9. Bố cục của luận văn
2.1.1. Tóm tắt nội dung kiến thức của chương trình hình học có liên quan
Chương trình hình học ở bậc trung học cơ sở có các nội dung chính sau: a) Ở Chương trình lớp 6 gồm có 2 chương: Đoạn thẳng và Góc. Ở hai chương này học sinh được làm quen với các đối tượng cơ bản của hình học phẳng, đó là các khái niệm cơ bản: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, đường thẳng đi qua hai điểm, ba điểm thẳng hàng, độ dài đoạn thẳng, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, đường tròn, tam giác, góc (góc vuông, góc nhọn, góc bẹt,....) tia, tia phân giác của góc.
b) Ở Chương trình lớp 7 học sinh được học 2 chương: Đó là chương đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc; chương tam giác và chương quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác. Học sinh được học về định nghĩa, tính chất của các đường trong tam giác, các tam giác và các mối quan hệ cơ bản của các góc, các đường...
+ Các đường: đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, đường trung trực của đoạn thẳng; đường trung bình, đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao của tam giác.
+ Các tam giác: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông,..
+ Các quan hệ: quan hệ giữa các góc và cạnh trong tam giác, quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó, quan hệ giữa ba cạnh của tam giác, các trường hợp bằng nhau của tam giác …
c) Ở Chương trình lớp 8 các em được học các chương: như chương tứ giác, chương đa giác-diện tích của đa giácvà chương tam giác đồng dạng. Học
sinh tiếp tục được nghiên cứu về: định nghĩa, tính chất của các đường trong tam giác, tứ giác, diện tích của các hình.
+ Các hình và diện tích của các hình: tứ giác, hình thang, hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình vuông
+ Các đường: tính chất đường phân giác của tam giác; đường trung bình của tam giác, của hình thang.
+ Định lý Ta-let trong tam giác, định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-let. + Khái niệm hai tam giác đồng dạng, các trường hợp đồng dạng của tam giác.
d) Đến lớp 9 các em được nghiên cứu kỹ hơn về đường tròn: tính chất, vị trí, độ dài, diện tích của đường tròn, đường tròn nội, ngoại tiếp,…và góc với đường tròn: góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, cung chứa góc,…
2.1.2. Những yêu cầu về dạy học hình học ở trường trung học cơ sở.
So với chương trình hình học trước đây, phần hình học ở trường trung học cơ sở các nội dung hầu như được giữ nguyên. Nó chỉ khác trước cách sắp xếp các nội dụng học trong các lớp, cách trình bày các vấn đề lý thuyết và bài tập. Từ nội dung của chương trình đã trình bày ở trên, học xong phần này, học sinh phải đạt được những yêu cầu sau đây:
Chủ đề Mức độ cần đạt
1. Đại cương về điểm, đoạn thẳng, đường thẳng.
Mục tiêu:
Học sinh nắm được: định nghĩa, các tính chất về điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, …
– Biết cách vẽ hình biểu diễn của một đoạn thẳng, đường thẳng, tia…
– Biết cách xác định trung điểm của đoạn thẳng, khi nào thì AM + MB = AB? đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt, ba điểm thẳng hàng. – Bước đầu giải được một số bài toán vận dụng
các tính chất cơ bản của điểm và đường thẳng. 2. Đại cương về mặt phẳng, nửa mặt phẳng, góc, đường tròn, tam giác. Mục tiêu:
Học sinh nắm được các khái niệm về nửa mặt phẳng, mặt phẳng, góc, đường tròn, tam giác.. – Biết cách vẽ góc và xác định tia phân giác của góc. Khi nào thì xoy + yoz = xoz ?
– Xác định và chỉ ra đựợc sự giống và khác nhau của góc phụ, góc bù, góc kề nhau.
– Hiểu và vận dụng được các tính chất vào việc giải bài tập.
3. Các đường trong hình phẳng (đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, đường trung bình, đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác…)
Mục tiêu:
– Học sinh nắm được định nghĩa và tính chất của các đường. Cách phân biệt các đường với nhau.
– Chứng minh được các định lý về đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, đường trung bình, đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác…
– Biết cách vẽ hình biểu diễn của các đường. – Biết vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý của các đường để giải các bài toán cụ thể.
