10. Cấu trúc luận văn
2.1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THPT
Cung cấp cho HS những kiến thức, kĩ năng phƣơng pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực.
Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trƣng của Toán học cần thiết cho cuộc sống.
Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thƣờng xuyên.
Tạo cơ sở để HS tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. [3, tr.16]
2.1.3 Mục tiêu của phần Lượng giác trong chương trình toán THPT
Lƣợng giác là một phần của chƣơng trình toán THPT, gồm hai vấn đề lớn là: cung và góc lƣợng giác-công thức lƣợng giác; hàm số lƣợng giác- phƣơng trình lƣợng giác, đƣợc sắp xếp trong chƣơng VI của SGK Đại số 10 và chƣơng I của SGK Đại số và Giải tích 11. Chƣơng trình Lƣợng giác cũng nhằm thực hiện mục tiêu chung của môn Toán ở THPT.
Mục tiêu của từng chƣơng đƣợc ghi trong sách GV nhƣ sau :
Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác
Hình thành cho HS khái niệm cung lƣợng giác và góc lƣợng giác, thiết lập mối quan hệ giữa số đo bằng độ và số đo bằng rađian của một cung (góc) lƣợng giác, cũng nhƣ hệ thức giữa số đo của các cung lƣợng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối.
Dùng đƣờng tròn lƣợng giác định nghĩa các giá trị lƣợng giác của một cung, thiết lập quan hệ giữa các giá trị lƣợng giác của một cung và quan hệ giữa giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt.
Trình bày các loại công thức lƣợng giác sau: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích. [10, tr.158]
Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Giới thiệu hàm số lƣợng giác, sự biến thiên và đồ thị của chúng. Trên cơ sở đó trình bày các phƣơng trình lƣợng giác, từ phƣơng trình lƣợng giác cơ bản tới một số phƣơng trình lƣợng giác đơn giản có thể biến đổi đƣa về việc giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản, bao gồm: phƣơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác và phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. [7, tr.17]
Các mục tiêu về kiến thức và kĩ năng cụ thể của từng bài trong từng chƣơng đƣợc Bộ giáo dục và Đào tạo xác định rõ trong tài liệu [3]. Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đƣờng tròn lƣợng giác và hàm số lƣợng giác.
Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác
§1. Cung và góc lượng giác
Mục tiêu của §1
Về kiến thức: Biết hai đơn vị đo góc và cung tròn là độ và rađian; hiểu khái niệm đƣờng tròn lƣợng giác; góc và cung lƣợng giác; số đo của góc và cung lƣợng giác.
Về kĩ năng: Biết đổi đơn vị góc từ độ sang rađian và ngƣợc lại; tính đƣợc độ dài cung tròn khi biết số đo của cung; biết cách xác định điểm cuối của một cung lƣợng giác và tia cuối của một góc lƣợng giác hay một họ góc lƣợng giác trên đƣờng tròn lƣợng giác. [3, tr. 89]
Kiến thức chính trong bài này là khái niệm cung và góc lƣợng giác, đúng nhƣ tên gọi của bài. Tuy nhiên chúng tôi thấy rằng tuy kiến thức về khái niệm cung và góc lƣợng giác đƣợc yêu cầu ở mức độ hiểu nhƣng trong các kĩ năng thì lại không thấy nhắc đến khái niệm này. Nhƣ vậy, việc kiểm tra hiểu biết của HS sẽ khó thực hiện, đồng thời HS cũng ít có cơ hội để luyện tập, củng cố khái niệm quan trọng này. Chúng tôi cũng thấy các kĩ năng yêu cầu đối với HS còn ít, do đó lƣợng BT cho phần này có thể sẽ không phong phú.
Kiến thức về khái niệm đƣờng tròn lƣợng giác đƣợc đặt ở mức độ hiểu trong khi đó khái niệm rađian lại chỉ đƣợc đặt ra ở mức độ biết. Điều này có ảnh hƣởng gì đến việc thực hiện các mục tiêu đặt ra sau nó không? Câu trả lời sẽ có khi chúng tôi phân tích về khái niệm rađian trong phần sau.
§ 2. Giá trị lƣợng giác của một cung
§ 3. Công thức lƣợng giác
Chương I . Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
§ 1. Hàm số lƣợng giác Mục tiêu §1
Về kiến thức: hiểu khái niệm hàm số lƣợng giác (của biến số thực).
