9. Bố cục của luận văn
2.3. Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán dựng hìn hở
trƣờng THCS.
2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm đường phụ (hình phụ), khi giải bài toán dựng hình.
Đối với phần lớn học sinh phổ thông hiện nay, khi giải bài bài toán hình học mà gặp phải những bài toán vẽ thêm đường phụ (hình phụ) đa số học sinh còn lúng túng, không biết phải vẽ như thế nào, bắt đầu từ đâu và vẽ như thế nào để có lợi cho việc giải bài toán, vì vậy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi gặp loại bài tập này. Việc rèn luyện kỹ năng vẽ thêm đường phụ trong khi phân tích là hết sức cần thiết và không thể thiếu khi giải những bài toán khó.
Một vấn đề đặt ra: làm thế nào để học sinh không còn lúng túng, không còn e ngại khi gặp phải những bài toán cần vẽ thêm đường phụ (hình phụ)?
Để làm được điều đó học sinh cần phải biết: + Bài toán cho gì? Yêu cầu gì?
+ Có giải quyết được không?
+ Nếu chưa giải quyết được ta phải xét xem có kẻ thêm được đường phụ không? và việc thêm vào một số yếu tố như: đoạn thẳng, tam giác... có làm bài tập dễ giải quyết hơn không?
Ví dụ: Dựng tam giác khi biết độ dài các đường trung tuyến thuộc hai cạnh và đường cao thuộc cạnh thứ ba của tam giác.
Đối với bài toán này ta phải vẽ thêm đường phụ thì mới có thể giải được một cách tường minh và chặt chẽ được.
Giả sử ΔA1B1C1 là tam giác cần dựng, có: A1D1, B1E1 là các đường trung tuyến thuộc hai cạnh a, b. B1F1 là đường cao thuộc cạnh c (hình 2.20).
Ta đã biết độ dài của A1D1 = ma; B1E1 = mb; C1F1 = hc và A1F1C1 = 900. Các mối quan hệ đã biết là: B1D1 = D1C1; A1E1 = E1C1.
Khảo sát các hình tam giác trong hình vẽ ta thấy trong tất cả các góc và cạnh đều không có đủ ba yếu tố đã biết, cho nên phải vẽ thêm một đường bổ sung.
Giả sử kéo dài A1B1 ra hai phía sao cho H1A1 = A1B1 = B1G1, thế thì theo định lý về đường nối liền những trung điểm của hai cạnh trong một tam giác ta biết C1H1 = 2A1D1 = 2ma; C1G1 = 2B1E1 = 2mb; do đó ΔC1F1H1 và ΔC1F1G1 đều có hai cạnh và một góc đã biết, cho nên có thể dựng được.
+ Trong khi phân tích một bài toán dựng hình, vị trí hay độ lớn của đường phụ (hình phụ )thêm vào cũng có thể thay đổi linh hoạt, cho nên có thể có các cách dựng khác nhau.
Ví dụ: Nội tiếp một hình vuông trong một tam giác cho trước sao cho một cạnh của nó nằm trên đáy của tam giác còn các đỉnh kia nằm trên các cạnh bên của tam giác. Ở ví dụ này có thể do thay đổi vị trí của hình vuông vẽ thêm mà bài toán được 5 trường hợp không giống nhau.
Trường hợp 1: Trên AB lấy một điểm N bất kỳ, dựng NMAC (hình 2.21). Lấy MN làm cạch, dựng một hình vuông MNPQ trong ΔABC. Nối AP, kéo dài gặp BC tại P1. Dựng P1N1 // CA cắt BA tại N1.Từ P1, N1 dựng các đường P1N1, N1M1 vuông góc với AC.
Như vậy M1N1P1Q1 chính là hình vuông nội tiếp cần dựng.
