9. Bố cục của luận văn
1.3.3. Chứng minh
Sau khi đã dựng được hình, cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn các điều kiện của bài toán hay không, tức là chứng minh rằng hình dựng được từ các yếu tố cho trước và bằng các phép dựng hình nhất định, sẽ thoả mãn tất cả các điều kiện của đầu bài. Nghĩa là, phép chứng minh phụ thuộc hẳn vào cách dựng. Có thể giải cùng một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau, tuỳ theo cách dựng đã nêu trong phần phân tích, cho nên nói chung, cách chứng minh trong từng trường hợp sẽ khác. Phép chứng minh sẽ dựa trên các tiên đề, các định lý và tính chất của các hình hình học. Nếu khi giải các bài toán đơn giản nhất, tất cả các điều kiện của bài toán đã được phản ảnh trực tiếp trong cách dựng thì không cần phải chứng minh rằng hình có được bằng cách dựng ấy theo các yếu tố cho trước, chính là hình phải tìm. Chẳng hạn, xét ví dụ: “Dựng tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó”. Ở đây phần chứng minh chỉ là phép thử đơn giản xem đã lấy những cạnh nào bằng những đoạn cho trước và góc đã dựng có bằng góc cho trước không. Trong bài toán này, phần chứng minh là thừa vì sự đúng đắn của bài giải đã được bảo đảm bởi sự tương ứng giữa phép dựng và các điều kiện cho trước của bài toán.
Nhưng có khi, không phải tất cả các điều kiện đã được phản ảnh trong phần phân tích hoặc trong cách dựng. Chẳng hạn trong trường hợp (3) ví dụ trước, rõ ràng điểm B phải nằm trên BC và cách A một khoảng cho trước. Nhưng như vậy chưa đủ, vì đoạn AB còn phải song song với CK, điều mà ta không tính đến trong cách dựng đã chọn.
Sau khi vẽ CK // BA, ta quy việc giải bài toán về việc dựng ∆KCD theo ba cạnh (hình 1.9): hai cạnh bên bằng nhau của hình thang (AB = KC) còn cạnh kia KD = AD – BC. Dựng xong tam giác KCD ta có thể bổ sung nó cho thành hình thang bằng nhiều cách:
1) Coi cạnh AD là dựng được, ta vẽ BC // AD và sau khi đặt trên nó đáy nhỏ, ta nối điểm B tìm được với điểm A. Phần chứng minh sẽ quy về việc khẳng định đẳng thức AB = KC.
2) Nếu ta vẽ AB // KC và BC // AD
thì sẽ phải chứng minh rằng AB = KC và BC = AK.
3) Nếu vẽ đường thẳng CB // DA và tìm trên đường ấy các điểm B và B1 cách A một khoảng bằng cạnh bên, thì trong trường hợp này điểm B1 sẽ không thích hợp và chỉ có điểm B là điểm phải tìm, phép chứng minh sẽ phức tạp hơn.
4) Nếu coi B như giao điểm của các đường tròn (A, AB) và (C, CB) thì trong hai điểm B và B2 chỉ có điểm B là điểm phải tìm.
Ta có thể thấy các trường hợp (3) và (4) đã nêu trên nhấn mạnh sự cần thiết của phần chứng minh. Trong phần phân tích ta tìm ra những điều kiện cần, mà cách dựng của ta phải thoả mãn để có được hình phải dựng. Còn phải khẳng định rằng các điều kiện cần ấy cũng là đủ, tức là khẳng định rằng hình dựng được thoả mãn tất cả các yêu cầu của đầu bài.