9. Bố cục của luận văn
2.3.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu đặc trưng của từng
sinh tìm dấu hiệu đặc trưng của từng phương pháp, từ đó vận dụng vào việc giải bài toán cụ thể một cách dễ dàng.
Để học sinh có thể vận dụng các
phương pháp dựng hình trong giải bài tập, trước hết giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm ra được dấu hiệu đặc trưng của bài toán thông qua các yếu tố đã cho có trong mỗi bài toán cụ thể.
Muốn làm được điều đó giáo viên cần nhấn mạnh và nêu ra dấu hiệu đặc trưng nhất của mỗi phương pháp để học sinh nắm được khi giải bài toán dựng hình.
Tên phương
pháp
Dấu hiệu đặc trưng Phương pháp
Quỹ tích
Những bài toán mà giả thiết của nó có thể chia làm hai phần:
- Tìm một điểm thoả mãn những điều kiện nhất định.
- Bỏ đi một trong các điều kiện đó bài toán β b c B C1 C b A b c Hình 2.34
tương giao một phần xác định một hình quỹ tích, còn phần thứ hai xác định hình khác, điểm phải tìm sẽ nằm ở giao điểm của hai quỹ tích đó
trở thành vô định và lời giải của nó sẽ là quỹ tích những điểm thoả mãn điều kiện còn lại. - Sau đấy, khi bỏ điều kiện kia và kể đến điều kiện đã bỏ đi ta sẽ được quỹ tích mới của các điểm thoả mãn điều kiện sau này.
- Điểm phải tìm, muốn thoả mãn tất cả các điều kiện phải thuộc về cả hai quỹ tích.
Tịnh tiên
- Những bài toán mà khi phân tích ta khó tìm thấy mối liên hệ giữa các yếu tố cho trước để dựng được hình phải tìm; nhưng nếu chúng ta tịnh tiến song song một phần nào đó hoặc toàn bộ hình một khoảng xác định thì ta sẽ được hình phụ có thể dựng được dễ dàng.
- Dựng một hình phụ (trong khi phân tích) với những yêu cầu của bài toán đặt ra.
- Di chuyển tịnh tiến hình phụ đến một vị trí mới một khoảng nào đó và theo một phương và chiều xác định, sao cho các bộ phận của nó hợp với những bộ phận đã biết, tạo thành một hình mới dễ dựng hơn.
- Từ hình phụ này ta tịnh tiến nó cũng khoảng ấy nhưng theo hướng ngược lại thì sẽ được hình phải tìm
Đồng dạng
Những bài toán mà giả thiết của nó có thể chia làm hai phần: một phần xác định hình dạng của hình (xác định một hình với độ chính xác đồng dạng) còn phần thứ hai xác định các
- Tạm bỏ điều kiện xác định kích thước của hình.
- Ta dựng theo các điều kiện còn lại một hình đồng dạng với hình phải tìm.
- Sau đó trở lại điều kiện đã tạm bỏ đi, ta biến đổi đồng dạng hình vừa dựng thành hình phải tìm.
kích thước của hình. Đại số Những bài toán mà
giả thiết của nó có thể cho bởi độ dài các đoạn thẳng hay diện tích của các hình.v.v.
- Xác định xem đoạn nào hay đường nào cần tìm để giải bài toán.
- Qua đầu bài, dùng các hệ thức hình học đã biết giữa các đoạn đã cho và các đoạn phải tìm, ta lập phương trình hoặc hệ thống phương trình.
- Tìm cách giải phương trình hoặc hệ thống phương trình đó.
- Theo đầu bài toán, biện luận các công thức tính các đoạn chưa biết đã tìm được.
- Với các dụng cụ, dựng các đoạn thẳng phải tìm bằng các công thức đã tìm được, biểu thị qua các đoạn thẳng cho trước.
Sau khi đã nắm chắc các dấu hiệu đặc trưng của mỗi phương pháp giải toán, trong mỗi bài tập cụ thể, bằng các câu hỏi mang tính gợi mở, giáo viên khéo léo hướng dẫn học sinh chỉ ra các yếu tố trong giả thiết của bài toán mang dấu hiệu đặc trưng. Từ việc tìm ra được những dấu hiệu đặc trưng dẫn đến tìm lời giải bài toán là một việc không còn khó khăn.