G1 F1 H1 E1 D1 C1 A1 B1 Hình 2.20 Q N M P M1 N1 Q1 P1 C B A
Trường hợp 2: Trên AB lấy một điểm G1 bất kỳ, dựng G1F1 // BC, cắt AC tại F1(hình 2.22). Lấy G1F1 làm cạnh,dựng hình vuông D1E1F1G1, nối AD1, AE1 kéo dài chúng cắt BC tại D, E. Từ D, E dựng các đường vuông góc với BC cắt AB, AC tại G, F. Như vậy DEFG chính là hình vuông cần dựng.
Trường hợp 3: Dựng đường cao AD1 thuộc BC, lấy AD1 làm cạch hình vuông AD1E1F1,nối BF1, cắt AC tại F. Từ F dựng FG // CB cắt AB tại G, lại từ F, G dựng FE BC, GD BC, như vậy DEFG chính là hình vuông cần dựng (hình 2.23 ) .
Trường hợp 4: Lấy BC làm cạnh dựng một hình vuông BCE1D1 nằm bên kia tam giác (hình 2.24), nối AD1, AE1 cắt BC tại D, E. Từ D, E dựng các đường vuông góc với BC cắt AB, AC tại G, F. Nối GF. Như vậy DEFG chính là hình vuông cần dựng. E E1 D1 F1 G1 G F D C B A Hình 2.22 E E1 D 1 F1 G F D C B A Hình 2.23 E H G 1 F1 G F D C B A Hình 2.24 E E1 D1 G F D C B A Hình 2.25
Trường hợp 5: Lấy BC làm cạnh dựng một hình vuông CBG1F1 nằm cùng một phía với tam giác (hình 2.25). Lại dựng đường cao AH thuộc cạnh BC, nối HF1, HG1 cắt AC, AB tại F, G, nối FG, từ F, G dựng các đường vuông góc với BC là FE, GD, như vậy DEFG chính là hình vuông cần dựng.
Ví dụ: Dựng một tam giác biết độ dài của ba đường trung tuyến. Ở ví dụ này có thể do thay đổi độ lớn của hình phụ vẽ thêm mà bài toán được 4 trường hợp không giống nhau.
Trường hợp 1: Dựng ΔODG sao cho OD = 1/3ma, DG = 1/3mb, OG = 1/3mc(c.c.c). Kéo dài DO đến A sao cho OA = 2/3 ma .Kéo dài OG đến C sao cho GC = 1/3 mc. Nối CD, kéo dài đến B sao cho DB = CD. Nối AB, AC thì ΔABC chính là tam giác cần dựng.
Trường hợp 2: Dựng ΔOGC sao cho OG = 2/3ma, GC = 2/3mb, CO = 2/3mc(c.c.c). Lấy trung điểm D của OG. Nối CD, kéo dài đến B sao cho DB = CD. Kéo dài OG đến A sao cho OA = 2/3 ma. Nối AB, AC thì ΔABC chính là tam giác cần dựng.
Trường hợp 3: Dựng ΔFGC sao cho GC = AD = ma, FG = BE = mb, CF = mc(c.c.c) Dựng EG // = BF, nối FG, AG, FE, GC.
Trên CF lấy CO = 2/3mc. Lấy CF cắt AD tại O Lấy OA = 2/3 ma, qua O dựng AD // GC. G O F E D C B A Hình 2.26 O F E G D C A B Hình 2.27 F G E O D C B A
Như vậy EG // = AF, AFEG là hình bình hành. Cho nên AG // = FE = 1/2 BC // = DC, ADCG cũng là hình bình hành. Kéo dài AF đến B sao
cho FB = AF. Nối AB, AC thì ΔABC chính là tam giác cần dựng. Trường hợp 4: Dựng ΔAGK sao
cho AG = 2AD = 2ma, AH = 2BE = 2mb
và AK = 2CF = 2mc (c.c.c) Kéo dài AD đến G sao cho AD = DG. Kéo dài BC ra hai phía sao cho HB = BC = CK.
Kéo dài KD đến H sao cho DH = KD. Nối AB, AC thì ΔABC chính là tam giác cần dựng.
