b) Xâc định điểm trín mặt phẳng
3.1.2.1. Xâc định tập đặc trưng
Tập đặc trưng được xđy dựng lă một khung lưới B-Spline cho cả ảnh gốc vă ảnh đích.
3.1.2.2. Xđy dựng hăm biến đối
. Hăm biến đối được trình băy sau đđy sẽ chỉ ra câch thức xâc định tất cả câc điểm tương ứng với từng điểm ảnh thuộc ảnh A có khung lưới lă M a, ma trận trong ảnh B có khung lưới ỉă Mb.
C ông việc năy được tiến hănh qua hai giai đoạn: quĩt ngang vă quĩt dọc. Do hai giai đoạn năy được thực hiện tương tự nhau nín chúng ta chỉ trình băy đại diện một giai đoạn lă giai đoạn quĩt ngang.
G iả sử khung lưới Ma vă Mb của hai ảnh A vă B như hình vẽ:
Hình 3.4. Khung lưới B-Spline của hai ảnh
Nghiín củĩi một sổ phương phâp biểu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 75
Ớ giai đoạn quĩt ngang chúng ta sẽ chỉ quan tđm đến câc đường B- Spline dọc trín cả hai ảnh vă xếp chồng chúng với nhau. Chủ ý rằng có một sự tham chiíu một- một giữa câc đường B-Spline dọc năy.
Chúng ta sẽ quĩt từng dòng ngang từ trín xuống dưới, với mỗi dòng quĩt ngang chúng ta sẽ xâc định giao của nó với câc đường B-Spline.
Câc bước cần lăm đối với đường quĩt ngang có phương trình y = a được xâc định như sau (xem minh hoạ ở hình 3.5):
Xđy dựng một hệ trục toạ độ hai chiều.
Xđy dựng câc điím, mỗi điểm năy nhận giâ trị hoănh độ giao điím của đường quĩt ngang với câc đường B -Spline của ảnh A lăm hoănh độ vă hoănh độ giao điếm với đường B-Spline tương ứng với nó trín ảnh B lăm tung độ.
Xđy dựng một đường cong đi qua tất cả câc điếm năy.
Đ ường cong năy lă ânh xạ hoănh độ của câc điểm có tung độ lă a của hai ảnh A vă B.
Nghiín círu một số phương phâp biếu diễn bẻ mặt trong không gian ba chiều 76
3.1.2.3. Nhận xĩt kết quả
♦ Đđy lă thuật toân có kết quả khâ chất lượng, tuy nhiín nó cũng chưa thật tốt.
♦ Thời gian chạy tương đối lđu do phải lăm việc với câc đường cong phức tạp lă B-Spline.
♦ Cần nhiều tương tâc của người sử dụng trong việc xđy dựng khung lưới. ♦ Trong nhiều trường họp, mô hình khung lưới không phù hợp.
3.1.3. Kỹ thuật biến đổi trín cơ sở câc vector
Thuật toân năy có ưu điểm giảm nhẹ tương tâc của người sử dụng trong việc xâc định tập câc điểm đặc trưng.
3.1.3.1. Xâc định tập câc đặc trưng
Tập câc đặc trưng được xđy dựng dưới dạng câc vector vă có sự tham chiểu một-một trín ảnh gốc vă ảnh đích.
3.1.3.2. Xđy dựng hăm biến đổi
• Trước hết chúng ta xĩt' trường hợp’tập- câc đặc trưng chỉ eớ một vector; •
a) Chuyển đối với một cặp vector
C húng ta sẽ dùng một cặp vector đế định nghĩa một ânh xạ từ một ảnh đến một ảnh khâc.
Giả sử cặp hai vector tương đương giừa ảnh nguồn vă đích định nghĩa một ânh xạ toạ độ từ toạ độ điểm ảnh đích X đến toạ độ điểm ảnh nguồn X lă p ọ trín ảnh đích vă p Q trín ảnh nguồn.
