- Theo cách hiểu thứ ba, Tư duy biện chứng được đặc trưng bởi sự thâu
1.3.Mối quan hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù đối với tư duy toán học.
tự do đó trong nghiên cứu Toán học nhằm phát huy kiến thức toán học, tránh được việc chủ quan duy ý chí dẫn đến sự thất bại đáng tiếc.
1.3. Mối quan hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù đối với tư duy toánhọc. học.
1.3.1. Quan hệ giữa cảm tính và lí tính trong tư duy toán học.
Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình thì vấn đề quan hệ giữa cảm tính và lí tính trong nhận thức nói chung và trong tư duy toán học nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng của phép biện chứng. Có rất nhiều quan điểm triết học khác nhau về mối quan hệ biện chứng giữa chúng. Con người chúng ta nhận thức thế giới bằng những kinh nghiệm có được trong cuộc sống trên cơ sở cảm giác và tri giác. Cái mà con người kế thừa về mặt sinh vật học không phải là tư tưởng bẩm sinh mà là bộ máy hoạt động cơ sở thần kinh dùng làm cơ sở sinh lí học của quá trình phản ánh thế giới khách quan.
Những tài liệu của giác quan là kinh nghiệm của cảm tính, làm nền móng cho kinh nghiệm của chúng ta, nhưng không phải là toàn bộ lâu đài của kiến thức. Tư duy có liên hệ với kinh nghiệm cảm tính nhưng khác về chất với kinh nghiệm cảm tính, nó giúp ta đi sâu hơn vào bản chất của sự vật và hiện tượng; trong quá trình tư duy con người sử dụng kinh nghiệm đã được đúc kết của xã hội loài người. Lí luận nhận thức của Lênin là lí luận cắt nghĩa đầy đủ mối quan hệ biện chứng giữa nhận thức cảm tính và tư duy. Lênin cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau giữa ba yếu tố là trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đều cần thiết và đều mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được. Sự tác động lẫn nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu đến cuối, đồng thời trong yếu tố đó yếu tố thực tiễn là cơ sở và là yếu tố quyết định. “Từ trực
quan sinh động đến tư duy trừu tượng rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí”.
Trong quá trình dạy và học môn Toán thì việc thấm nhuần các nguyên lí giáo dục của Đảng là học phải đi đối với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường phải gắn liền với xã hội. Qua đó thấy rằng không chỉ nhằm giáo dục theo nghĩa rộng mà còn là tạo ra tiền đề tâm lí thuận lợi cho việc nắm vững chính những kiến thức Toán học theo nghĩa hẹp: thực tế sản xuất làm cho kiến thức có được về trực quan sinh động, thực hành làm cho nhận thức lí thuyết sâu sắc hơn, và chỉ khi hoà mình vào cuộc sống xã hội con người mới nãy sinh nguyện vọng, ý chí phấn đấu vươn lên nắm những kiến thức mới mẽ trong cuộc sống.
Việc hiện đại hoá chương trình môn Toán ở trường phổ thông thường làm bộc lộ mâu thuẫn ra yêu cầu cao hơn về khả năng trừu hoá và trình độ
hiện đại phát triển ở học sinh. Mặc dù đối tượng tư duy trừu tượng hơn, nhưng công thức nhận thức khách quan mà V. I. Lênin nêu ra vẫn còn nguyên giá trị. Chính và thế mà nhà toán học A. N. Kônmôgrốp nói “đừng
để hứng thú đến mặt lôgic của giáo trình làm lu mờ việc giáo dục tư duy trực quan cho học sinh”. Ngay cả các nhà toán học thuộc phái Toán học cực đoan
nhất trong việc hiện đại hoá chương trình phổ thông cũng khẳng định đến cái trừu tượng từ cái trực quan.
Tính trực quan trong giảng dạy từ trước đến nay vẫn là một yêu cầu cần có tính nguyên tắc, nhưng khái niệm trực quan còn được biểu hiện một cách đơn giản là đặt đối tượng nhận thức vào trường của cảm giác hay tri giác. Thực tiễn giảng dạy Toán học hiện đại làm bộc lộ rõ khía cạnh còn mơ hồ trên về trực quan. Việc giảng dạy không đòi hỏi dừng lại ở trạng thái tĩnh tại mà còn phải làm nổi bật trạng thái động. Không chỉ chú trọng tới những phần riêng rẽ mà còn phải làm nổi bật những phần tử ấy trong một tổng thể.