4. Tam giác. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
Mục tiêu:
Học sinh nắm được:
– Thế nào là một tam giác? Tổng ba góc trong một tam giác?
– Các trường hợp bằng nhau của tam giác. Phân biệt được sự khác nhau của các đường trong tam giác.
đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác… trong tam giác.
– Hiểu và chứng minh được định lý Pitago. – Các đường đồng quy trong tam giác.
– Xác định được: Quan hệ giữa các góc và cạnh trong tam giác, quan hệ giữa đường xiêm và hình chiếu của nó, quan hệ giữa ba cạnh của tam giác.
– Biết cách vẽ các hình tam giác, xác định được các đường trong tam giác.
– Rèn kỹ năng giải các bài toán hình học bằng cách vận dụng tính chất của các đường trong tam giác.
5. Tứ giác, đa giác–diện tích đa giác.
Mục tiêu: Học sinh nắm được các khái niệm về tứ giác, hình thang, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
– Cách xác định đối xứng trục, đối xứng tâm. – Công thức tính diện tích các hình: hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hình thoi, hình đa giác …
– Các tính chất của đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
– Vẽ được hình và vận dụng giải một số bài tập liên quan đến chúng.
6. Tam giác đồng dạng Mục tiêu:
Học sinh nắm được các khái niệm về tam giác, đồng dạng, nội dung các định lý, các trường hợp đồng dạng của tam giác. – Cách phân biệt các trường hợp đồng dạng của các tam giác với
nhau.
– Phát biểu và chứng minh được định lý Ta–lét trong tam giác.
– Biết vận dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác để giải các bài toán cụ thể.
– Biết cách vẽ và xác định tam giác đồng dạng. 7. Đường tròn, góc với
đường tròn. …
Mục tiêu:
Học sinh nắm được các khái niệm về hình tròn, đường tròn.
– Thế nào là một đường tròn nội, ngoại tiếp? – Tính chất, vị trí, độ dài, diện tích của đường tròn?
– Thế nào là một góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, cung chứa góc? – Biết cách vẽ và xác định vị trí, độ dài, diện tích đường tròn nội, ngoại tiếp.
– Xác định được: góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong, (bên ngoài) đường tròn.
2.2. Một số phƣơng pháp giải toán dựng hình ở trƣờng trung học cơ sở.
Trong hình học, các bài toán dựng hình thường được giải bằng phương pháp nhất định, đó là phương pháp quỹ tích tương giao, phương pháp tịnh tiến, phương pháp đồng dạng và phương pháp phân tích đại số. Do đó, muốn xác định xem có thể giải bài toán dựng hình đã cho bằng phương pháp nào, cần biết những dấu hiệu đặc trưng nhất của bài toán giải được bằng phương pháp này hay phương pháp khác. Các dấu hiệu đó được xác định bởi nội dung của chính phương pháp ấy. Chẳng hạn, một bài toán có thể giải được bằng phương pháp đồng dạng nếu giả thiết của nó có thể chia làm hai phần, một phần xác định hình
dạng của hình (xác định một hình với độ chính xác đồng dạng) còn phần thứ hai xác định các kích thước của hình.
2.2.1. Phương pháp sử dụng quỹ tích tương giao.
Phương pháp quỹ tích là một trong những phương pháp cơ bản giải toán dựng hình vì nếu ta lấy bất kỳ bài toán nào, kể từ bài toán đơn giản nhất như đặt một đoạn thẳng có độ dài cho trước đến những bài toán phức tạp hơn hầu như ta luôn gặp sự ứng dụng phương pháp quỹ tích. Phương pháp quỹ tích được nghiên cứu không phải chỉ trong một vài bài, mà kéo dài hầu như trong suốt quá trình học hình học ở bậc trung học cơ sở.
a. Cách nhận biết bài toán có thể giải được bằng phương pháp quỹ tích:
Phương pháp quỹ tích được áp dụng để giải những bài toán dựng hình phẳng, nếu một phần giả thiết xác định một hình quỹ tích, còn phần thứ hai xác định hình khác, điểm phải tìm sẽ nằm ở giao điểm của hai quỹ tích đó.
b. Phương pháp giải:
Việc giải bài toán được quy về việc tìm một điểm nào đó thoả mãn những điều kiện nhất định. Ta bỏ đi một trong các điều kiện đó, lúc ấy bài toán trở thành vô định và lời giải của nó sẽ là quỹ tích những điểm thoả mãn điều kiện tích mới của các điểm thoả mãn điều kiện sau này. Điểm phải tìm, muốn thoả mãn tất cả các điều kiện phải thuộc về cả hai quỹ tích, tức là giao điểm của hai quỹ tích đó.