Về kĩ năng: Xác định đƣợc tập xác định, tập giá trị, tính chất chẵn lẻ, tính tuần hoàn, chu kì, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx; vẽ đƣợc đồ thị của các hàm số đó. [3, tr.107] Với mục tiêu đặt ra là hiểu khái niệm hàm số lƣợng giác, các kĩ năng tƣơng ứng là xác định các tính chất, yếu tố của hàm số lƣợng giác. Phần tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số chỉ đƣợc đƣa ra trong phần kĩ năng chứng tỏ chƣơng trình không coi trọng mảng kiến thức này mà chỉ yêu cầu thực hiện nhƣ một kĩ năng, minh họa cho việc hiểu khái niệm hàm số. Kĩ năng vẽ đồ thị cũng đƣợc yêu cầu, tuy nhiên chúng ta biết rằng chỉ đến lớp 12 HS mới đƣợc học một bài vẽ đồ thị tổng quát nên cách đƣa ra đồ thị của hàm số lƣợng giác ở phần này cũng có nhiều vấn đề cần xem xét kĩ.
§ 2. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
§ 3. Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp
Phân tích về chƣơng trình Lƣợng giác đã cho thấy đối với khái niệm rađian mục tiêu đặt ra còn thấp, các kĩ năng yêu cầu của phần cung và góc lƣợng giác còn thiếu, kiến thức về sự biến thiên của hàm số không đƣợc coi trọng, bài toán vẽ đồ thị của hàm số cần giải quyết nhƣ thế nào cho phù hợp. Các vấn đề đó sẽ đƣợc làm rõ hơn khi chúng tôi phân tích SGK năm 2005.
2.2.1 Lượng giác lớp 10
Lƣợng giác trong SGK Đại số 10 năm 2005 [9] gồm các vấn đề sau:
Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác
§ 1. Cung và góc lƣợng giác: Khái niệm cung và góc lƣợng giác. Số đo của cung và góc lƣợng giác. Đƣờng tròn lƣợng giác. Độ và rađian § 2. Giá trị lƣợng giác của một cung: Giá trị lƣợng giác của cung . Ý
nghĩa hình học. Quan hệ giữa các giá trị lƣợng giác
§ 3. Công thức lƣợng giác: Công thức cộng. Công thức nhân đôi. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
Nhƣ giới hạn đã nói, ở phần này chúng tôi chỉ tập trung phân tích những vấn đề liên quan đến khái niệm đƣờng tròn lƣợng giác.
2.2.1.1 Khái niệm cung và góc lượng giác
Khái niệm cung và góc lƣợng giác là một khái niệm nền tảng của môn Lƣợng giác: HS nắm vững khái niệm cung và góc lƣợng giác thì sẽ có cơ sở hiểu đƣợc các tính chất của hàm số lƣợng giác, đặc biệt là tính chất tuần hoàn. Nắm vững khái niệm cung và góc lƣợng giác thì mới hiểu định nghĩa đƣờng tròn lƣợng giác, từ đó có thể xây dựng định nghĩa giá trị lƣợng giác của một cung, hệ thức liên quan giữa các giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt, giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
Định nghĩa cung và góc lƣợng giác trong SGK đƣợc trình bày theo kiểu kiến thiết: chỉ mô tả cách tạo ra cung và góc lƣợng giác chứ không chỉ đƣợc nó thuộc khái niệm nào tổng quát hơn và các thuộc tính bản chất gắn liền với cung và góc lƣợng giác.
Chúng ta đã biết về cung và góc hình học có số đo dƣơng, nhỏ hơn 180o. Khái niệm cung và góc lƣợng giác là mở rộng của khái niệm cung và góc hình học. Việc mở rộng này thể hiện ở hai ý: thêm vào sự định hƣớng và mở rộng số đo của cung lƣợng giác (là một số dƣơng, âm tùy ý). Nhƣ vậy, khái niệm cung và góc lƣợng giác chỉ đƣợc hoàn thành khi thực hiện đƣợc cả
hai ý trên.
Để tạo nên đƣợc sử mở rộng về định hƣớng của cung lƣợng giác, SGK thiết lập HĐ mô tả một ánh xạ từ tập hợp số thực trên trục số lên tập các điểm trên đƣờng tròn. Việc này sẽ giúp HS quan niệm đƣợc rằng trên đƣờng tròn cũng xác định đƣợc một hƣớng (nhƣ hƣớng +, - trên trục số), từ đó đƣa ra khái niệm đƣờng tròn định hƣớng.