1.3.2. Quan hệ giữa cụ thể và trừu tượng trong tư duy toán học
Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình, những đối tượng, những hiện tượng của thế giới hiện thực bao giờ cũng nằm trong một mạng của sợi dây lên kết với nhau rất chằng chịt, trong đó có những mối liên hệ với nhau rất vững chắc và bản chất, có những mối liên hệ ngẫu nhiên, tạm thời và không bản chất. Muốn nắm được quy luật chi phối và đối tượng và hiện tượng ấy cần phải tách khỏi những mối liên hệ ổn định và bản chất khỏi những mối liên hệ tạm thời và không bản chất. Theo nghĩa
chung nhất thì trừu tượng hoá biểu thị khả năng vạch những mối liên hệ nào đó từ những mạng sợi dây liên kết chằng chịt các đối tượng và hiện tượng. Những khái niệm, phán đoán riêng lẽ phản ánh mối liên hệ được tách ra để xem xét, theo C. Mác, chỉ là những kiến thức trừu tượng. Cái trừu tượng với C. Mác đồng nhất với tính phiến diện. Kiến thức cụ thể là một tập hợp hay nói đúng hơn là một hệ thống những kiến thức trừu tượng. Hệ thống trong toàn bộ những kiến thức này vạch ra được những mối liên hệ có tính quy luật gồm các hiện tượng. Ở đây, kiến thức cụ thể có nghĩa là kết quả, là sự nhận thức tổng kết của nhận thức cái cụ thể sở dĩ là cái cụ thể vì nó tổng hợp của nhiều sự quy định, như vậy nó là sự thống nhất của nhiều mặt khác nhau. Cho nên trong tư duy cái cụ thể biểu hiện là quá trình tổng hợp, là kết quả chứ không phải là điểm xuất phát, mặc dù có điểm xuất phát thực sự và do đó cũng là điểm xuất phát của trực quan và của biểu tượng. Trên con đường thứ nhất toàn bộ sự biểu tượng đã biến thành một sự quy định trừu tượng, trên con đường thứ hai những sự quy định trừu tượng lại dẫn tới sự mô tả lại cái cụ thể bằng con đường tư duy.
Nếu như lí thuyết kinh nghiệm của sự trừu tượng hoá dừng lại ở con đường thứ nhất, thì lí thuyết trừu tượng hoá biện chứng xây dựng trên quan điểm kết hợp cả hai con đường. Điều này được diễn tả trong công thức nổi tiếng của V. I. Lênin “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí”.
Sự đối lập giữa cái cụ thể và cái trừu tượng lại có nghĩa tương đối trong quá trình nhận thức: “Chúng ta bắt đầu nghiên cứu từ những cái hiện thực và cụ thể, từ tiên đề thực tế”, nhưng chúng ta lại đi từ trừu tượng đến cụ thể để
“tư duy quán triệt được cái cụ thể và mô tả lại cái cụ thể dưới hình thái một cái xu thế trong tư duy”.
Khi nói về mối quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng trong quá trình sáng tạo Toán học, GS. Nguyễn Cảnh Toàn viết “Trong quá trình giải quyết một đề tài, những khái quát có tính chất lí luận thường không ra đời một cách đơn giản, có khi phải xem xét rất nhiều trường hợp đặc biệt, cụ thể để rồi từ đó lần mò dẫn ra cái trừu tượng, khái quát ...”
Còn quan điểm của Đavưđốp là quan điểm chỉ đạo những công trình nghiên cứu nâng cao khả năng tiếp thu những khái niệm Toán học trừu tượng cho học sinh cấp 1 đang tiến hành ở Viện Tâm lí học đại cương Liên xô. “Trong giảng dạy Toán học việc tăng cường khả năng cho học sinh vận dụng kiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biện pháp phù hợp với quy luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừu tượng”.
1.3.3. Quan hệ giữa cái chung và cái riêng trong tư duy toán học.
Các chân lí toán học cũng như chân lí thực nghiệm là sự phản ánh gần đúng hiện thực; chúng luôn luôn cần được hoàn thiện để phản ánh chân thực hơn nhằm đáp ứng cao hơn nhu cầu thực tiễn của con người. Cái thay đổi trong toán học là sự thay đổi quan điểm từ đó nhìn nhận những kết quả đã thu được qua nhiều quá trình. Từ sự thay đổi đó, các định lí Toán học được phát minh ra vẫn đúng trong một chừng mực nào đó khi con người khám phá ra nó, vẫn luôn luôn tồn tại mà không bị định lí khác thay thế; tuy nhiên từ vị trí cơ bản nhất, chúng trở thành cái quan trọng nhất, cái riêng trong hệ thống Toán học.
