b) Xâc định điểm trín mặt phẳng
3.2. Thuật toân biến đổi trín cơ sở phđn hình tam giâc
3.2.1. Ý tưởng cơ bản
Ở giai đoạn xâc định câc điểm đặc trưng chúng ta tạo ra xđy dựng một lưới câc tam giâc cho ảnh gốc vă ảnh đích thoả mên điều kiện:
/"
(3.8)
u T ị = s
< i
T j n T j = 0
Nghiín ciru một số phương phâp biếu diễn bẻ mặt trong không gian ba chiều____________ 8 1
Trong đó : Tj lă diện tích của tam giâc thứ i s lă diện tích của ảnh.
Đ ồng thời 3 đỉnh của tam giâc lă 3 điểm đặc trưng được xâc định trín đối tượng ảnh vă có sự tham chiếu một - một giữa câc điểm năy.
Dựa trín lưới câc đặc trưng vừa xđy dựng được, ứng với mỗi điểm ảnh cần nội suy, hăm biến đổi sẽ xâc định toạ độ của Ĩ1Ó rồi xâc định hai điểm có cùng toạ độ trín ảnh đích vă ảnh gốc. Sau đó gân giâ trị mău của điếm ảnh đích bằng giâ trị mău của điểm gốc tương ứng.
3.2.2. Cơ sở lý thuyết
3.2.2.1. Khâi niệm về toạ độ Barycentrỉc
Với mỗi điểm M (xm, ym) nằm trong tam giâc ABC thì chúng ta đều có thí biíu diễn toạ độ của nó theo toạ độ câc đỉnh của tam giâc như sau:
c xm = u X xa + V X xb + w X xc ym = u x y a + v x y b + w x y c u + v + w = 1 l u,v, vv > 0 (3.9)
Giải hệ phương trình năy ta được một nghiệm duy nhất:
V =
w =
(ya-yc) X (xa-xm)-(xa-xc) X (y.,-ym) (ya-yc) X (xa-xb)-(xa-xc) X (yH-yb)
(y a -y m ) X (xa-xb)-(xa-xm) X (ya-yb)
(ya-yc) X (xa-xb)-(xa-xc) X (ya-yb) > (3.10)
u = 1- V - w J
Chúng ta nói rằng điểm M có toạ độ lă (u, V, w) đối với tam giâc ABC.
Nghiín cicu một số phương phâp biểu diẽn bề mặt trong không gian ba chiểu 82
3.2.2.2. Một số đặc điếm cần chú ý của toạ độ Barycentric ♦ Đổi với mỗi điểm, toạ độ của nó lă duy nhất.
♦ Toạ độ của một điểm phụ thuộc văo tỉ lệ câc khoảng câch từ nó đến câc đỉnh của tam giâc chứ không phải lă khoảng câch tuyệt đối giữa chúng.
♦ Nếu khoảng câch tương đối của điểm cần biểu diễn đến điểm cơ sở nhỏ thì hệ so tương ứng với nó sẽ lớn.
(0 ,1 ,0 )
Hình 3.10. Minh hoạ cho khâi niệm hệ toạ độ Barycentric.
3.2.3. Xđy dựng thuật toân
Đến đđy thuật toân đê hoăn toăn rõ răng. Vậy câc bước phải thực hiện đổi với thuật toân năy lă:
♦ Xđy dựng lưới tam giâc cho ảnh gốc vă ảnh đích
♦ Đối với mồi cặp tam giâc tương ứng với ảnh gốc vă ảnh đích ta nội suy tam giâc ở ảnh gốc thănh tam giâc ở ảnh đích.
M ột vấn đề nảy sinh lă lăm sao có thể tìm được tất cả câc điểm thuộc tam giâc ABC một câch hiệu quả ?
Nghiín cúV một sổ phương phúp biíu diễn hể mặt trưng không gian hư chiểu 83
Có nhiều phương ân để giải quyết vấn đề năy, phần sau đđy sẽ giới thiệu một phương phâp khâ hiệu quả.