Nghiín ânt một sổ phương phâp biếu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 77
Khi đó X được tính theo X bằng câch sau:
( X - P ) x ( Q - P ) WQ - P W2 (X - P) X perpendicuỉàiQ - P) II = > (3.6) \ \ Q - P \ X’ = P’ + m x (Q ’ - P ’) + VX perpendiculaiịQ ’ - p ’) \\Q’-P '\\
Trong đó : hăm Perpendicular( ) trả lại vector vuông góc, cùng chiều dăi với vector văo.
G iâ trị u thí hiện chiều đăi của đoạn thẳng vă V lă khoảng câch tới đường thẳng. G iâ trị của u tăng từ 0 đến 1 khi điểm ảnh tiến từ p đến Q vă nhỏ hom 0 hoặc lớn hơn 1 thì sẽ vượt qua vùng giới hạn. Giâ trị của V lă khoảng câch từ điểm ảnh đến đoạn thẳng. Nếu có một cặp vector thì thuật toân biến đổi được cho như sau:
Đầu văo:
ImgSource : Image?
Đầu ra:
ImgDestination :Image; Giải thuật:
For mồi điểm ảnh trín ânh đích
Tìm cặp điểm tương đương (u,v)
Tìm điểm X trín ảnh nguồn cho mỗi (w,v) ImgDestination.X = ImgSource.X \ e ỉ ổ ' \ Ịa l
Destination Image IP'Source Image
Hình 3.6. Cặp đoạn thắng đơn
Nghiín cứu một số phiỉơỉỉg phâp biếu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 78
Hình 3.6 minh hoạ cho thuật toân, câch tìm điểm X khi biết PQ, p Q vă điểm ảnh X.
Sau đđy lă một số kết quả minh hoạ của thuật toân:
H ìn h 3.7. Một ví dụ minh hoạ
Trong đó ảnh phía trín bín trâi lă ảnh gốc, câc ảnh còn lại lă câc ảnh kết quả với đoạn thắng được xâc định tương ứng.
b) Chuyến đỗi với nhiều cặp vector
Biến đổi với nhiều cặp vector sẽ phức tạp hơn so với một cặp vector. T rong thuật toân năy chúng ta sẽ tính toân thím câc giâ trị weight cho sự biến đối của từng vector. Mỗi điểm X sẽ được tính toân cho từng cặp vector.
Độ dịch chuyến Dị = Xj -Xi lă khâc nhau giữa vị trí của điểm ảnh nguồn vă đích. M ột trọng số dựa trín những độ dịch chuyển năy sẽ được tính toân. T rọng số năy sẽ được xâc định bởi khoảng câch từ X đến vector. G iâ trị trọng số năy được thím với X để xâc định điểm X ’ cần lấy trín ảnh nguồn. Trường hợp vector đơn sẽ lă một trường hợp đặc biệt của trường hợp nhiều vector nếu như giâ trị weight không bao giờ lă 0 tại mọi điểm trín ảnh. Giâ trị w eight lă lớn nhất nếu điểm ảnh nằm đủng trín vector vă sẽ lă bĩ nhất nếu nó nằm xa vector nhất. Công thức (3.7) tính giâ trị weight được cho như sau:
Nghiín cứu một số phươììg phâp biếu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 79
w = lengthp
(a+dist) (3.7)
Trong đó:
- Length lă chiều dăi của vector;
- dist lă khoảng câch từ điểm ảnh đến vector;
- a, b, p lă câc hăng số dùng để thay đổi quan hệ giữa câc vector.
Nếu a tiến tới 0 vă dist đúng bằng 0 thì W (weight) tiến tới vô cực. Với mồi giâ trị a đê cho, chúng ta có thể biết rõ điểm ảnh nằm trín vector chúng ta muốn. M ột giâ trị lớn sẽ lăm cho bề cong nhẵn hơn. Giâ trị b xâc định quan hệ giữa câc vector vă khoảng câch của nó như thế năo. Neu b lớn thì điểm ảnh chi bị tâc động bởi một vector có khoảng câch gần nó nhất. Nếu b=0 thì điểm ânh sẽ bị tâc động bởi mọi vector. Giâ trị hay sử dụng của b lă [0.5;2]. Giâ trị của p lă [0; 1 ]. Nếu p = 0 thì tất cả câc weight đều có cùng giâ trị.