2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán dựng hình.
Khi dạy học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến bài toán dựng hình cho học sinh bậc trung học cơ sở thì phân tích là bước quan trọng nhất trong khi giải toán dựng hình, vì trong đó ta lập phương án dựng để tìm ra lời giải của bài toán. Ta xác định được mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm. Chỉ sau khi phân tích ta mới biết được hướng giải quyết của bài toán.
Phân tích một bài toán dựng hình tuy không có một quy tắc thông dụng phổ biến, nhưng những nguyên tắc được nêu dưới đây cũng có thể xem là được ứng dụng trong đa số các bài toán:
+ Vẽ phác một hình tương tự hình cần tìm, dựa vào hình đó ta có thể biết rõ vị trí của các điểm, các đường và những mối tương quan giữa chúng. Mặt khác, khi chính thức dựng hình chúng ta còn có thể tham khảo hình vẽ phác, để biết được những đường nào đã dựng được, đường nào chưa dựng được và nên dựng đường nào trước, đường nào sau.
O H G K F E D C B A Hình 2.29
+ Sau khi đã vẽ phác được một hình thì cần phân biệt các yếu tố đã biết và yếu tố chưa biết để khi nhìn vào hình vẽ phác ta có thể biết được bài toán cho gì và yêu cầu gì.
+ Quan sát tỉ mỉ xem có bộ phận nào đó trong hình có thể dựng trước được không ? giả sử có, thì trước hết phải dựng nó. Bộ phận này luôn luôn là cơ sở của toàn hình, sau khi đã có cơ sở đó mới tiếp tục dựng các bộ phận khác.
+ Trên cơ sở đã biết, tiếp tục quyết định dựng những bộ phận khác của hình cần dựng.
Ví dụ 1: Xét bài toán “Cho biết độ dài đường cao và trung tuyến hạ xuống một cạnh và độ dài cạnh kia của một tam giác, hãy dựng hình tam giác ấy”.
Phân tích: Trong hình vẽ phác có ba đoạn thẳng đã biết độ dài đó là:
A1E1 = ma, A1D1 = ha và A1C1 = b; hai góc 900 ta dùng hình vuông nhỏ đánh dấu phân biệt; ngoài ra còn hai đoạn thẳng B1E1
và E1C1bằng nhau, ta vạch (hình 2.30) một nét nhỏ ở chính giữa mỗi đoạn
thẳng để biểu thị chúng bằng nhau. Sau khi đã đánh dấu, nhìn vào hình
vẽ phác ta thấy ngay tam giác A1C1D1
có thể dựng trước, lấy tam giác A1C1D1 làm cơ sở của toàn hình, sau đó dựng chính thức tam giác cần dựng, dễ dàng
tìm được nghiệm hình.
Ví dụ 2: Dựng một tam giác cân, biết tổng của cạnh đáy và một cạnh bên và biết một góc ở đáy của nó.
Phân tích: - Giả sử ΔA1B1C1 là tam giác cần dựng (hình 2.31) - Đã biết A1B1C1 = β, A1B1 = A1C1 và A1B1C1 = A1C1B1. ma ha b A1 b ha ma B1 C1 D1 E1 Hình 2.30
Từ mối liên hệ đã biết tuy có thể suy ra độ lớn của hai góc khác, tức là A1C1B1 = β, B1A1C1 = 1800 – 2β, nhưng vì chưa biết độ dài của một cạnh nào cả, cho nên vẫn chưa thể dựng được tam giác này.Giả sử cần dựng tổng cạnh đáy và một cạnh bên đã biết, thì có thể kéo dài B1C1 đến D1 sao cho C1D1 = A1C1.
như vậy B1D1 = a + b, A1D1C1 = 1/2A1C1B1 = 1/2 β
đều là những điều kiện đã biết, do đó ΔA1B1C1 có thể dựng được.
Dùng tam giác này làm cơ sở ta có thể dựng tiếp được những bộ phận khác