Ví dụ: “Dựng tam giác biết hai góc A và C và chiều cao hb”.
Giáo viên Học sinh
Bài toán cho biết điều gì? Cho hai góc A, C và chiều cao hb. Bài toán yêu cầu gì? Dựng tam giác.
Dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán, gợi cho em điều gì?
Nếu chưa kể đến chiều cao của tam giác phải tìm thì theo hai góc cho trước, ta có thể dựng đựơc vô số tam giác đồng dạng
với tam giác phải tìm. Do đó có thể sử dụng phương pháp đồng dạng để giải bài toán. Vậy em có thể chỉ ra: phần nào Một phần xác định hình với độ chính xác
trong giả thiết của bài toán xác định hình với độ chính xác đồng dạng? phần nào xác định kích thước của hình phải tìm?
đồng dạng là: hai góc của tam giác, còn phần kia xác định kích thước là: chiều cao của hình.
2.3.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng thực hiện đầy đủ các bước của quy trình giải bài toán dựng hình.
Trong quá trình lý luận để giải bài toán dựng hình nếu học sinh không theo một quy trình các bước giải nhất định mà trong đa số các bài toán họ chỉ nêu cách dựng, thì khi viết cũng như khi trình bày miệng lời giải sẽ thiếu liên tục và khúc triết về mặt lô-gíc. Vậy câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được đầy đủ các bước đó vào việc giải những bài toán dựng hình cụ thể mà họ gặp phải trong chương trình.
Muốn cho học sinh nắm vững quy trình giải toán dựng hình giáo viên cần phải giúp học sinh chỉ ra được nội dung công việc của mỗi bước; mối liên hệ, sự phụ thuộc giữa các bước và cách vận dụng vào từng bài toán cụ thể. Nói chung, cách thức dạy học sinh thực hiện tốt quy trình chung để giải toán dựng hình như sau:
i) Dạy quy trình chung từ từ theo từng bước ngay trong quá trình giải các bài toán. Thông qua việc giải những bài toán dựng hình cụ thể, giáo viên cần đặt cho học sinh những câu hỏi, gợi ý sâu sắc, đúng tình huống như:
- Các em hãy suy nghĩ xem, giải bài toán này như thế nào? - Tại sao các em lại giải như thế?
để học sinh dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện, từ đó thực hiện được từng bước quy trình chung giải bài toán dựng hình. Những câu hỏi này lúc đầu là do giáo viên nêu ra nhằm hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.
ii) Hướng dẫn học sinh tự mình sử dụng một cách hợp lý các bước của quy trình chung. Trước hết hãy vẽ một hình tương ứng với hình phải dựng; qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho trước và những yếu tố phải tìm, nêu cách dựng, sau đó thực hiện trực tiếp phép dựng kèm theo những giải thích ngắn, gọn. Muốn cho bài giải là chắc chắn đúng, còn phải chứng minh rằng hình vừa dựng xong đúng là hình phải tìm và cũng phải giải thích xem với điều kiện đã cho như thế nào thì bài toán không có lời giải, như thế nào thì bài toán có lời giải và có bao nhiêu?
Ví dụ: Dựng hình bình hành biết một cạnh và hai đường chéo.
Phân tích: Giả sử hình bình hành A1B1C1D1 là hình phải tìm (hình 2.35), trong đó đã biết cạnh A1D1 và các đường chéo A1C1 và B1D1.Vì các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại điểm
giữa mỗi đường nên phép dựng hình bình hành quy về phép dựng tam giác A1O1D1 theo ba cạnh: A1D1 là cạnh các nửa của các đường chéo của hình bình hành. Từ tam giác A1O1D1ta có thể suy ra hình bình hành cần dựng.
Cách dựng: Trên một đường thẳng bất kỳ dựng đoạn AD (hình 2.36) bằng
a, chia cácđoạn d1 và d2 làm đôi rồi ta dựng trên AD một tam giác AOD biết ba cạnh. Kéo dài AO và OD về phía O và đặt các đoạn OB = OD và OC = OA. Nối các điểm A, B, C và D ta được tứ giác ABCD.
Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình
bình hành vì theo cách dựng nó là tứ giác lồi và các đường chéo cắt nhau tại điểm giữa
của mỗi đường. Các đường chéo và cạnh là các đoạn đã cho, điều đó suy ra từ cách vẽ. O1 C1 B1 A1 D1 Hình 2.35 O d2 a C B A d1 D Hình 2.36
Biện luận: Bài toán có hay không có lời giải, là phụ thuộc vào chỗ có thể
dựng được tam giác AOD theo ba cạnh: a, 1/2d1, 1/2d2 hay không. Nếu cạnh lớn nhỏ hơn tổng của hai cạnh kia thì bài toán có 1 lời giải, nếu cạnh đó lớn hơn hoặc bằng tổng hai cạnh kia thì bài toán không có lời giải.
Ví dụ: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC. Hãy tìm điểm P trên BC sao cho AP2 = BP. CP
Phân tích: Giả sử P là điểm cần dựng (hình 2.37). Nối AP, đường kéo dài
của nó gặp đường tròn ngoại tiếp của Δ ABC tại D, như vậy AP. DP = BP. CP (1). Nhưng từ giả thiết của bài toán, ta biết AP2
= BP.CP (2). So sánh (1) và (2) ta biết điều kiện cần
thỏa mãn của bài toán, phải có liên hệ AP = DP. Nói cách khác, bất kỳ một dây cung nào trong đường tròn ngoại tiếp đi qua A nếu bị BC chia làm 2 phần bằng
nhau thì giao điểm của chúng chính là điểm cần tìm. Cách dựng: Từ A dựng đường vuông góc với
BC. Như vậy, chân đường vuông góc với P chính là điểm cần tìm (hình 2.38).
Chứng minh: Vì AP là đường cao hạ xuống cạnh huyền của Δ vuông
nên BP : AP = AP : CP. Từ đó suy ra: AP2 = BP. CP
Biện luận: Giả sử tâm đường
tròn ngoại tiếp là O, như vậy trung điểm của các dây cung đi qua A đều nằm trên đường tròn lấy AO làm đường kính. Nhưng đường tròn lấy AO làm đường kính cắt BC ở hai
điểm, một là O, hai là P– chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, vì vậy hai điểm này đều là lời giải của bài toán. Nếu gặp trường hợp đặc biệt, tam giác ABC là tam giác vuông cân thì P trùng với O và bài toán chỉ có một lời giải.
C B P A Hình 2.38 D C B A P O Hình 2.37
2.3.6. Biện pháp 6: Vận dụng linh hoạt các phương pháp dựng hình khác nhau.
Phương pháp giải các bài toán dựng hình trong hình học cũng như các phương pháp chứng minh là thiên biến vạn hoá, không có một phương pháp phổ biến có thể bao quát hoàn toàn. Có rất nhiều phương pháp giải nhưng mỗi bài toán không phải chỉ dùng một phương pháp và mỗi một phương pháp cũng không phải là chuyên dùng cho một loại bài toán, học sinh phải tuỳ cơ ứng biến, vận dụng linh hoạt mới có thể đạt được hiệu quả cao trong học tập.
Cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải toán như sau: - Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề.
- Kiểm tra những gì đề bài cho và đề bài hỏi gì? - Nhận dạng bài toán:
+ Bài toán này giải như thế nào? + Tại sao lại giải như vậy?
- Chỉ ra phương pháp giải tương ứng và giải quyết bài toán.
Ví dụ: Hãy dựng một hình vuông nội tiếp trong một tam giác cho trước. Giáo viên: - Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài.
- Đầu bài cho gì ? Cho tam giác ABC
- Hỏi gì ? Dựng hình vuông nội tiếp với tam giác đó.
- Với dữ kiện bài toán cho có thể áp dụng các phương pháp đã được học nào? Các phương pháp đã được học có thể áp dụng: phương pháp dựng hình đồng dạng và phương pháp phân tích đại số.
Cách giải 1( Sử dụng phương pháp dựng hình đồng dạng đã trình bày trong mục 2.2.3):
Cách giải 2(Sử dụng phương pháp phân tích đại số):
Phân tích: Cho DECF là hình vuông cần dựng. Dựng AHBC cắt GF tại K. Đặt GF = x, thế thì HK = EF = GF = x Lại đặt BC = a, AH = h, vì Δ ABC ~ ΔAGF (hình 2.40), cho nên AH : AK = BC: GF nghĩa là h : (h – x) = a : x.