Thuật toân được cho như sau: For mồi điểm X trín ảnh đích
DSUM =(0,0) W eightsum =0 For mỗi vector PiQi
Tính u,V dựa trín Pi,Qi Tính X i dựa trín u,v vă Pi Qi Di = Xi -Xi
dist = khoảng câch từ X tới PiQi weight= ((lengthp)/(a+dist))b DSUM =DSƯM + Di*weight
Nghiín ciru một số phirơng phâp biếu diễn bề mật trong không gian ba chiều 80
weightsum = weightsum + weight X = X + DSUM/vveightsum ImgDestination.X = ImgSource.X
Hình 3.8. Nhiều cặp vector
Hình 3.8 lă một minh hoạ cho việc tính toân điếm X trín cơ sở biết X vă câc cặp vector tương ứng.
Sau đđy lă kết quả thử nghiệm thuật toân:
Hình 3.9. Kết quả của thuật toân
3.2. Thuật toân biến đổi trín cơ sở phđn hình tam giâc
3.2.1. Ý tưởng cơ bản
Ở giai đoạn xâc định câc điểm đặc trưng chúng ta tạo ra xđy dựng một lưới câc tam giâc cho ảnh gốc vă ảnh đích thoả mên điều kiện:
/"
(3.8)
u T ị = s
< i
T j n T j = 0
Nghiín ciru một số phương phâp biếu diễn bẻ mặt trong không gian ba chiều____________ 8 1
Trong đó : Tj lă diện tích của tam giâc thứ i s lă diện tích của ảnh.
Đ ồng thời 3 đỉnh của tam giâc lă 3 điểm đặc trưng được xâc định trín đối tượng ảnh vă có sự tham chiếu một - một giữa câc điểm năy.
Dựa trín lưới câc đặc trưng vừa xđy dựng được, ứng với mỗi điểm ảnh cần nội suy, hăm biến đổi sẽ xâc định toạ độ của Ĩ1Ó rồi xâc định hai điểm có cùng toạ độ trín ảnh đích vă ảnh gốc. Sau đó gân giâ trị mău của điếm ảnh đích bằng giâ trị mău của điểm gốc tương ứng.
3.2.2. Cơ sở lý thuyết
3.2.2.1. Khâi niệm về toạ độ Barycentrỉc
Với mỗi điểm M (xm, ym) nằm trong tam giâc ABC thì chúng ta đều có thí biíu diễn toạ độ của nó theo toạ độ câc đỉnh của tam giâc như sau:
c xm = u X xa + V X xb + w X xc ym = u x y a + v x y b + w x y c u + v + w = 1 l u,v, vv > 0 (3.9)
Giải hệ phương trình năy ta được một nghiệm duy nhất:
V =
w =
(ya-yc) X (xa-xm)-(xa-xc) X (y.,-ym) (ya-yc) X (xa-xb)-(xa-xc) X (yH-yb)
(y a -y m ) X (xa-xb)-(xa-xm) X (ya-yb)
(ya-yc) X (xa-xb)-(xa-xc) X (ya-yb) > (3.10)
u = 1- V - w J
Chúng ta nói rằng điểm M có toạ độ lă (u, V, w) đối với tam giâc ABC.
Nghiín cicu một số phương phâp biểu diẽn bề mặt trong không gian ba chiểu 82
3.2.2.2. Một số đặc điếm cần chú ý của toạ độ Barycentric ♦ Đổi với mỗi điểm, toạ độ của nó lă duy nhất.
♦ Toạ độ của một điểm phụ thuộc văo tỉ lệ câc khoảng câch từ nó đến câc đỉnh của tam giâc chứ không phải lă khoảng câch tuyệt đối giữa chúng.
