- Theo cách hiểu thứ ba, Tư duy biện chứng được đặc trưng bởi sự thâu
2.3.5.Biện pháp 5: Xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng theo quan điểm vận động biến đổi.
a. SA MA + SB MB + SC MC =O
2.3.5.Biện pháp 5: Xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng theo quan điểm vận động biến đổi.
chúng theo quan điểm vận động biến đổi.
Chúng ta cần đặc biệt quan tâm xem xét các đối tượng các quan hệ trong bài toán theo quan điểm vận động từ cái riêng đến cái chung(thể hiện trong giả thiết của bài toán) để tổng quát hoá bài toán, tìm tòi cái mới.
Ví dụ 1: ta xét bài toán sau trong sách giáo khoa Hình học 10: “Cho góc xOy
và A là điểm nằm trong góc đó. Dựng đường tròn qua A và tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy”.
Bài toán trên giải được nhờ sử dụng phép vi tự, bằng cách xem đường tròn cần dựng là ảnh của đường tròn (C) bán kính R chọn tuỳ ý tiếp xúc với hai
cạnh Ox, Oy của góc qua phép vị tự VOk với
'
OAOA OA
k = , A’ là giao điểm OA với đường tròn (C). O’ y’ O K I x’ x y •
Từ đó nếu xét điểm là trường hợp đặc biệt của đường tròn bán kính ‘không’
thì ta có thể phát biểu bài toán mới, tổng quát sau:
Hãy dựng đường tròn (C) tiếp xúc với Ox, Oy và tiếp xúc với đường tròn (S). Việc dựng đường tròn (C) quy về dựng đường tròn tâm K đi qua I và tiếp xúc với O’x’, O’y’, kí hiệu là (K). Trong đó O’x’ và O’y’ lần lượt song song với Ox, Oy và cách đều chúng một khoảng bằng R, giả sử đường tròn (K) có bán kính. Khi đó đường tròn cần dựng có tâm K bán kính bằng d-R.
Ví dụ 2: Cho O là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh OA+OB =O (1) Xem ví dụ 2 là bài toán ban đầu để qua sự vận động biến đổi, tìm tòi sáng tạo ra những bài toán mới sau.
Sau khi giải bài toán 1 giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh có bao nhiêu điểm O thoả mãn (1)
Theo giả thiết OA+OB=O⇒ AO+AB−AO =O ⇒ 2AO =AB ⇒ AO AB
2 1
= (*)
Từ (*) ⇒ điểm O trên là duy nhất.
Từ đó giáo viên có thể phát triển thêm thành 3 điểm A, B, C bất kì liệu có tìm được điểm O sao cho OA+OB+OC =O hay không ?
Thật vậy, ta gọi N là trung điểm của BC, ta có: OB+OC =2ON do đó OA+OB+OC=OA+2ON
Lấy điểm A' sao cho OA'=2ON, ta có OA+OB+OC=OA+OA'=O ⇔O là trung điểm của AA'. Vậy điểm O tồn tại và duy nhất. Từ những điều đó nhìn vấn đề trong sự vận động biến đổi ta có bài toán mới sau:
Bài toán 1: Cho 3 điểm A, B, C bất kỳ luôn tồn tại duy nhất điểm O sao cho
O OC OB
OA+ + =
Qua bài toán trên ta có thể phát triển với điển M bất kì sau: Với điểm M bất kỳ ta có OA+OB+OC =O
⇔ 3OM+MA+MB+MC =O ⇒ MO= (MA+MB+MC)
3 1
Điểm O gọi là trọng tâm 3 điểm A, B, C.
Qua vấn đề trên nhìn sự vật trong mối quan hệ vận động cho n điểm ta lại có bài toán mới.
Bài toán 2: Cho n điểm phân biệt A1, A2,...,An ( n > 2) luôn tồn tại duy nhất
điểm G thoả mãn GA1 +GA2 +...+GAn =O. Nhận xét: Với điểm M bất kỳ ta có: GA1 +GA2 +...+GAn =O ⇔ nGM+MA1 + MA2 +...+ MAn = O ⇒ (MA MA ... MA ) n MG= 1 1 + 2 + + n . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
G gọi là trọng tâm hệ n điểm A1, A2,...,An.
Việc chứng minh bài toán 2, học sinh có thể xây dựng bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh qua hai bước tồn tại và duy nhất một điểm G thoả mãn.
Ta xét bài toán tổng quát của ví dụ 1 theo hệ số của các vectơ ta có :
Bài toán 3: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số thực α, β (α+β≠0) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm I sao cho. αIA+βIB =O.
Hướng dẫn: Ta có αIA+βIB=O ⇔ - αAI+ β(AB−AI)=O
⇔ (α + β) AI = βAB ⇒ AI α+βAB β =
Đẳng thức trên chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của điểm I, đồng thời chỉ ra cách dựng điểm M.
Điểm I gọi là tâm tỷ cự của hai điểm A, B với bộ số (α ; β). Kết hợp bài toán 2 và bài toán 3 ta có :
Bài toán 4: Với n điểm phân biệt A1, A2,...,An ( n > 2) và n số thực α1, α2 ...,αn sao cho α1 + α2 +...+ αn ≠ 0 .Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho: α1
1
IA + α2IA2 +...+αnIAn =O.
Điểm I được gọi là tâm tỷ cự của hệ điểm {A1, A2, ... ,An} ứng với bộ số {α1, α2,..., αn}.
Như vậy, trong dạy học Toán giáo viên cần nhìn đối tượng Toán học theo quan điểm vận động biến đổi để tìm và phát triển nhiều bài toán mới. Phải cho học sinh thấy rõ được sự vận động biến đổi của chúng trong tư duy toán học nhằm hình thành hệ thống các kiến thức lý thuyết, từ đó hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong chừng mực có thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã học trong mối quan hệ biện chứng. Qua việc rèn luyện các biện pháp sư phạm này từ đó nhằm cho học sinh đào sâu khai thác các kiến thức có liên quan như phân tích, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để tìm tòi khai thác các bài toán trong sự vận động biến đổi không ngừng. Tất cả những thao tác tư duy mà giáo viên vận dụng đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh. Đây là biện pháp để học sinh phát triển tư duy biện chứng, xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học Toán.