b) Xâc định điểm trín mặt phẳng
2.2.1.3. Phương phâp loại bỏ hình học
Đ đ y lă m ộ t trong câc p h ư ơ n g phâp phổ biến nhất, C âc phần tử của bề m ặt c ó thể đ ư ợ c chia ra thănh câc nhóm n h ỏ tuỳ thuộc v ă o đ ối tư ợ n g dự kiến s ẽ đ ư ợ c d u y ệt đ ể lo ạ i b ỏ, câ c nh ỏm nh ỏ năy c ó thể lă đ ỉn h & n h ó m đ ỉn h , c ạ n h & n h ó m c ạ n h , m ặ t & n h ó m m ặ t khi sử d ụng câc thuật toân tư ơ n g ứ ng đ ể loại bỏ đ ỉn h & n h ó m đ ỉn h, loại b ỏ c ạ n h & n h ỏ m c ạ n h, loại b ỏ m ặ t &
n h ó m m ặt, H ình 2 .1 5 m inh h ọa ch o p h ư ơ ng phâp loại bò hình học.
Nghiín ciru một so phinxng phâp biếu diễn bề mặt írong không gian ba chiều 50
Câc đình
Hình 2.15 Minh họa cho phương phâp loại bỏ hình học
2.2.2. T h u ật toân “ độ đo sai số bậc hai Q EM ” (Quadrỉc E rror M etrỉc)
M ộ t g iả thiết ch u n g m ă câc thuật toân th ư ờn g tuđn th eo tro n g v iệ c m ô hình h ó a biểu d iễn bề m ặt lă đ ều co i dữ liệ u đầu v ă o lă c â c đa d iệ n m ă câ c m ặt củ a nó lă câ c tam g iâ c ch ứ kh ôn g phải lă m ột đa g iâ c bất k ỳ, v ì m ộ t đa g iâ c bất kỳ bao g iờ cũ n g lă tập của nhiều tam g iâ c.
B ăi toân “giả m thiểu đa diện ” trong k h ô n g gian ba c h iề u c ũ n g n h ư câ c băi toân tối ưu k h âc, th ô n g th ư ờn g, khó c ó th ể tìm đ ư ợ c lờ i g iả i tốt nhất tron g đ iều k iện th ờ i g ia n tín h to â n chấp n h ậ n đư ợ c. Ở phần trước c h ú n g ta đ ê x e m
Nghiín cúv một số phương phâp biếu diễn bề mật trong không gian ba chiểu 51
xĩt một số câc hướng tiếp cận vấn đề năy cùng câc thuật toân đại diện cho câc hướng đó. Một sổ câc thuật toân cho được kết quả khâ tốt thì lại mất nhiều thời gian cho câc phĩp biến đổi, một sổ khâc tính toân rất nhanh nhung kết quả lại không tốt lắm.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiín cứu một thuật toân được gọi lă thuật toân đơn giản biểu diền bề mặt đa diện sử dụng độ đo sai sổ bậc hai
{Quardric Error Metric Từ đđy, được gọi tắt lă thuật toân QEM) của hai tâc giả Micheâl Garland vă Paul Heckbert thuộc trường Đại học Carnegie M ellon (P ittsb u rg h , PA) đề xuất ra đầu tiín văo năm 1997. Câc hướng nghiín cứu nhằm hoăn thiện nó được tiếp tục cho đển năm 1999. Câc điểm ưu việt của thuật toân năy lă ở chồ không răng buộc nhiều văo dữ liệu đầu văo (câc loại mặt xử ỉỷ rất đa dạng ), tốc độ cao, chất lượng đầu ra tốt vă đặc biệt có thể căi đặt thím nhiều điều kiện răng buộc khâc ngoăi câc thuộc tính hình học mă vẫn giữ được mô hình toân học của thuật toân đề ra từ ban đầu.