3.2.4. Phương phâp xâc định tất cả câc điểm thuộc một tam giâcPhương phâp năy gồm có câc bước như sau: Phương phâp năy gồm có câc bước như sau:
Tìm câc giâ trị Xmax, xmin, ymax, ymin đối với câc đỉnh của tam giâc. For a - y min to ymax do
- Tìm giao điểm của đường thẳng y = a với 3 cạnh của tam giâc.
- Chỉ xĩt câc giao điểm có hoănh độ thuộc [xmin, Xmax] vă sắp xếp câc giao điểm theo chiều tăng dần của hoănh độ.
- Câc điểm nằm trín đường thẳng y = a vă có hoănh độ thuộc đoạn [Xmin, Xmax] lă thuộc tam giâc (với X thể hiện hoănh độ giao điểm).
y = y min
Hình 3.11. Tìm tất cả câc điểm thuộc tam giâc theo dòng quĩt
Nghiín cứu một số phương phâp biểu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 84
3.3. Thuật toân biến đổi trín cơ sở tập câc điểm đặc trưng3.3.1. L ý do đưa ra thuật toân 3.3.1. L ý do đưa ra thuật toân
Xu hướng hiện nay lă tìm ra câc thuật toân biến đổi đỏi hỏi ít tương tâc của người sử dụng vă thời gian chạy nhanh. Để thực hiện điều năy người ta đưa ra thuật toân trín cấu trúc tập câc đặc trưng lă tập câc điểm với 3 lý do sau:
♦ Thứ nhất, điểm lă phần tử cơ bản nhất, lă tế băo của câc thực thể hình học. Vì vậy, câc thực thể đều có thể hiểu lă tập hợp câc điểm.
♦ Thử hai, tập câc điếm có thể dễ dăng thu được từ việc lấy mẫu đối tượng. ♦ Thứ ba, nếu có sự đòi hòi tương tâc của người sử dụng trong việc xâc định câc điím đặc trưng thì điều năy cũng đơn giản không đòi hỏi người sử dụng phải hiếu sđu về thuật toân hay về nắn chỉnh hình.
3.3.2. Ý tưởng cơ bản
Thuật toân có hướng tiếp cận dựa trín cơ sở câc cặp điểm đặc trưng như đê trình băy ở trín. Do vậy, điều quan trọng lă lăm sao có thể biểu diễn được một điểm bất kỳ theo tập câc đặc trưng khi mă lực lượng của tập lớn. Tuy nhiín, thuật toân lợi dụng tính chất phđn vùng của đối tượng ảnh để giảm nhẹ lực lượng hệ cơ sở từ tập câc đặc trưng ban đầu giúp cho việc biểu diễn lă khả thi.
3.3.3. Co’ sở lý thuyết
3.3.3.1. Tính chất phđn vùng của đổi tượng ảnh
Câc đối tượng ảnh cỏ tính chất phđn vùng. Trong một đối tượng cũng lại có sự phđn vùng nhỏ thănh câc vùng con. Câc vùng ảnh được ngăn câch với
Nghiín cúv một số phmmg phâp hiíu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 85
nhau bằng câc đường biín vă câc vùng thường có mức xâm khâ đồng đều. Trong nắn chỉnh hình, hình dạng của đường biín thể hiện tính phức tạp của vùng đó.