“Cắt một hình tròn bằng bìa cứng, đánh dấu tâm O và đường kính AA’. Đính một sợi dây vào hình tròn tại A. Xem dây như một trục số t’t, gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán kính OA. Như vậy hình tròn này có bán kính R = 1. Cuốn dây áp sát đường tròn, điểm 1 trên trục t’t chuyển thành điểm M1 trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành điểm M2, … ; điểm -1 thành điểm N1, … Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với một điểm xác định trên đường tròn.” [9, tr.133]
Mục đích của HĐ này là để xây dựng đƣờng tròn định hƣớng, khi cuốn tia At theo đƣờng tròn nhƣ trên thì mỗi số thực dƣơng r trên trục số ứng với một điểm M trên
đƣờng tròn. Khi r tăng dần thì điểm M chuyển động trên đƣờng tròn theo chiều ngƣợc chiều quay của kim đồng hồ. Tƣơng tự nếu cuốn tia At’ theo đƣờng tròn thì mỗi số thực âm r ứng với một điểm N trên đƣờng tròn và khi r
giảm dần thì điểm N chuyển động trên đƣờng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ. Nhƣ vậy, một cách tự nhiên HS hình dung đƣợc về hƣớng dƣơng âm trên đƣờng tròn cũng tƣơng tự nhƣ hƣớng dƣơng âm trên trục số.
HĐ trên tạo tiền đề để đi đến khái niệm về đƣờng tròn định hƣớng “là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.” [9, tr.134]
Mỗi số thực r đƣợc biểu diễn bới một điểm trên trục số. Mỗi điểm trên O t' t A 1 2 -1 -2 M1 M2 N1 A' Hình 2.1
trục số lại ứng với một điểm duy nhất trên đƣờng tròn định hƣớng. Vì vậy có thể nói về một tƣơng ứng hàm số từ tập hợp số thực lên tập hợp các điểm trên đƣờng tròn định hƣớng. Tƣơng ứng hàm này sẽ giúp đỡ cho việc định nghĩa hàm số lƣợng giác sau này.
Để mô tả cung lƣợng giác, SGK lấy hai điểm A, B trên đƣờng tròn định hƣớng, khi đó “một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (dương hoặc âm) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B” [9, tr.134]. Tiếp đó, SGK vẽ hình ảnh của bốn cung lƣợng giác khác nhau có cùng điểm đầu A và điểm cuối B, kết hợp với sự mô tả bằng lời về chuyển động của điểm M tạo nên các cung lƣợng giác, từ đó đƣa ra kết luận “Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B”. [9, tr.134]
Khó khăn chính của việc tiếp thu khái niệm này là ở chỗ hình ảnh của các cung lƣợng giác khác nhau đƣợc hình thành từ hai điểm A, B cho trƣớc bị trùng lên nhau, vì vậy qua hình vẽ trong SGK HS không thể thao tác đƣợc với các cung (ví dụ: đo độ dài cung lƣợng giác) và không hình dung đƣợc những cung lƣợng giác lớn.
Cũng trên cơ sở nhận định nhƣ trên, các ý kiến đề nghị về sử dụng PTDH cho phần này đều nhằm vào việc “duỗi” cung lƣợng giác thành đoạn thẳng để HS nhận biết rõ và có thể tiến hành đo đạc, rút ra kết luận. Ví dụ, SGV [10, tr.160] đã gợi ý một giải pháp: cuốn một sợi dây thép quanh một ống nhựa tròn, khi đó các cung lƣợng giác sẽ đƣợc “duỗi thẳng” thành các đoạn dây thép. Tuy nhiên do tính hữu hạn của dụng cụ trực quan (chỉ mô tả đƣợc một số ít trƣờng hợp) và tính kém chính xác (có thể do sai số nên nếu quấn nhiều vòng dây thép có điểm đầu là A và điểm cuối là B, các đoạn dây không chênh nhau các đoạn là bội của chu vi ống nhựa tròn), mặt khác do thời gian học tập hạn chế nên cách làm này cũng chƣa mang lại hiệu quả cao.