Thuật toân ỌEM sử dụng phương phâp loại bỏ hình học. Có hai vấn đề mấu chốt của thuật toân năy mă chúng ta cần quan tđm:
- Đối tượng được xĩt duyệt vă loại bỏ của nó lă một cặp đỉnh, cặp đỉnh năy có thế lă một cạnh của đa diện biểu diễn vật thể hoặc cũng có thể không. Thay văo cặp đỉnh bị loại bỏ lă một đỉnh mới, câc yếu tổ liín quan tới cặp đình như cạnh, mặt sẽ được cập nhật tương ứng.
- Thuật toân QEM đề ra một đại lượng gọi lă hăm giâ, dựa trín đại lượng năy, thuật toân sẽ có được câch chọn cặp đỉnh năo cần loại bở vă chọn vị trí của đỉnh mới để sao cho sai số so với mô hình ban đầu lă nhỏ nhất.
Nghiín círu một sổ phương phâp biếu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 52
2.2.2.1. Một số khâi niệm vă giả thiết ban đầu của thuật toân
a) Qui ước về câch biểu diễn vật thể
M ộ t vật thể đư ợ c m ô hình hóa trong kh ôn g gian ba ch iều th ô n g thường đ ư ợ c b iếu diễn bởi câc bề m ặt đa g iâ c lă tam g iâ c, đ iều năy k h ô n g lăm giảm tính tổ n g quât bởi v ì, m ột đa g iâ c bất kỳ đều c ó thể chia được thănh câc tam g iâ c n h ỏ hơn, nói câ ch khâc, m ột đa g iâ c luôn lă m ột tập của nh iều tam g iâ c. V ớ i qui ư ớc năy, từ đđy, khi ch ú n g ta đề cập đến m ột mặt đa giâ c đơn lỉ năo đ ó tron g m ô hình b iểu diễn thì h iểu răng đó lă m ặt tam g iâ c.
K hâi n iệm vật thể trong k h ô n g gian ba ch iều ở đđy d o y ếu tố cần phải thể h iện đ ư ợ c lín m ăn hình đồ họa m ây tính nín m ục tiíu b iểu diễn vật thể chính lă v iệ c b iếu d iễn câc bề m ặt của vật thể năy; như vậy, ch ú n g ta cù n g qui ư ớ c rằng khi nói đến m ột vật thể cũ n g đ ồ n g n gh ĩa lă nói đến m ột m ặt của đa d iện b iíu d iễn chúng.
T ron g m ột số trường hợp đặc biệt, trong m ô hình biểu diễn c ó th ể có câc đ ỉn h h o ặ c cạnh k h ôn g th u ộ c m ột tam g iâ c n ăo cả, c ó m ột số thuật g iả i đê đ ư ợ c phât triển để x ử lý vă loại bỏ n hữ ng y ếu tố như v ậ y , thuật toân m ă ta sẽ trịnh .bậy saụ <3ậy. c.oi nh.ư.vật.thể đầu yăo. ch ỉ g ồ m n h ữ ng tam g iâ c ...
V ớ i câc g iả th iết níu trín, trong thuật toân Q E M ch ú n g ta định nghĩa: m ộ t đa d iện trong k h ôn g gian ba ch iều bao g ồ m câc m ặt tam g iâ c cò n được b iế u thị b ằn g m ột cặp danh sâch M = (V ,F ) trong đó:
V = (V|,V2,V3, .. ,v r) : lă danh sâch g ồ m m ột dêy thứ tự câ c đỉnh, m ỗi m ột đỉnh lă m ột v e c tơ c ộ t V | = [Xị, yi, Z \ Ỹ trong kh ôn g gian R 3 .
F = (fu f b •• . / n ) ■ lă danh sâch dêy c ó thứ tự câc mặt tam g iâ c , m ỗi m ộ t tam g iâ c fị - (ỉ,k,l) lă m ột bộ ba đỉnh c ó thứ tự (vj,vk ,V|).