♦ Nếu khoảng câch tương đối của điểm cần biểu diễn đến điểm cơ sở nhỏ thì hệ so tương ứng với nó sẽ lớn.
(0 ,1 ,0 )
Hình 3.10. Minh hoạ cho khâi niệm hệ toạ độ Barycentric.
3.2.3. Xđy dựng thuật toân
Đến đđy thuật toân đê hoăn toăn rõ răng. Vậy câc bước phải thực hiện đổi với thuật toân năy lă:
♦ Xđy dựng lưới tam giâc cho ảnh gốc vă ảnh đích
♦ Đối với mồi cặp tam giâc tương ứng với ảnh gốc vă ảnh đích ta nội suy tam giâc ở ảnh gốc thănh tam giâc ở ảnh đích.
M ột vấn đề nảy sinh lă lăm sao có thể tìm được tất cả câc điểm thuộc tam giâc ABC một câch hiệu quả ?
Nghiín cúV một sổ phương phúp biíu diễn hể mặt trưng không gian hư chiểu 83
Có nhiều phương ân để giải quyết vấn đề năy, phần sau đđy sẽ giới thiệu một phương phâp khâ hiệu quả.
3.2.4. Phương phâp xâc định tất cả câc điểm thuộc một tam giâcPhương phâp năy gồm có câc bước như sau: Phương phâp năy gồm có câc bước như sau:
Tìm câc giâ trị Xmax, xmin, ymax, ymin đối với câc đỉnh của tam giâc. For a - y min to ymax do
- Tìm giao điểm của đường thẳng y = a với 3 cạnh của tam giâc.
- Chỉ xĩt câc giao điểm có hoănh độ thuộc [xmin, Xmax] vă sắp xếp câc giao điểm theo chiều tăng dần của hoănh độ.
- Câc điểm nằm trín đường thẳng y = a vă có hoănh độ thuộc đoạn [Xmin, Xmax] lă thuộc tam giâc (với X thể hiện hoănh độ giao điểm).
y = y min
Hình 3.11. Tìm tất cả câc điểm thuộc tam giâc theo dòng quĩt
Nghiín cứu một số phương phâp biểu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 84
3.3. Thuật toân biến đổi trín cơ sở tập câc điểm đặc trưng3.3.1. L ý do đưa ra thuật toân 3.3.1. L ý do đưa ra thuật toân
Xu hướng hiện nay lă tìm ra câc thuật toân biến đổi đỏi hỏi ít tương tâc của người sử dụng vă thời gian chạy nhanh. Để thực hiện điều năy người ta đưa ra thuật toân trín cấu trúc tập câc đặc trưng lă tập câc điểm với 3 lý do sau:
♦ Thứ nhất, điểm lă phần tử cơ bản nhất, lă tế băo của câc thực thể hình học. Vì vậy, câc thực thể đều có thể hiểu lă tập hợp câc điểm.
♦ Thử hai, tập câc điếm có thể dễ dăng thu được từ việc lấy mẫu đối tượng. ♦ Thứ ba, nếu có sự đòi hòi tương tâc của người sử dụng trong việc xâc định câc điím đặc trưng thì điều năy cũng đơn giản không đòi hỏi người sử dụng phải hiếu sđu về thuật toân hay về nắn chỉnh hình.
3.3.2. Ý tưởng cơ bản
Thuật toân có hướng tiếp cận dựa trín cơ sở câc cặp điểm đặc trưng như đê trình băy ở trín. Do vậy, điều quan trọng lă lăm sao có thể biểu diễn được một điểm bất kỳ theo tập câc đặc trưng khi mă lực lượng của tập lớn. Tuy nhiín, thuật toân lợi dụng tính chất phđn vùng của đối tượng ảnh để giảm nhẹ lực lượng hệ cơ sở từ tập câc đặc trưng ban đầu giúp cho việc biểu diễn lă khả thi.
