9. Bố cục của luận văn
2.2.4. Phương pháp sử dụng đại số
lượt nằm trên các cạnh AC, BC, AB (hình 2.13). Ta chọn tâm đồng dạng A, vì chỉ có chọn như vậy thì các đỉnh M và Q
mới biến thành các điểm của AC, còn điểm N biến thành một điểm của AB. Nhưng điểm P chỉ có thể biến thành một điểm của tia AP cho nên đỉnh tương ứng của hình vuông phải tìm sẽ là giao điểm của tia AP với cạnh BC của tam giác.
Cách dựng: Trên AB lấy một điểm
N bất kỳ, dựng NMAC. Lấy MN làm cạch, dựng một hình vuông MNPQ trong ΔABC. Nối AP, kéo dài gặp BC tại P1. Dựng P1N1 // CA cắt BA tại N1. Từ P1, N1 dựng các đường P1N1, N1M1 vuông góc với AC, như vậy M1N1P1Q1 chính là hình vuông nội tiếp cần dựng.
Chứng minh: Vì P1N1 // NP, P1Q1 // PQ cho nên Δ AP1N1 ~ ΔAPN. Hơn nữa P1N1 : PN = AP1 : AP (1). Lý luận tương tự như trên ta có: P1Q1 : PQ = AP1 : AP (2). Từ (1) và (2) suy ra P1N1 : PN = P1Q1 : PQ. Nhưng PN = PQ ( theo cách dựng ) nên P1N1 = P1Q1. Mặt khác, dễ thấy rằng DEFG là hình chữ nhật vì các góc đều bằng góc vuông. Nên DEFG là hình vuông.
Biện luận: Trên cạnh AC có thể dựng một hình vuông nội tiếp với ΔABC,
tương tự trên cạnh khác cũng có thể dựng một hình vuông nội tiếp, cho nên bài toán này có ba lời giải.
2.2.4. Phương pháp sử dụng đại số. Q Q N M P M1 N1 Q1 P1 C B A Hình 2.13
Trước khi học về phương pháp này, học sinh đã nhiều lần áp dụng đại số để giải các bài toán hình học về tính và qua thí dụ về chứng minh định lý Pitago bằng đại số, học sinh đã thấy ứng dụng của đại số vào chứng minh hình học. Cho nên, phương pháp giải toán dựng hình bằng đại số được coi như sự mở rộng hơn nữa ứng dụng của đại số trong việc giải toán hình học.
a. Cách nhận biết bài toán có thể giải được bằng phương pháp đại số:
Những bài toán mà giả thiết của nó có thể cho bởi độ dài các đoạn thẳng hay diện tích của các hình.v.v.
b. Phương pháp giải:
- Xác định xem đoạn nào hay đường nào cần tìm để giải bài toán, biểu thị độ dài các đoạn thẳng chưa biết là x, y, z, ... còn biểu thị độ dài các đoạn thẳng cho trước là a, b, c, .... tức là đưa ra những ký hiệu.
- Qua đầu bài, dùng các hệ thức hình học đã biết giữa các đoạn đã cho và các đoạn phải tìm, ta lập phương trình hoặc hệ thống phương trình.
- Tìm cách giải phương trình hoặc hệ thống phương trình đó.
- Theo đầu bài toán, biện luận các công thức tính các đoạn chưa biết đã tìm được, nghĩa là xác định xem công thức tìm được có luôn luôn cho ta lời giải không.
- Với các dụng cụ, dựng các đoạn thẳng phải tìm bằng các công thức đã tìm được, biểu thị qua các đoạn thẳng cho trước.
Học sinh đã rất quen với bốn bước đầu tiên, vì khi giải các bài toán hình học về tính và các bài toán đại số về lập phương trình các em cũng đã nêu ra các bước đó. Điều đó nói lên rằng các bài toán về dựng hình giải được bằng phương pháp này có thể coi như sự mở rộng các bài toán về tính.
c. Một số phép dựng hình cơ bản để dựng các đoạn thẳng chưa biết:
Để giải các bài toán dựng hình trước tiên phải tìm được độ dài của một đoạn thẳng nào đó, sau mới có thể dùng phương pháp dựng hình cơ bản để dựng được hình cần dựng. Chẳng hạn dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư của ba đoạn thẳng đã biết, dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng đã biết….