Dùng tính chất giao hoán của tỷ lệ thức, ta được h : a = (h – x) : x. Dùng tính chất kết hợp của tỷ lệ thức khử x trong số hạng thứ ba của hệ thức trên, ta được: (h + a) : a = h : a
Cách dựng: Dựng AHBC. Tìm số hạng thứ tư trong tỷ lệ thức có chứa h + a, a, h, ta được x. Trên AH lấy KH = x. Qua K dựng GF // BC cắt hai cạnh ở G, F.
Từ G, F lần lượt dựng các đường GD, FE vuông góc với BC, như vậy DEFG là hình vuông nội tiếp cần dựng.
Ví dụ: Qua một điểm cho trước nằm trên một cạnh của một tam giác cho trước, hãy dựng một đường thẳng chia đôi diện tích tam giác ấy.
Giáo viên: - Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài. - Đầu bài cho gì ? Cho tam giác ABC
- Hỏi gì ? Dựng một đường thẳng chia đôi diện tích tam giác đó.
- Với dữ kiện bài toán cho có thể áp dụng các phương pháp đã được học nào?
Cách giải 1:
Phân tích: Vì trung tuyến của tam giác chia đôi diện tích tam giác đó, cho
nên trước hết có thể dựng trung tuyến AD tạo thành ΔABD có diện tích bằng 1/2 d.t ΔABC, (hình 2.41) sau đó trên ΔABD cắt đi ΔAED, thêm vào ΔPED cùng
đáy và có đường cao bằng nhau thìđược hình cần dựng.
Cách dựng: Dựng trung tuyến AD, nối AP, qua D dựng DE // PA, cắt AB
tại E, nối PE, đó là đường chia đôi cần dựng.
Chứng minh tóm tắt:
Vì d.t ΔPED = d.t ΔAED, thêm d.t ΔEBD vào hai vế ta được d.t ΔEBP = d.t ΔABD Mặt khác, vì d.t ΔABD = 1/2 d.t ΔABC E A C B D P Hình 2.41 h a x H x D G E F C A B Hình 2.40
cho nên d.t ΔEBP = 1/2 d.t ΔABC.
Biện luận: Bài toán luôn có một lời giải. Cách giải 2:
Phân tích: Gọi PE là đường thẳng cần dựng (hình 2.42), từ điều kiện dã cho ta có: 1/2 dt ΔABC = dt ΔEBP (1). Trong ΔABC đã biết độ dài của BC = a, đường cao AD = h. Trong ΔEBP cũng đã biết độ dài của BP = d, giả sử có thể
tìm được độ dài của đường cao EF = x thì điểm E cũng có thể tìm được. Từ định lý về diện tích của hình
tam giác, ta biết dt ΔABC = 1/2 ah, dt ΔEBP = 1/2 dx thay vào (1) ta được` 1/2 × 1/2 ah = 1/2dx nghĩa là ah = 2dx. Từ đó suy ra x = ah : 2d.
Cách dựng: Tìm số hạng thứ tư của
tỷ lệ thức chứa 2d, a, h, ta được x.
Dựng BGvuông góc với BC sao cho BG = x. Từ G dựng GE // BC cắt AB tại E. Đường thẳng PE chính là đường thẳng cần dựng. D P F d a h x x E G B C A Hình 2.42
Kết luận chƣơng 2
Căn cứ vào nội dung chương trình, đặc điểm của các bài tập trong phần dựng hình ở bậc trung học cơ sở. Căn cứ vào những khó khăn và sai lầm thường gặp khi giải bài tập của học sinh, chúng tôi thử đề xuất một số biện pháp và nêu một số ví dụ về giải bài toán dựng hình để hướng dẫn học sinh giải một số bài tập nhằm khắc phục phần nào những khó khăn cho học sinh khi học và cả giáo viên khi giảng dạy phần kiến thức này. Việc làm này có ý nghĩa sau:
- Học sinh được ôn lại kiến thức hình học một cách có hệ thống.
- Học sinh giải quyết được các bài tập dễ dàng hơn nhờ kiến thức vừa được ôn. - Học sinh được rèn về tính linh hoạt khi nhìn các bài toán, tìm ra ngay dấu hiệu đặc trưng, thậm chí cả trường hợp đặc biệt, khái quát giữa các bài toán.
- Học sinh có thói quen suy luận lô-gic, mạch lạc không chỉ khi giải bài tập hình