mục Thiết bị học tập tối thiểu của Bộ Giáo dục, là mô hình góc và cung lƣợng giác sản xuất bằng nhựa (gồm 1 đĩa tròn 240mm, dày 17mm, có in vạch chia độ từ Oo đến 360o, hai bán nguyệt có chia độ (một màu đỏ, một có cùng màu với hình tròn trên đĩa), có thể trượt trên nhau trên mặt đĩa và được gắn bằng một vít gắn tại tâm của đĩa. Có thể chỉnh góc có màu đỏ, từ đó có các cung trên vòng tròn của mặt đĩa. Một thước cuộn (1,5m) đo độ dài được cuộn lại nằm phía trong hình tròn của đĩa, có một nút bấm màu đen để co thước lại. Mô hình này có thể gắn trên bảng từ bằng nhiều nam châm có từ tính cao được dính chặt ở mặt sau của đĩa) [18]. Tuy nhiên, do mô hình đƣợc cấu tạo bằng nhựa nên dễ bị dập, vỡ. Các nam châm gắn ở phía dƣới nếu sử dụng lâu sẽ giảm dần độ bám bảng từ, mặt khác nếu mô hình gắn trên bảng từ không chắc mà bị rơi xuống sẽ dập vỡ và không sử dụng đƣợc. Chúng tôi cũng nhận định rằng cả hai mô hình chỉ giúp HS thao tác với các cung lƣợng giác chứ không mô tả đƣợc chuyển động của điểm M (theo một chiều) đã tạo nên hình ảnh cung lƣợng giác nhƣ thế nào.
Khái niệm góc lƣợng giác đƣợc suy từ cung lƣợng giác bằng cách gắn mỗi điểm M trên đƣờng tròn định hƣớng với tia OM. Khi M chuyển động tạo nên cung lƣợng giác thì tia OM quay xung quanh gốc O tạo nên một góc lƣợng giác tƣơng ứng. Do đó SGK đƣa ra qui ƣớc: “từ nay về sau khi ta nói về cung thì cũng đúng cho góc lượng giác và ngược lại” [9, tr.139]. Trong luận văn này chúng tôi cũng sử dụng qui ƣớc đó.
Nhƣ vậy trong SGK chỉ trình bày sự mở rộng về hƣớng, sau đó mô tả cung lƣợng giác và kết thúc khái niệm cung lƣợng giác. Chúng tôi nhận định rằng ở đây SGK đã thể hiện ý 2 của sự mở rộng trên dƣới dạng ngầm ẩn: ngầm công nhận khái niệm số đo (bằng độ) của cung lƣợng giác tƣơng tự nhƣ số đo của cung hình học, từ đó do chuyển động của điểm M có thể theo chiều âm hoặc dƣơng sẽ tạo nên những cung có số đo dƣơng, âm và chuyển động của điểm M qua nhiều vòng sẽ tạo nên những cung có số đo lớn hay nhỏ tùy ý. Sự ngầm ẩn đó đƣợc bộc lộ rõ hơn khi SGK chỉ trình bày về số đo của cung lƣợng giác theo cách đƣa luôn các ví dụ cụ thể. Ở đây có sự công nhận “số đo
của cung lƣợng giác tính theo độ có thể âm hoặc còn có thể lớn hơn 1800” do đó cùng với mối liên hệ giữa độ và rađian dẫn đến khái niệm số đo bằng rađian của các cung lƣợng giác, từ đó tổng quát lên nhận xét “Số đo của một cung lượng giác AM (A M) là một số thực âm hay dương”. [9, tr.138]
2.2.1.2 Khái niệm đường tròn lượng giác-giá trị lượng giác của một cung
Trên cơ sở khái niệm đƣờng tròn định hƣớng, SGK đƣa ra khái niệm về đƣờng tròn lƣợng giác trong hệ trục toạ độ Oxy. Đó là đƣờng tròn định hƣớng có tâm O, bán kính R = 1. “Đường tròn này
cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0), A’(-1;0), B(0;1), B’(0;-1). Ta lấy điểm A(1;0) làm điểm gốc”. [9, tr.135]
Cách làm này sẽ thuận lợi cho việc tìm ý nghĩa hình học của tan và việc chứng minh các công thức lƣợng giác bằng tọa độ nhƣ trình bày ở phần 3.1.2. Mặt khác, sở dĩ
SGK không đặt mục đƣờng tròn lƣợng giác ngay sau mục đƣờng tròn định hƣớng vì muốn khẳng định khái niệm cung và góc lƣợng giác đƣợc xác định