* x = a + b (tìm tổng của a, b sẽ được x) * x = a – b (tìm hiệu của a, b sẽ được x)
* x = ma (m là số nguyên dương, tìm m lần a thì được x)
* x = a/m (chia a thành m phần bằng nhau, mỗi một phần chính là x)
* x = bc/a (chính là a : b = c : x, cho nên tìm số hạng thứ tư của tỷ lệ thức chứa a, b, c sẽ được x)
* x = ab (chính là a : x = x : b tìm trung bình nhân cuẩ a, b sẽ được x) * x = 2 2
b
a (nghĩa là x2 = a2+ b2, dựng một tam giác vuông lấy a, b làm cạnh góc vuông, cạnh huyền của tam giác vuông này chính là x)
* x = 2 2
b
a (nghĩa là x2 = a2 – b2
, dựng một tam giác vuông lấy a làm cạnh huyền, lấy b làm một cạnh góc vuông, cạnh góc vuông kia chính là x)
Trong khi giải các bài toán bằng phương pháp đại số, ta biểu thị các đại lượng hình học khác nhau bởi những số, phụ thuộc vào sự chọn đơn vị đo, còn các công thức và định lý của hình học thì đều đúng với mọi đơn vị đo bất kỳ.
Khi dùng phương pháp phân tích đại số, vì bước chứng minh chỉ là đảo ngược của bước phân tích cho nên thông thường chỉ trình bày bước phân tích mà không cần chứng minh.
Ví dụ: Chia một đoạn thẳng theo trung và ngoại tỷ.
Phân tích: Giả sử điểm C đã dựng được. Đã biết độ dài đoạn thẳng AB =
a (hình 2.14).Gọi độ dài phần lớn là x, khi đó độ dài phần nhỏ sẽ là a – x . Như vậy, theo giả thiết thì a : x = x : (a – x) (*)
Biến đổi (*) ta được phương trình x2 + ax – a2 = 0 (**) Giải phương trình (**): ta được x1 = – a /2 + 2 2 2 / a a x2 = – a /2 – 2 2 2 / a a (loại). Vì theo đầu bài độ dài phải tìm là số dương,
cho nên x2 < 0 không thích hợp.
Do đó, độ dài đoạn lớn là: x = – a /2 + 2 2 2 / a a a C B A x Hình 2.14
Cách dựng đoạn thẳng có có độ dài biểu thị bởi công thức: x = – a /2 + 2 2 2 / a a Biểu thức 2 2 2 / a
a có thể coi như cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh góc vuông a/2 và a. Sau khi dựng độ dài cạnh huyền ta trừ đi a/2 và được đoạn x phải tìm.
Phép dựng có thể thực hiện như sau: Qua điểm B dựng đường thẳng góc với đoạn AB cho trước và đặt trên đường
thẳng góc ấy đoạn BK = a/2. Nối AK (hình 2.15), như vậy theo định lý Pitago, ta có AK = 2 2
2
/ a
a . Đặt KD = KB ta được đoạn x = AD phải tìm. Đặt nó trên AB, ta được AC = AD, nghĩa là
điểm C chia đoạn AB theo trung và ngoại tỷ.
Biện luận: Bài toán chỉ có một lời giải.
Ví dụ: Hãy dựng một hình tam giác đồng dạng với một tam giác cho trước sao cho diện tích của nó bằng 2/3 diện tích của hình cho trước.
Phân tích: Vì hình tam giác tạo thành bởi một đường thẳng song song với một cạnh bất kỳ của một tam giác đã cho đồng dạng với tam giác này, cho nên chỉ cần dựng đường thẳng B1C1 song song với BC, như vậy ΔAB1C1 đồng dạng với ΔABC (hình ). Nếu ΔAB1C1 là tam giác cần dựng thì dt ΔAB1C1 = 2/3 dt ΔABC, nghĩa là dt ΔAB1C1 : dt ΔABC = 3/2 (1) Muốn dựng B1C1 chỉ cần tìm độ dài của AB1 = x, nhưng cạnh tương ứng
Ví dụ: Từ một điểm cho trước ngoài một đường tròn cho trước hãy dựng một cát tuyến với đường tròn đó sao cho phần ngoài đường trong bằng phần trong đường tròn. K B C A D Hình 2.15
Phân tích: Giả sử cát tuyến PAB
đã dựng được, khi đó PA = AB. Từ P dựng tiếp tuyến PC với đường tròn, như vậy độ dài a của tiếp tuyến là đã biết (hình 2.16 )
Đặt PA = AB = x, như vậy PA × PB = 2
PC
nghĩa là x, 2x = a2 vậy x = a2 /2
Cách dựng: Từ P dựng tiếp tuyến của đường tròn là PC = a.