Nghiín círu một sổ phương phâp biểu diễn bề mặl trong không gian ba chiểu 53
b) Câc yíu cầu về giữ nguyín hình dạng hình học của vật thế (topology preservation)
X ĩ t v ề m ặt hình dạn g hình h ọ c, có hai quan niệm trong v iệ c thiết k ế câc thuật toân giâm thiếu đa diện. Quan niệm thứ nhất chú trọng tới v iệ c g iữ n g u y ín hình dạn g hình học của v ậ t thể ( topology preservation ), hai phần rời nhau củ a vật thể sẽ k h ô n g đư ợc chập lăm m ột trong quâ trình b iến đổi c h o đù m ứ c đ ộ giả m th iểu rất n h iều . Quan niệm thứ hai, ch o ph ĩp có sự v i phạm năy, n ếu hai phần của vật th ể gần nhau, ở m ột m ức độ năo đó, ch ú n g c ó thể chập v ă o nhau trong quâ trình thực hiện biến đổi. Thuật giải Q E M th uộc loại thứ hai. Đ e m inh hoạ ch ú n g ta x em x ĩt v í dụ ở hình 2 .1 6 . sau:
Hình 2.16. Một vật thể gồm nhiều khối hộp đặt sât nhau được giảm thiểu theo 2 câch
T a c ó m ột vật thể gồ m nh iều khối lập p h ư ơ ng nhỏ nằm kề sât nhau, nếu th eo quan niệm thứ nhất, kết quả cùa quâ trình biến đổi k h ôn g c h o phĩp câc khối n h ỏ chập v ă o rihăú, 'kết' quđ lă câc khối lập ph ứ ớng nhỏ s ẽ bị sú ý giđm m ột câ ch đ ộ c lập, ch ú n g sẽ nhò đi vă tâch xa nhau ra như hình v ẽ. N ế u th eo
quan niệm thử hai, chỉ sau văi bư ớc lặp, câc khối lập ph ư ơ n g sẽ chập vă nhau thănh m ột kh ối hộp duy nhất vă ch ú n g ta c ó m ột kết quả tốt hơn nhiều. T u y n h iín , quan niệm thứ nhất c ũ n g thật cần thiết trong m ột s ố ứ n g d ụng nhất đ ịn h đ òi hỏi sự ch ín h x â c cao.
V ớ i quan n iệm thứ hai, thuật toân Q E M c h o phĩp chập câc câc phần tâch rời củ a vật thể v ớ i nhau nếu thoả m ên m ộ t số đ iều kiện năo đó, vă đ ó ch ín h lă lý d o m ột cặ p đỉnh bị loại bỏ có thể k h ô n g phải lă cạnh của đa diện biểu diễn.
CHƯƠNG 2. _ BỈĨU DIẺIS BÍ MẬT TRONG KHÔNG GIAN BA CHIÍU
b) Giảm thiểu đa diện theo c) Giảm thiểu đa diện theo quan niệm thứ nhất quan niệm thứ hai a) Vật thể ban đầu
Nghiín cứu một số phương phâp biểu diễn bể mặt trong không gian ba chiều 5 4
c) Phương phâp dânh giâ độ xấp x ỉ
N h ư đê trinh băy, m ục tiíu củ a nh ừ ng thuật toân giảm thiểu đa diện lă biến đ ổi nhữ ng vật thể ban đầu thănh n hữ ng vật thể đơn giản hơn nh ư ng vẫn g iữ đ ư ợ c hình d ạn g tư ơ n g tự nh ư ban đầu. Đ e đânh giâ đư ợc đ ộ tư ơ n g tự năy c h ú n g ta cần phải c ó m ột đại lư ợ n g đo. G iả sử vật thể ban đầu lă M v ă vật thế đ ư ợ c biến đ ổi lă M ’ ta cần phải c ó m ột hăm đ o lă m ột ânh xạ :
E : M x M - ) R trong đ ó E(M,M’) chỉ ra m ức độ tư ơng tự giữ a M vă M \ g iâ trị năy c ă n g nhỏ thỉ ta nói M ’ că n g g iố n g M.