Do tính chất phđn vùng của đổi tượng ảnh, quan hệ của m ột điểm phụ thuộc nhiều văo câc điểm biín của vùng ânh mă nó thuộc văo mă ít bị ảnh hưởng bởi câc vùng ảnh khâc. Do đó, trong tập câc điểm đặc trưng của ảnh chúng ta chỉ lọc ra câc điềm ảnh thể hiện hay miíu tả vùng biín năy. Tuy nhiín, hình dạng của đường biín thường phức tạp vă số lượng điểm được lấy mẫu trín một đường biín có thể rất lớn. Nếu chúng ta có thể biểu diễn sự phụ thuộc của một điểm trong theo tất cả câc điểm biín thì chất lượng nắn chỉnh hình sẽ tốt vă không gđy lín sai số lớn khi có sự sai ỉệch của một văi điểm biín, nhưng việc biểu diễn năy lă rất phức tạp vă nhiều khi lă không thể thực hiện được. Vì vậy, chúng ta chỉ chọn ra một sổ điểm biín để xđy dựng hệ cơ sở. Mặt khâc, ton tại câc phương phâp biểu diễn quan hệ của một điểm theo 3 điểm { A f f i n e ) , của một điểm theo 4 điểm tạo thănh tứ giâc lồi (P r o j e c t,
B i l i n e a r I n t e r p o r a t i o n ) . N hư thế, biểu diễn một điểm trong theo 3 hoặc 4 điểm biín lă sự lựa chọn thích hợp vì nếu sổ lượng câc điểm biín nhiều hơn có thể kĩo theo răng buộc như: tính đồng phẳng, miền lồi v.v... dẫn đến sự phức tạp trong tính toân.
3.3.3.2. Một số tính chất của biín ảnh
♦ Tính chất 1: Nếu M lă một điểm trong vă N lă điểm ngoăi thì luôn tồn tại một điểm I thuộc biín để: IM < IN
C h ứ n g m i n h \ Điều năy lă hiển nhiín. Trong trường hợp ngược ỉại thì N lă điểm trong.
Nghiín cứu một số phương phâp biểu diễn bề mặt trong, không gian ba chiều 8 6
♦ Tính chất 2: Gọi {A } lă tập câc điểm biín, {B} lă tập câc điểm ngoăi vă M lă điểm trong. Nếu d = min {MAj| + M Ai2+ M Ai3} với Aj e {A} thì:
d = min { MTii + M T i2+ M Ti3 } với Ti € {A} u {B}
Chứng minh : Giả sử Bị lă một điểm ngoăi vă Bị lă một trong 3 điếm Tj
nói trín, chúng ta sẽ chứng minh điều năy lă vô lý.
Thật vậy, do Bj ỉă điểm ngoăi nín theo tính chất 1 thì luôn tồn tại một điếm Aj£ {A} sao cho: MBj>MAj Do vậy, Bj không thể lă một trong 3 điểm Tị.
3.3.3.3. Lực hút giữa hai vật
Chúng ta đê biết rằng, theo Newton, lực hút giữa hai vật tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng câch giữa chúng.
Điều năy tưởng chừng như không có quan hệ gì tới vấn đề băn ớ đđy. Tuy nhiín, nó gợi ý cho chủng ta rằng : trong một số câc điếm lđn cận của điếm M năo đó thì điểm gần M nhất có thể có ảnh hưởng của nó tới điểm M
lă lớn nhất.
3.3.4. Xđy dựng thuật toân
3.3.4.I. Lý do lựa chọn ba điểm để biểu diễn sự phụ thuộc
N hư đê trình băy ở trín, việc lựa chọn thích hợp lă tìm sự phụ thuộc của một điểm trong theo 3 điểm đến 4 điểm biín. Có bốn lý do để chọn 3 điểm thay vì chọn 4 điểm biín:
♦ Câc điểm dùng để biểu diễn sự phụ thuộc phải tạo thănh một miền lồi nếu muốn đạt chất lượng tốt. Trong trường hợp 3 điểm thì điều năy lă hiển nhiín còn trong trường hợp 4 điểm thì chúng ta cần phải kiểm tra mă việc năy lăm tăng thời gian chạy lín nhiều.
Nghiín cim một số phưimg phâp biíu diễn bỉ mặt trong khủng gian ba chiều 87
♦ Việc kiếm tra xem một điểm có phải lă điểm trong của một miền lồi tạo bởi 3 điểm dề dăng hơn rất nhiều so với việc kiểm tra đối với một miền lồi tạo bởi 4 điím.
