9. Bố cục của luận văn
1.3.1.Phân tích
Phân tích một bài toán dựng hình chính là chuẩn bị bước vào việc, qua bước đó thì ta có thể biết được nên dùng phương pháp nào, nên theo một thứ tự nào để giải bài toán. Cách thức để học sinh thực hiện bước phân tích bài toán dựng hình như sau:
- Giả sử đã có một hình thoả mãn các điều kiện của bài toán. - Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác.. ) - Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng cơ bản.
Ví dụ: Thực hiện bước phân tích bài toán dựng hình sau: “Dựng tam giác biết đáy, góc nhỏ ở đáy và hiệu hai cạnh kia”.
Muốn giải, đầu tiên cần nghiên cứu điều kiện của bài toán, xét xem những yếu tố nào của tam giác phải tìm đã cho rồi. Muốn vậy, ta vẽ tam giác A1B1C1 (hình 1.6) bất kỳ và ghi các yếu tố tương ứng với các yếu tố đã cho trong
đầu bài. Đó là cạnh A1C1 và góc C1A1B1, nhưng trên hình vẽ không có hiệu hai cạnh kia. Vì trong khi giải bài toán ta phải xét đến tất cả những yếu tố đã cho,
nên cần phải chỉ ra trên hình vẽ hiệu đó. Điều này có thể làm theo 4 cách: 1) Ta đặt cạnh lớn của tam giác lên trên cạnh nhỏ, kể từ điểm C1 hay B1,hay
ngược lại đặt cạnh nhỏ trên cạnh lớn. 2) Nếu ta đặt đoạn hiệu ở phía B1 thì các yếu tố cho trước không liên hệ với
nhau và không tìm được cách giải. 3) Nếu đặt B1A1 trên B1C1 kể từ B1,
thì các yếu tố đã cho: đáy, góc ở đáy và
hiệu của hai cạnh kia sẽ liên hệ với nhau, nhưng mối liên hệ đó không giúp ta tìm
ra cách giải vì mối liên hệ không đủ chặt chẽ để dựng được hình D2C1A1B1.
4) Đặt B1D1 = B1C1. Ta thấy các yếu tố đã cho liên hệ được với nhau thoả mãn yêu cầu đặt ra, vì trong trường hợp này ta đã có thể dựng được hình C1A1D1. Sau khi đã cụ thể hoá như vậy các yếu tố đã cho của bài toán, ta tiến hành lập phương án dựng: Trên một đường thẳng bất kỳ, ta dựng một đoạn thẳng bằng đáy và được hai đỉnh của tam giác: Avà C. Ta có thể xác định được điểm D1 với DA = BA – BC. Chỉ còn xét cách dựng B khi biết D, Vì BC = BD nên B cách đều các điểm C và D, nó phải nằm trên trung trực PQ của CD. Giao điểm của đường thẳng PQ và tia AD sẽ là B. Do đó ta đi đến phép dựng sau đây: Trên một đường thẳng bất kỳ đặt một đoạn thẳng bằng đáy và dựng một góc bằng góc cho trước mà một cạnh là đoạn vừa dựng, đỉnh là đầu mút của đoạn đó. Trên cạnh thứ hai của góc đặt một đoạn bằng hiệu hai cạnh kia của tam giác và dựng quỹ tích các điểm cách đều đầu mút của đáy và đầu mút của đoạn vừa dựng; quỹ tích này cắt cạnh của góc có chứa đoạn hiệu tại một điểm. Nối điểm này với hai đầu mút của đáy ta được tam giác phải tìm.