Đ ại lư ợ n g năy phải hoăn toăn dựa trín sự khâc biệt v ề hình ảnh củ a hai vậ t th e vă đ ộ c lập vớ i câc ứ ng d ụ n g sử d ụ n g nó. C ó 2 hư ớn g n g h iín cứ u đê đ ư ợ c phât triền.
♦ H ư ớ n g thứ nhất dựa trín sự khâc biệt v ề hình ảnh 2 ch iều (im age- b a se d m etric) đ ư ợ c kết xuất ra của hai vật th ể, nó dựa trín sự khâc biệt trung b ìn h g iữ a câc đ iểm ảnh của hai ảnh hai ch iều .
♦ H ư ớ n g n gh iín cứu thứ hai dựa vă o sự tính toân trín m ô hình hình h ọc củ a hai vật th ể (sh a p -b a sed metric)', hư ớng năy p h ổ biến hơn. C h ú n g ta c ó thể nh ận-thấy-hầu hết câc-thu ật toân đều-tính toân sự khâc b iệt-giữ a-câc m ô h ìn h - dự a trín câc đặc điểm hình học của chúng.
C h ú n g ta s ẽ đ iểm qua câc nĩt chín h củ a hai phư ơng phâp dưới đđy.
c. I) D ựa văo ảnh kết xu ấ t ra
N h ữ n g h ệ th ố n g kết xu ấ t h ìn h ảnh (ren d erin g system ) lă n h ữ n g hệ th ố n g tín h to â n c h o ta n h ừ n g h ìn h ảnh 2 c h iề u c u ố i c ù n g củ a v ậ t thể dựa trín c â c m ô hình hìn h h ọ c của v ậ t thể đ ó , đ đy lă m ột tron g n h ừ n g ứ n g đ ụ n g c h ín h củ a đ ồ h oạ ba c h iều bởi v ì sau tất c ả câ c quâ trình th iết k ế, m ô hình h o â v ậ t th ể, tô m ău v .v ... c u ố i c ù n g ch ú n g ta vẫn cần c ó câc h ìn h ảnh để
Nghiín cứu một số phmmg phâp biếu diễn bề một trong không gian ba chiều 5 5
quan sâ t n h ữ n g gì đê th iết k ế. N ế u c o i n h ữ ng h ìn h ảnh 2 c h iều đ ó lă đối tư ợ n g c h ín h đ ể đân h g iâ ch ấ t lư ợ n g củ a câ c m ô h ìn h thì v iệ c đânh g iâ độ xấp x ỉ c ũ n g c ó th ể dự a trín sự đânh g iâ hai ảnh 2 c h iều đ ó . Đ đ y lă ý tư ở n g c h ín h c ủ a h ư ớ n g n g h iín cứ u năy.
G iả sử hìn h ảnh củ a vật thể M dưới g ó c quan sât ị đư ợc biểu thị bằng m ột ảnh hai ch iều I|^ m ă hệ th ố n g kết xuất ra, ch ú n g ta co i hai vật thế Ml, M2
lă g iố n g nhau n ếu dưới cù n g m ột g ó c quan sât thì hai ảnh I | ệ , V g iố n g hệt
nhau. N ế u g iả th iết I|^, I2^ lă hai m a trận m X m m ă m ồi phần tử của m a trận lă g iâ trị m ău (R ,G ,B ) củ a đ iểm ảnh, khi đó ta c ó thể định ngh ĩa sự kh âc b iệt g iữ a ch ú n g lă:
| |I , - I 2||= - ị - , I S | | ] , (h,v) - I 2( I/,v) | | 2 (2 .2 7 ) m « V
trong đ ó : IỊII(w,v)-I2(w,v)|Ị lă đ ộ dăi h iệu củ a hai v e c tơ R G B : Ii(w ,v) vă Ĩ2(w,v).