♦ Việc biếu diễn sự phụ thuộc của một điểm trong theo 3 điểm của một tam giâc lă dễ dăng hơn rất nhiều so với việc tính toân đối với một tứ giâc lồi.
♦ Chất lượng của hai câch biểu diễn lă khâc nhau không dâng kể. 3.3.4.2. Tiíu chí lựa chọn 3 điểm thích họp
N hư đê trình băy ở trín ba điểm thích hợp sẽ được chọn từ 3 trong sổ câc điểm biín chứa điểm ảnh cần biểu diễn. Tuy nhiín trong trường hợp xđy dựng ứng dụng chúng ta không nín vă không thể đòi hỏi đầu văo đê phải xâc định rõ răng câc vùng. Vì vậy thuật toân phải tự động chọn 3 điếm thích họp nhất trong tập điểm đặc trưng đê cho.
Tiíu chí chọn ba điểm năy như sau:
♦ Điếm cần nội suy phải thuộc văo tam giâc tạo bời ba điểm năy. ♦ Tổng khoảng câch từ điểm cần nội suy đến 3 điểm năy lă nhỏ nhất. Tiíu chí thứ nhất đưa ra nhằm đạt được chất lượng nắn chỉnh hình tốt. Việc hoăn toăn tuđn thủ tiíu chí thứ nhất lă điều cần thiết. Còn tiíu chí thứ hai đưa ra để chọn đúng 3 điím biín của vùng chứa điểm ảnh theo tính chất của biín ảnh đê được trình băy ở phần trín. Hom nữa tiíu chí hai còn đưa ra được 3 điểm sẽ có ảnh hưởng lớn nhất tới điểm cần nội suy.
3.3.4.3. Giảm nhẹ tập câc điểm cần duyệt
Với tiíu chí như trín thì việc duyệt toăn bộ câc điểm đặc trưng lă điều không cần thiết. Chúng ta có thể hạn chế tập câc điểm cần duyệt như câch sau mă vẫn đảm bảo tập năy chứa ba điểm mă chúng ta cần tìm kiếm.
Nghiín cícu một số phương phâp biếu diễn bể mặt trong không gian ba chiểu 88
♦ sẳp xếp tập câc đặc trung theo chiều tăng dần của hoănh độ.
♦ Với một điểm bất kỳ M cần nội suy chúng ta sẽ tìm vị trí của nó trong dêy trín.
♦ Xuất phât từ M chúng ta sẽ tìm về hai phía của dêy cho đến khi tìm được 4 điểm thuộc 4 góc như hình vẽ bín dưới.
♦ Tập câc điểm cần duyệt chửa câc điểm có khoảng câch từ nó tới M nhỏ hom khoảng câch lớn nhất từ 4 điểm trín tới M.
Hình 3.12. Minh hoạ câch tìm 4 điểm
Do tính chất phđn vùng của ảnh việc giảm nhẹ theo phương phâp đạt hiệu quả rất đâng kể.
3.3.4.4. Việc xđy dựng hăm mục tiíu vă phương phâp duyệt
Neu chúng ta duyệt toăn bộ thì số lượng tính toân lă khâ lớn. G iả sử có 100 điếm đặc trưng thì đối với mỗi điểm ảnh cần nội suy chúng ta phải tính m ột khối lượng tính toân như:
Nghiín cứv một so phương phâp biíu diễn hỉ mặt trong không gian ba chiếu 89
♦ Với mỗi cặp 3 điểm cần phải kiểm tra xem điím cần nội suy có thuộc tam giâc tạo bởi 3 điểm năy không, nếu có tính tống khoảng câch.
♦ Chọn ra 3 điểm thích hợp nhất.
