhà thiên văn học Babylone đƣa ra, lí do góc đầy