T h ự c chất c ó nh iều giải thuật so sânh vă tính k h o ả n g câch g iữ a hai ảnh rất tinh vi v ă phức tạp, tuy nhiín ch ú n g ta c ó thể thấy câ ch năy đơn giản vă khâ phù hợp v ớ i câc thuật toân giảm thiểu đa diện m ă ch ú n g ta sẽ n g h iín cứu ở đđy. N ế u M 2 lă m ột xấp x ỉ tốt của M | thì giâ trị phải rất n h ỏ vă đế xâ c định đứỢc ch ín h x â c ’sự khâc b ỉệ t g iữ â hai m ô hĩnh M i,'M 2‘thì'tâ pKải k ết hợp nhiềù g ó c nhìn \ .
H ư ớ n g tiếp cận năy c ó m ột văi ƯU điểm nhỏ. K hi ch ú n g ta b iết trước đư ợ c s ổ lư ợ n g hữu hạn câ c g ó c nhìn ị sẽ sử dụng, ta c ó thế biết trước đư ợc câc phần thừa, bị c h e khuất trong cả quâ trình, nh ư vậ y c ó thể loại bỏ ra khỏi m ô hình vật thể vă k h ô n g cần tính toân câc phần năy. C h ẳn g hạn khi m ô hình hoâ m ột c h iế c m â y bay, nếu chỉ quan sât từ bín ngoăi thì ch ú n g ta c ó thể loại b ỏ tất că câc chi tiết phức tạp bín trong m ây bay ra khỏi quâ trình tính toân.
Nghiín cứu mội số phirơrig phâp biếu diễn bể mặt trong không gian ba chiều 56
T uy n h iín , c ó nh iều nh ư ợc điểm xuất hiện khi đi th eo câ ch n g h iín cứ u năy. T rước hết lă có rất ít ứng d ụng ch o phĩp chú n g ta biết trước đư ợ c số lư ợ n g câc g ó c nhìn ị , nhất lă trong câc ứ ng đ ụng tư ơ n g tâc v ớ i n gư ờ i sử dụng. H ơn nữa hệ th ố n g cò n phải đợi quâ trình kết xuất ra hình ảnh kết thúc rồi m ới tiến hănh so sânh đ ư ợ c, đ iều năy lăm chậm đ ân g kể thời gian thực hiện.
C.2) D ựa văo độ xấ p x ỉ hình học
Đ đ y lă m ột ph ư ơng phâp ph ổ biến nhiều hơn, được sử dụ ng trong câc thuật toân g iả m thiíu đa diện, nó tiến hănh tính toân độ xấp xỉ đựa trín m ô hình hình h ọ c của hai vật thể.
B ă i toân n ăy đê đ ư ợ c n g h iín cứ u từ lđu tro n g toân h ọ c , c h ú n g ta sẽ trình băy qua ở đ đy đ ế lăm c ơ sở c h o câc tính toân trín c â c m ô hình hình h ọ c v ề sau.
C ó hai d ạn g đo xấp x ỉ sẽ đ ư ợ c trình băy ở đđy, đ ó lă dạng L 2 vă d ạn g Loo. G iả sử ta c ó hăm s ố thực f ( t) v ă m ột hăm xấp x ỉ củ a nó lă g(t) trong m ột k h o ả n g đ ó n g [a, b] năo đó. Ta định n gh ĩa L rođ o bởi giâ trị khâc nhau lớn nhất giữ a hai hăm trong đoạn [a,b]
T ron g khi đ ó L 2 đ o bởi g iâ trị khâc b iệt trung bình giữ a hai hăm tron g đ oạn [a,b] :
Đ ộ đo Lo, đư ợ c x em như chặt hơn, nó đảm bảo đư ợc sự chính x â c giữ a hai hăm vă đặc biệt được d ù ng trong câc ứ n g d ụng c ó đòi hỏi v ề câc g iâ trị biín , tuy nh iín dễ bị nhầm trong nh ữ ng trường hợp có nhiễu. T ron g khi đó L-2
bớt chặt hơn vì nó sử dụ ng g iâ trị sai số trung bình, nó c h o kết quả tốt nếu
CHƯƠNG 2. __ B/ẺU DÍẺN BỈ MẬT TRONG KHÔNG GIAN BA CHÍỈU
I I / - z\\ X = maxị f(t) - g(t)I (2.28)
Nghiín cứu một số phương phâp biếu diễn bề mặt trong không gian bu chiều 5 7
nhìn trín toăn cục của đoạn [a,b], tuy nhiín nếu có sự sai khâc cục bộ thì nó không phât hiện được.