Với số lượng tính toân như trín thì việc duyệt toăn bộ lă không thể chấp nhận được. Đe giảm nhẹ việc tính toân chúng ta sẽ mềm dẻo trong việc tuđn thủ tiíu chí thứ hai, thay vì tìm ra 3 điểm có tổng khoảng câch đến điểm cần biếu diễn lă nhỏ nhất chúng ta sẽ tìm ra 3 điểm trong một số điểm có khoảng câch nhỏ nhất thoả mên tiíu chí thứ nhẩt. Điều năy lă có thế chấp nhận được theo những lý do sau:
♦ Việc tìm ra được ba điểm theo tiíu chí thứ hai thì có thể đảm bảo lă ba điểm biín. Nhưng nếu chúng ta cũng tìm được ba điểm theo câch trín thì chúng ta cũng có một xâc suất tìm đúng rẩt lớn.
♦ Khi xâc định sự phụ thuộc của một điểm đối với ba điếm bất kỳ tạo thănh tam giâc chứa nó thì điểm năo căng gần sẽ có ảnh hưởng căng lớn, còn câc điểm ở xa có ảnh hưởng không đâng kể. Việc tìm theo câch trín cũng dễ tìm được những điểm gần nhất.
♦ Trong khi nội suy thì một điểm của ảnh gốc sẽ được ânh xạ sang một điếm tương ứng với nó bín ảnh đích nín ba điểm được chọn thoê mên điều kiện lă biín của điểm cần biểu diễn lă được.
Do tính chất “không rõ” của hăm mục tiíu nín chúng ta không âp dụng câch xđy dựng hăm mục tiíu vă thủ tục duyệt riíng biệt cũng như không thể âp dụng câc câch duyệt truyền thống được. Ở đđy, chúng ta sẽ âp dụng việc xđy dựng hăm mục tiíu vă thủ tục duyệt thănh một như sau:
Nghiín cúV một số phicơĩig phâp hiếu liiễn bể mặt trong không gian ba chiíu 90
Bước ỉ : Tính toân khoảng câch từ điểm nội suy đến câc điím đặc trưng.
Bước 2 : sẳp xếp theo chiều tăng dần của khoảng câch.
Bước 3 : Chọn ra một sổ điểm có khoảng câch đến điểm cần biểu diễn lă nhỏ nhất, tập câc điểm năy tạm gọi lă tập câc ứng cử viín. Lực lượng câc điểm ứng cử viín có thí tuỳ chọn.
Bước 4 : Tìm trong tập ứng cử viín ba điểm thoả mên tiíu chí 1. Nấu tìm thấy thì kết thúc. Nếu không thì bổ sung thím văo tập ứng cử viín một điím nừa vă điểm năy tạm coi lă đê được chấp nhận vă tìm hai điếm trong số câc điểm còn lại.
Bước 5 : Lặp lại bước 4 cho đến khi tìm được 3 điểm thoả măn.
Để ý rằng, nếu chúng ta nội suy được điểm ănh M thì đối với câc điểm lđn cận cũng có thể tìm được trong tập câc ứng viín của M với ba điểm thoả m ên xâc suất rất cao. Vì vậy, chúng ta cũng sẽ tìm trong tập câc ứng cử viín của M trước, nếu không tìm thấy sẽ tiến hănh tìm lại như trín.
3.3.5. Xđy dựng công thức biến đổi
Sau khi câc điếm đặc trưng đê được xâc định, câc mặt (đa giâc) đê được xâc định. Ta tiến hănh nội suy câc cặp đa giâc tương ứng. Nghĩa lă ta tiến hănh thực hiện biến đổi qua câc bước :
ứ n g với mồi đa giâc A |A 2...Am đê xâc định, thực hiện câc công việc sau: Tìm tất cả câc điểm đặc trưng thuộc văo đa giâc đang xĩt Ai A2...Am. Tập câc điếm đặc trưng tìm được gọi lă So= { D i, D2 D ĩ nhiín,
{ A | A 2....,Am } c S().