3.3.3. Co’ sở lý thuyết
3.3.3.1. Tính chất phđn vùng của đổi tượng ảnh
Câc đối tượng ảnh cỏ tính chất phđn vùng. Trong một đối tượng cũng lại có sự phđn vùng nhỏ thănh câc vùng con. Câc vùng ảnh được ngăn câch với
Nghiín cúv một số phmmg phâp hiíu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 85
nhau bằng câc đường biín vă câc vùng thường có mức xâm khâ đồng đều. Trong nắn chỉnh hình, hình dạng của đường biín thể hiện tính phức tạp của vùng đó.
Do tính chất phđn vùng của đổi tượng ảnh, quan hệ của m ột điểm phụ thuộc nhiều văo câc điểm biín của vùng ânh mă nó thuộc văo mă ít bị ảnh hưởng bởi câc vùng ảnh khâc. Do đó, trong tập câc điểm đặc trưng của ảnh chúng ta chỉ lọc ra câc điềm ảnh thể hiện hay miíu tả vùng biín năy. Tuy nhiín, hình dạng của đường biín thường phức tạp vă số lượng điểm được lấy mẫu trín một đường biín có thể rất lớn. Nếu chúng ta có thể biểu diễn sự phụ thuộc của một điểm trong theo tất cả câc điểm biín thì chất lượng nắn chỉnh hình sẽ tốt vă không gđy lín sai số lớn khi có sự sai ỉệch của một văi điểm biín, nhưng việc biểu diễn năy lă rất phức tạp vă nhiều khi lă không thể thực hiện được. Vì vậy, chúng ta chỉ chọn ra một sổ điểm biín để xđy dựng hệ cơ sở. Mặt khâc, ton tại câc phương phâp biểu diễn quan hệ của một điểm theo 3 điểm { A f f i n e ) , của một điểm theo 4 điểm tạo thănh tứ giâc lồi (P r o j e c t,
B i l i n e a r I n t e r p o r a t i o n ) . N hư thế, biểu diễn một điểm trong theo 3 hoặc 4 điểm biín lă sự lựa chọn thích hợp vì nếu sổ lượng câc điểm biín nhiều hơn có thể kĩo theo răng buộc như: tính đồng phẳng, miền lồi v.v... dẫn đến sự phức tạp trong tính toân.
3.3.3.2. Một số tính chất của biín ảnh
♦ Tính chất 1: Nếu M lă một điểm trong vă N lă điểm ngoăi thì luôn tồn tại một điểm I thuộc biín để: IM < IN
C h ứ n g m i n h \ Điều năy lă hiển nhiín. Trong trường hợp ngược ỉại thì N lă điểm trong.
Nghiín cứu một số phương phâp biểu diễn bề mặt trong, không gian ba chiều 8 6
♦ Tính chất 2: Gọi {A } lă tập câc điểm biín, {B} lă tập câc điểm ngoăi vă M lă điểm trong. Nếu d = min {MAj| + M Ai2+ M Ai3} với Aj e {A} thì:
d = min { MTii + M T i2+ M Ti3 } với Ti € {A} u {B}
Chứng minh : Giả sử Bị lă một điểm ngoăi vă Bị lă một trong 3 điếm Tj
nói trín, chúng ta sẽ chứng minh điều năy lă vô lý.
Thật vậy, do Bj ỉă điểm ngoăi nín theo tính chất 1 thì luôn tồn tại một điếm Aj£ {A} sao cho: MBj>MAj Do vậy, Bj không thể lă một trong 3 điểm Tị.
3.3.3.3. Lực hút giữa hai vật
Chúng ta đê biết rằng, theo Newton, lực hút giữa hai vật tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng câch giữa chúng.
Điều năy tưởng chừng như không có quan hệ gì tới vấn đề băn ớ đđy. Tuy nhiín, nó gợi ý cho chủng ta rằng : trong một số câc điếm lđn cận của