Tìm đoạn trung bình nhân x của a và a/2. Lấy P làm tâm, x làm bán kính dựng một cung cắt đường tròn O tại A. Nối PA, kéo dài cắt đường tròn tại B, như vậy PAB chính là cát tuyến cần dựng.
Biện luận: - Vì cung lấy P làm tâm, x làm bán kính cắt đường tròn O tại
hai điểm, cho nên bài toán có hai lời giải.
- Khi cung này tiếp xúc với đường tròn O thì bài toán có một lời giải.
- Khi cung này không có điểm chung với đường tròn O thì bài toán không có lời giải
+) Có những bài toán dựng hình, ngoài một bộ phận cần phải sử dụng phép phân tích đại số (như ở trên) thông thường còn ứng dụng định lý “nếu hai tam giác có cùng cạnh đáy và có các đỉnh cùng nằm trên một đường song song với cạnh đáy thì diện tích của chúng như nhau” nghĩa là “hai hình tam giác có cùng cạnh đáy và đường cao bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.
Phương pháp: Trên hình đã cho, cắt ra một hình tam giác và sử dụng đường song song lấy thêm một hình tam giác khác cùng đáy và có đường cao bằng nhau sao cho diện tích không đổi, nhưng hình dạng của nó lại hợp yêu cầu, nghĩa là chỉ có thể thay đổi hình dạng của hình phẳng nhưng không được thay đổi diện tích của nó.
Ví dụ: Qua một điểm cho trước nằm trên một cạnh của một tam giác cho trước, hãy dựng một đường thẳng chia đôi diện tích tam giác ấy.
a C x x P A B Hình 2.16 O
Phân tích: Vì trung tuyến của tam giác chia đôi diện tích tam giác đó, cho
nên trước hết có thể dựng trung tuyến AD tạo thành ΔABD có diện tích bằng 1/2 d.tΔABC, (hình 2.17) sau đó trên ΔABD cắt đi ΔAED, thêm vào ΔPED cùng
đáy và có đường cao bằng nhau thì được hình cần dựng.
Cách dựng: Dựng trung tuyến AD, nối AP, qua D dựng DE // PA, cắt AB
tại E, nối PE, đó là đường chia đôi cần dựng.
Chứng minh tóm tắt:
Vì d.t ΔPED = d.t ΔAED, thêm d.t ΔEBD vào hai vế ta được d.t ΔEBP = d.t ΔABD
Mặt khác, vì d.t ΔABD = 1/2 d.t ΔABC cho nên d.t ΔEBP = 1/2 d.t ΔABC.
Biện luận: Bài toán luôn có một lời giải.
+) Về đoạn thẳng tỷ lệ có rất nhiều định lý ngoài việc có thể áp dụng chúng để giải các bài toán dựng hình qua phương pháp phân tích đại số, còn có thể dùng trực tiếp chúng để giải rất nhiều bài toán dựng hình.
Ví dụ: Cho góc AOB và một điểm P nằm trong góc AOB. Dựng một đường thẳng qua P cắt OA, OB lần lượt tại C, D sao cho PC : PD = m : n.
Phân tích: Nếu đường thẳng C1D1
qua P, cắt OB ở D1 và PD1 = n, PC1 = m thì PC : PD = PC1: PD1(hình 2.18). Nhưng CPC1 = CPD1, cho nên theo định lý:
“Hai tam giác có một góc bằng nhau bị
kẹp giữa hai cạnh tỷ lệ với nhau thì hai tam giác ấy đồng dạng với nhau”, ta có
tam giác PCC1 đồng dạng với tam giác PDD1, PCC1 = PDD1 và CC1 // OB.
Cách dựng: Lấy P làm tâm, n làm bán kính dựng một cung cắt OB tại D1
nối D1P, kéo dài đến C1 dựng đường thẳng song song với OB, cắt OA tại C. Nối E A C B D P Hình 2.17 O D1 D B P C1 C A m n m n Hình 2.18
CP, kéo dài cắt OB tại D, CD chính là đường thẳng cần dựng (nếu n quá ngắn, dùng cách trên không thể có được điểm D1 thì có thể lấy PD1 = 2n, PC1 = 2m)
Biện luận: Bài toán luôn có một lời giải.
*Bài tập vận dụng: 1) Dựng một tam giác đã biết ba đường cao của nó
2) Cho biết hiệu của hai đoạn thẳng và biết trung bình nhân của chúng, hãy dựng hai đoạn thẳng đó.