Như vậy, nhận thức đi từ cái riêng đến cái chung, rồi từ cái chung chuyễn hoá thành cái riêng, theo tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình cho rằng, xét đến phương diện nào đó thì cái chung và cái riêng mâu thuẫn, nhưng xét ở những phương diện khác thì cái chung và cái riêng lại thống nhất: cái chung bao trùm lên cái riêng và cái riêng nằm trong cái chung, mỗi cái riêng có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung như vậy cũng ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sở cho sự thống nhất giữa cái chung và cái riêng. Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung khác nhau, và đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại được một cái riêng và cứ như thế qua nhiều giai đoạn phát triển lên thành cái mới.
Ví dụ: trong Hình học thì tam giác đều vừa là trường hợp riêng của hình tứ
diện đều vừa là trường hợp riêng của tam giác cân. Xét về số chiều thì tam giác đều và tứ diện đều là mâu thuẫn, nhưng xét về tính chất thì có tất cả các cạnh bằng nhau là thống nhất.
Trong dạy học Toán, nếu người giáo viên nắm được mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng sẽ đem lại hiệu quả cao .
1.3.4. Sự thống nhất của lôgíc biện chứng và lôgíc hình thức trong tư duy
toán học.
Lôgic biện chứng nghiên cứu tư duy dưới góc độ cách thức tư duy nhận thức sự phát triển và biến đổi của các sự vật và hiện tượng. Lôgíc biện chứng với tư cách là học thuyết triết học về những quy luật chung nhất của sự nãy sinh và phát triển của tư duy giúp chúng ta nắm được nội dung và sự vật.
Nhiệm vụ chủ yếu của lôgic biện chứng là nghiên cứu các quy luật và các hình thức tư duy biện chứng. Nó đòi hỏi chúng ta phải tiến xa hơn nữa. Theo tác giả M. Alêcxêep, muốn thực sự hiểu biết được một số đối tượng cần phải thâu tóm và nghiên cứu tất cả các đối tượng ấy, tất cả các mối liên hệ và “quan hệ gián tiếp” của nó nữa. Chúng ta không bao giờ thực hiện được điều này một cách hoàn toàn.
Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình “lôgic hình thức nghiên cứu cơ cấu của các hình thức tư duy, nó bỏ qua không nói tới sự nãy sinh và phát triển của các hình thức ấy. Những quy luật của tư duy do lôgic hình thức trình bày phản ánh những quan hệ đơn giản nhất của sự vật phản ánh của yếu tố ổn định và bất biến tương đối của sự vật, mặt hình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thức của sự vật” [14, tr 69]. Như vậy ta thấy rằng, nếu lôgic hình thức vạch ra những cấu trúc của kiến thức thì lôgic biện chứng lại giải thích chân lí như một quá trình, như một kiến thức được nãy sinh. Sự thống nhất trong sự vận động giữa lôgic biện chứng và lôgíc hình thức trong nhận thức Toán học giữa lôgic để trình bày Toán học và lôgic để nhận thức. Mỗi sự vật đều có nội dung và hình thức của nó, nội dung đó là cơ sở là mặt chính của sự vật còn hình thức là mặt phụ để thể hiện sự tồn tại trong thế giới sự vật mà thôi. Vì nội dung là những yếu tố những quá trình tạo nên sự vật, còn hình thức là những hệ thống tạo nên mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của nội dung, và giữa chúng có một mối quan hệ biện chứng với nhau. Điều đó có nghĩa không có lôgic hình thức thì không tồn tại lôgic biện chứng và ngược lại. Giữa chúng không tồn tại tách rời nhau, nhưng không phải vì thế mà lúc nào giữa chúng cũng phù hợp với nhau. Tuy nhiên sự thống nhất ở đây luôn luôn là mặt tích cực, có vai trò quyết định trong sự vận động của sự vật và
hiện tượng. Như vậy sự thống nhất của chúng trong tư duy toán học tạo nên sự vận động biến đổi không ngừng của các sự vật và hiện tượng.