Có thể tính toân độ xấp xỉ (ví khoảng câch) giữa hai mặt hình học dựa trín câc ý tưởng về hăm xấp xỉ ở trín. Chúng ta có định nghĩa sau :
Gọi p(M ) lă tập câc điểm của mặt M, khi đó khoảng câch từ một điểm V tới mặt M được định nghĩa lă giâ trị nhỏ nhất từ V tới câc điểm thuộc p(M )\
d, (M) = min II V - vv II (2.30)
H' e p (M)
Khi đó ta có một định nghĩa về khoảng câch giữa hai mặt rất giổng với Lorlă :
Emax = max( max dv (M2), max dy ( Mị) (2.31)
w e p (Mo » eP (Mị)
Một định nghĩa về độ đo khâc tương tự như L2 lă :
k : ( M : ) * + \ đ ' ; ( M x)ch) (2 .3 2 ) ■ w. + w : n i ,) PtL,
■ ■ • Trong thực tế số lượng điểm trong một' mặt -lă v ờ hạn n í n thực tế -không the tính toân được hai đại lượng theo công thức trín. Tuy nhiín, dường như lă câc mặt trong không gian cùng được mô hình hoâ thông qua một số điểm đặc trưng năo đó, ví dụ câc đính của một mặt được mô hình hoâ bởi câc tam giâc. Khi đó hai công thức trín trở thănh :
£max = max( max d v( X 2), max d v( X , ) (2.33) ve/>(.v,) ^ /,(Arỉl)
v ă I
- r ~ T ■ ( s ( ^2) + Ẹ d : w ) (2.34)
K\ + K 2 veXt
trong đó X| vă x2 lă tập câc điếm đặc trưng.
Nghiín cứu một số phirm g phâp biểu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 58
2.22.2. Ý tưởng vă câc bước của thuật toân
a) Ỷ tưởng
T ừ câ c khải niệm , g iả thiết ban đầu vă để ý đến ph ư ơ ng phâp loại bỏ, đânh g iâ đ ộ xấp xỉ hình h ọ c, băi toân đặt ra lă lăm th ế năo để c ó thể m ô hình h óa b iểu d iễn vật thể vớ i số lư ợ n g b ề m ặt tam g iâ c lă tối th iểu bằn g câ ch loại bỏ câ c cặp đỉnh vă m ặt đê đư ợc gân m ột g iâ trị biểu diễn (được x â c định bằng m ột q u i luật năo đó v í dụ n h ư hăm g iâ ...) c ó g iâ trị nhỏ hơn m ột giâ trị tối thiíu c h o trước. C h ú n g ta có thể hình d ung giải phâp của thuật toân th eo câc bư ớ c sau đ đy :
b) Câc bước cơ bản của thuật toân
Thuật toân Q E M gồ m c ó câ c bước c ơ bản như sau:
B ư ớ c ỉ . Lập ra 1 tập câc cặp đỉnh sẽ bị x em x ĩ t & loại b ỏ th eo m ột điều kiện y í u cầu cụ thể định trước.
B ư ớ c 2. G ân ch o m ỗi cặp m ột giâ trị đ ư ợ c c o i lă giâ củ a nó khi loại bỏ.