Khi giải bài toán dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao, cần chú ý một số điểm sau:
– Nên kết hợp phân tích với cách dựng, không phân tích toàn bộ mà từng phần, tương ứng như vậy cách dựng cũng thực hiện từng phần, làm như vậy sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán được dễ dàng hơn.
– Có nhiều bài toán không đặt yêu cầu lúc nào cũng cần phải chứng minh rằng hình dựng được thoả mãn điều kiện bài toán vì chính sự tương ứng của hình vừa dựng với các yêu cầu của bài toán đã được bảo đảm bởi sự đúng đắn của phần phân tích.
– Khi biện luận bài toán, nếu bài toán được giải là bài toán vị trí thì có thể kết luận các quỹ tích có bao nhiêu điểm chung thì bài toán có bấy nhiêu lời giải; còn nếu phương pháp quỹ tích được áp dụng để giải bài toán kích thước, thì trong trường hợp này số giao điểm tìm được của các quỹ tích đã dựng sẽ không bằng số lời giải.
c. Xét một vài ví dụ:
Ví dụ: Cho một góc A và một điểm B trên một cạnh góc đó. Tìm trên cạnh kia một điểm C sao cho tổng CA + CB bằng độ dài k cho trước.
Phân tích: Giả sử điểm C1 (hình 2.1) là điểm cần tìm, tức là tổng các đoạn
A1C1 và C1B1 bằng đoạn cho trước. Ta đặt trên phần kéo dài của A1C1 về bên phải của C1 một đoạn C1D1 = C1B1
và nối D1 với B1.
Đoạn A1D1 = A1C1 + C1B1 = k (cho trước),
do đó bao giờ ta cũng dựng được điểm D1. Vì Δ B1C1D1 cân (C1D1 = C1B1 theo
cách dựng) cho nên đỉnh C1 của nó phải nằm trên trung trực của đáy B1D1.
Cách dựng: Trên cạnh không chứa
điểm B của góc đã cho (hình 2.2), ta đặt đoạn AD = k và nối điểm D với B; ta dựng trung trực của đoạn BD. Giao điểm của trung trực này với cạnh AD là điểm C cần tìm.
Chứng minh tóm tắt: Ta có BC = CD
vì C nằm trên trung trực của đoạn BD.
Nghĩa là AC + CB = AC + CD = k.
Biện luận: Vì bao giờ ta cũng phải dựng được Δ ABC, nên:
+ Khi k > AB bài toán có một lời giải duy nhất vì điểm C là giao điểm của hai đường thẳng, mà hai đường thẳng không thể cắt nhau quá một điểm.
+ Khi k ≤ AB bài toán không có lời giải.
D1 C1 B1 A1 Hình 2.1 k D C B A Hình 2.2
Ví dụ: Dựng hình tam giác biết chiều dài cạnh đáy, độ lớn góc ở đỉnh và đường cao thuộc cạnh đáy.
Phân tích: Giả sử ΔA1B1C1 là tam giác cần dựng (hình 2.3). Đã biết B1C1 = a, B1A1C1 = β, A1D1 = ha,
A1D1B1 = 900. Cạnh đáy B1C1 đã biết độ dài cho nên có thể dựng trước. Vì điểm A1 cách đường thẳng B1C1 đã dựng một đoạn nhất định ha cho nên quỹ tích của nó là đường thẳng
song song G1H1 cách B1C1 một đoạn ha (quỹ tích thứ nhất). Mặt khác, vì độ lớn góc B1A1C1 cố định, hai cạnh đi qua hai điểm cố định B1, C1, cho nên quỹ tích của A1 là cung
hình viên phân lấy B1C1 làm dây cung và chứa góc β (quỹ tích thứ 2). Từ hai quỹ tích trên ta có thể tìm thấy điểm giao nhau của chúng là A1.
