9. Bố cục của luận văn
2.3.3.Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh cách biện luận bài toán dựng hình
Việc giải bài toán dựng hình có thể coi là xong, nếu giải đáp được rằng sẽ tìm được bao nhiêu nghiệm hình với những yếu tố cho trước xác định và đặc biệt nêu lên được khi nào không có nghiệm hình.
Biện luận chính là phân tích mối quan hệ giữa các điều kiện đã cho và hình đã dựng được, nói rõ trong trường hợp nào thì bài toán không có lời giải, trường hợp nào bài toán chỉ có một lời giải, trường hợp nào nhiều lời giải hoặc là vô định. Các điều kiện trong bài toán thường được phát biểu chung nhất; cho nên, các điều cho trước là những thông số nhận tất cả các giá trị thích hợp có thể được. Chẳng hạn, trong bài toán: “Dựng một tam giác biết hai cạnh a, b và góc xen giữa hai cạnh đó ”. Các giá trị thích hợp của a và b sẽ là tất cả các đoạn thẳng mà độ dài có thể biểu thị bởi các số dương, còn góc C có thể nhận các giá trị từ 00 đến 1800.
Đôi khi, nếu một trong các yếu tố cho trước không lấy giá trị thích hợp thì hiển nhiên là không dựng được hình phải tìm. Chẳng hạn: “Dựng một tam giác biết hai cạnh a và b và góc xen giữa chúng là 2400”. Bài toán này không có lời giải vì bất kỳ góc nào trong tam giác cũng nhỏ hơn 1800.
β a + b β D 1 B 1 C 1 A 1 Hình 2.31
Nhưng nếu tất cả các yếu tố cho trước đều thuộc phạm vi thích hợp thì trong đa số trường hợp, do có nhiều vị trí có thể được và do cách thức biến thiên của các yếu tố cho trước mà ta phải đặt câu hỏi:
- Với một cách thức biến thiên nhất định của các điều kiện đã cho thì kết quả bài toán sẽ thay đổi như thế nào?
- Với những yếu tố cho trước như thế nào thì bài toán không có lời giải? - Giá trị của các yếu tố cho trước phải như thế nào để có thể tìm được kết quả đã định?
a. Biện luận theo cách dựng: Dựa vào thứ tự toàn bộ cách dựng, ta nêu lên số hình hình học tối đa (điểm, đường thẳng, đường tròn, v.v.) tìm được trong mỗi phép dựng trong từng trường hợp. Trong khi nêu kết quả biện luận, ta xác định số lời giải tối đa có thể cho bài toán đó. Sau đó lập nhóm các trường hợp cụ thể của các yếu tố cho trước mà theo đó ta tìm được số lời giải tối đa. Chẳng hạn, xét bài toán: “Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng PQ cho trước và đường tròn (O, OA) cho trước tại điểm A cho trước”.
Ta xét lời giải bài toán này bằng phương pháp quỹ tích: Sau khi kẻ đường thẳng OA, (hình 2.32) ta dựng tiếp tuyến AB tại A với đường tròn cho trước, sau đó dựng các đường phân giác của các góc
PBA và ABQ. Giao điểm của đường thẳng OA với các đường thẳng BM và NB sẽ là
tâm của đường tròn phải tìm.
Biện luận theo cách dựng ta thấy được bài toán này có bốn nhóm đặc trưng của các yếu tố cho trước và đó chính là số lời giải tối đa của bài toán:
+ Nếu OA không thẳng góc với PQ và A không nằm trên PQ thì bài toán có hai lời giải.
+ Nếu OA không thẳng góc với PQ và A nằm trên PQ thì bài toán không có lời giải. B M Q O1 P O2 A O N Hình 2.32
+ Nếu OAPQ nhưng A không nằm trên PQ thì bài toán có một lời giải. + Nếu OA PQ và A nằm trên PQ thì bài toán có vô số lời giải.
b. Biện luận bằng cách tính số lời giải: Phần lớn các bài toán dựng hình, giải được bằng hình học sơ cấp, có thể chia làm hai lớp: Bài toán về kích thước và bài toán về vị trí.
+) Bài toán về kích thước là bài toán trong đó người ta yêu cầu dựng một hình có vị trí tuỳ ý trên mặt phẳng, tức là chỉ để ý đến kích thước và hình dạng của hình phải tìm mà không để ý đến vị trí của nó trong mặt phẳng. Đối với bài toán kích thước thì tất cả các hình bằng nhau đều được coi là một lời giải. Do đó, hai hình bằng nhau bất kỳ dù không thể trùng nhau sau một phép dời hình trong mặt phẳng, cũng được coi là một lời giải.
+) Bài toán về vị trí là bài toán, trong đó người ta yêu cầu dựng một hình mà vị trí của nó trên mặt phẳng không tuỳ ý, tức là khi ấy ta cần biết không những kích thước và hình dạng của hình mà cả vị trí tương đối của nó trên mặt phẳng so với các yếu tố cho trước. Đối với bài toán vị trí thì hai hình bất kỳ tìm được trong khi giải, tuy có hình dạng và độ lớn như nhau nhưng vị trí khác nhau thì được coi là những lời giải khác nhau.
Ví dụ: Cho độ dài của ba đoạn thẳng a, b, c. Hãy dựng một hình tam giác.
Sau khi phân tích ta có thể dựng bài toán: trên một đường thẳng bất kỳ lấy BC = a (hình 2.33). Lấy C làm tâm và b làm bán kính vẽ một cung, sau đó lại lấy B làm tâm và c làm bán kính vẽ một cung, hai cung này gặp nhau ở A và A1 .
Nối AB, AC, A1B, A1C ta được ∆ABC và ∆A1BC. Ở đây, hai tam giác hình như là hai lời giải của bài toán, nhưng thực ra chỉ
có một lời giải. Vì trong bài toán không yêu cầu chỉ ra vị trí của hình tam giác phải tìm, tam giác ∆ABC và ∆A1BC ở các vị trí khác nhau nhưng hình dạng và
c a A C A 1 B b c a b Hình 2.33
độ lớn hoàn toàn như nhau cho nên không coi là hai lời giải khác nhau, do đó bài toán chỉ có một lời giải.
Ví dụ: Cho biết độ dài của hai cạnh là b, c, độ lớn góc B đối diện với cạnh có độ dài b là β. Hãy dựng hình tam giác đó.
Trước hết dựng góc B = β tại một vị trí tuỳ ý. Trên một cạnh của góc B lấy
BA = c. Lấy A làm tâm, b làm bán kính vẽ một cung cắt cạnh kia của góc B ở C
và C1. Nối AC, AC1, ta được tam giác ABC và ABC1 (hình 2.34). Hai tam giác ∆ABC và ∆ABC1
được dựng như vậy vì có hình dạng và độ lớn không như nhau, nên được
xem là hai lời giải khác nhau.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});