Cách dựng: Trên một đường thẳng
tuỳ ý lấy BC = a (hình 2.4). Từ C dựng CE BC, trên CE lấy CF = ha, qua F dựng GH // BC. Lấy BC làm dây cung, dựng mộtcung hình viên phân sao cho nó chứa mộtgóc bằng β, gặp GH tại A. Nối AB, AC ta được ΔABC là tam giác cần dựng.
Chứng minh: Từ A dựng ADBC,
theo tính chất đường song song nên AD = FC. Nhưng FC = ha nên AD = ha. Hơn nữa BC = a, B1A1C1 = β.
Biện luận: GH và cung hình viên phân có thể có hai giao điểm, nhưng vì
các tam giác hợp bởi B, C và các giao điểm đều bằng nhau, cho nên chỉ cần dựng một hìng là đủ. Nếu GH tiếp xúc với cung hình viên phân thì ta sẽ được một hình tam giác cân, ngược lại bài toán không có lời giải.
a D1 a β ha ha ha B1 C1 H1 F1 E1 A1 G1 Hình 2.3 D β B C H F E A G Hình 2.4
Ví dụ: Dựng đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng cho trước tại một điểm cho trước và tiếp xúc với một đường tròn cho trước.
Phân tích:Giả sử, ta đã dựng được đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB tại M và tiếp xúc với hình tròn đã cho ở C (hình 2.5). Theo điều kiện thứ nhất, tâm của nó sẽ nằm trên đường thẳng góc KM với AB, đi qua M( quỹ tích 1).
Qua hình vẽ, ta thấy rằng tâm của nó cách đều C và M. Nhưng điểm C chưa biết, mà chỉ biết vị trí tâm O. Kéo dài đoạn O1M
một đoạn bằng bán kính hình tròn cho trước, ta có ΔOO1N1 cân. Nếu giả thiết là tiếp xúc trong thì đoạn bằng bán kính hình tròn đã cho phải được đặt trên đường thẳng góc KM nhưng về phía bên kia của AB. Do đó, tâm đường tròn cần tìm phải nằm trên một trong các đường trung trực của ON1 và ON2 (quỹ tích 2).
Cách dựng: Qua điểm M, ta dựng KM AB và đặt trên KM về hai phía của AB các đoạn MN1 và MN2 bằng bán kính của hình tròn đã cho. Ta nối tâm O với các điểm N1 và N2. Dựng trung trực của các đoạn vừa nối được. Giao điểm của những đường trung trực đó với đường thẳng góc KM là tâm O1 và O2
của các đường tròn cần tìm, còn bán kính theo thứ tự bằng O1M và O2M.
Chứng minh: Hiển nhiên.
Biện luận: Tâm của các đường tròn cần tìm là giao điểm của hai đường
thẳng với đường thẳng thứ ba (nghĩa là không có quá hai lời giải). Nếu tìm được ΔON1N2 thì các đường thẳng góc với các cạnh ON1 và ON2 của nó không thể đồng thời song song với KM, do đó bài toán luôn có ít nhất một lời giải. Bài toán chỉ có một lời giải nếu ON1 hoặc ON2 thẳng góc với KM, tức là hình tròn đã cho tiếp xúc với AB. Nếu không tìm được ΔON1N2, tức là tâm của hình tròn đã cho ở trên đường thẳng góc KM. Bài toán sẽ có hai lời giải, nếu hình tròn đã cho không tiếp xúc với AB; trái lại bài toán sẽ vô định.
M O1 C N 2 K O2 O B A N1 Hình 2.5
2.2.2.Phương pháp sử dụng phép tịnh tiến
Trong hình học, tương quan hàm số là sự biến đổi hình học từ một hình này sang một hình khác, khi mà mỗi điểm của một hình này tương ứng với một điểm xác định của một hình khác, theo một quy luật nào đó. Phép tịnh tiến cũng vậy, nó là một phép biến đổi mà trong đó tất cả các đoạn thẳng nối từng đôi điểm tương ứng là bằng nhau, song song và cùng chiều.
a. Cách nhận biết bài toán có thể giải được bằng phương pháp tịnh tiến:
Phương pháp tịnh tiến có thể dùng để giải những bài toán mà khi phân tích ta khó tìm thấy mối liên hệ giữa các yếu tố cho trước (các yếu tố cho trước