K hi lăm v iệ c v ớ i n h iều đa g iâ c h oặc lư ớ i đa g iâ c , ta th ư ờ n g cần phải b iết tớ i p h ư ơ n g trình của m ặt phẳn g chứ a đa g iâ c đó. T ron g m ộ t văi trường hợp, c â c p h ư ơ n g trình năy đ ư ợ c b iết th eo hăm ẩn qua p h ư ơ n g phâp x â c định đa g iâ c . N ế u k h ô n g b iết đư ợ c ph ư ơ n g trình, ta có thể sử d ụ n g to ạ đ ộ của ba đỉnh đ ể x â c đ ịn h m ặt phẳng.
a) Phương trình hăm ẳn
P h ư ơ n g trình m ặt ph ẳn g c ó thể đư ợ c b iểu diễn th eo d ạn g sau :
F (x , y , z ) = A x + B y + C z + D = 0 ( 2 .1 )
T ro n g đ ó (x ,y ,z ) xâ c định m ột đ iểm tuỳ ý trong m ặt ph ẳng, c â c hệ số A , B , c v ă D lă câ c h ằn g số m ô tả đặc điểm k h ô n g gian củ a m ặt phẳng.
Nghiín cứu một sồ phtrơng phâp biíu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 32
Cho ba điểm không thẳng hăng P |, p2, P3, trong mặt phẳng ta có thể xâc định câc giâ trị A, B, c vă D băng câch giải hệ phương trình tuyến tính sau:
A B ( ; 1 1 1
— .V + — V + — 2 — 1 5 ^
n ' n I)
Ket quả được :
A = V ,U : - * , ) + ,M - | -
H = r ,( x : - -V,) + z : i x , - x t ) + r 3( x, - x 2 ) ( '= x \0 ' ; - y>) + -Y: ( ) \ - y t ) + x >0 ’| “ .V;)
D = - x , ( y _ , z ; - y , z : ) - x , ( y , Z ị - y , z , ) - x , ( y , z 2 - y ; i
Mặt phắng của phương trình (2.1) chia không gian ba chiều thănh hai phần riíng biệt, một bín chứa câc điểm có toạ độ (x,y,z) mă F(x,y,z) > 0 vă phần còn lại chứa câc điểm có toạ độ (x,y,z) mă F(x.y,z) < 0.
Để xâc định dấu của một phần mặt phẳng, người ta thường chọn câc điểm đặc biệt (thư ờ ng lă g ố c = (0,0,0) nếu nó không nằm trong m ặ t p h ắ n g )
vă thay thế toạ độ văo F(x,y,z). Chẳng hạn, mặt phẳng 2x-3y+5z+7 = 0 chia không gian 3D thănh hai phần. Phần mặt phẳng chứa điểm gốc tọa độ o (0,0,0) sẽ chứa tất cả câc điểm (x,y,z) có F(x,y,z) > 0
Hướng của mặt phẳng có thể được mô tả bởi phâp tuyến cùa mặt phẳng. Ta tính được bằng tích của câc vector P]P2X P|P3 (hoặc P2P3 X P2P1, V.V..Ạ
Vector phâp tuyến năy có ba thănh phần A, B, c xâc định bởi phương trình (2.3), nếu tích vector năy lă 0, ba điểm năy thẳng hăng vă không xâc định được mặt phẳng. Nếu có thể được, ta dùng đỉnh khâc để thay thế.
(2 .2 )
}(2 3 )
Nghiín cứu một so phương phâp biếu diễn bề mặt trong không gian ba chiểu 33
Cho một tích câc vector khâc 0, ta có thể xâc định D bằng câch thay thế phâp tuyến [A, B, C] vă một trong ba điểm văo phương trình (2.1 ).
Khi đă xâc định được phương trình của mặt phẳng bằng câch sử dụng toạ độ của tất cả câc đ ỉ n h , ta có thể đânh giâ sự không đồng phắng của đa giâc bằng câch tính câc khoảng câch từ mặt phẳng tới mồi đỉnh. Khoảng câch d tới đỉnh có toạ độ (x,y,z) lă :
Ax + By + Cz + D
d = — ---— --- — (2.4)
/ Ả 2 + B7T c 2
Khoảng câch năy có thể dương hoặc đm, tuỳ thuộc văo vị trí của điím đó đối vị trí mặt phang. Neu đinh ở trín mặt phang thì d = 0. Tất nhiín, níu chỉ đí xâc định xem điểm đó nằm ở phía bín năo đối với mặt phẳng, ta chỉ cần xĩt dấu của d, như vậy việc chia cho căn lă không cần thiết vă ta chỉ cần chủ ý đến dấu biểu thức tử số của phương trình (2.4).
Ta cũng thấy rằng, phương trình của mặt phẳng lă không duy nhất; khi nhđn thím với hằng số k sẽ lăm thay đổi phương trình, nhưng không lăm thay đổi mặt phẳng. Tốt nhất lă nín lưu trữ câc hệ số của mặt phẳng với phâp tuyến của nó; chẳng hạn có thể lưu nghịch đảo của độ dăi của vector phâp tuyến.
k = --- --- (2.5)
/ Ê W
Sau đó, khoảng câch được tính dễ dăng từ phương trình (2.4) nếu mẫu số lă 1.
b) Xâc định điểm trín mặt phẳng
Giả thiết rằng mặt phẳng được xâc định bởi ba điểm không thẳng hăng Pị, P2 , vă P3. Một điểm P(x,y,z) nằm trín mặt phẳng, thì vector Pi p phải lă
Nghiín cứu một sổ phương phâp biếu diễn bỉ mặt trong khăng gian ba chiều 34
r (2 .8 )
kết hợp tu yến tính củ a v ecto r v ă P|P3. N ó i m ột câ ch k h âc, tồn tại hai số thực u vă V sao cho:
P| p = w P ,P 2 + v P , P 3 (2 .6 )
như vậ y :
X - Xị = 1l(x: - Jfj) + V’ ( * 3 - Xị) y - y t = u ( y 2 +
z - Zị - u(Zỵ ~ 2, ) + v(z-ì - 2, ) CÓ thể viết lại như sau :
X = ( l - u - v)jf J + ux2 + wr,
y - (1 - M - v)_y, + uy, + yỳ z = { \ - u - v)Zị + uz: + vz-ị
trong đó u v ă V lă hai số thực.
2.1.2. Bề m ăt bđc hai• •
B ề m ặt b ậc hai đ ư ợ c sử d ụ ng trong m ột lớp câc đối tư ợ n g b a o g ồ m bề m ặt hìn h cầu , e llip so id , hình x u y ến , paraboloid, v ă h yp erb oloid .
2.1.2.1. Hình cầu
M ộ t b ề m ặt hình cầu có bân kính r vă tđm ở g ố c đ ư ợ c x â c định lă tập h ọp g ô m câ c đ iế m ( x ,y ,z ) th oả m ên ph ư ơ n g trình:
X2 + y 2 + z 2 = r2 (2.9)
Ta có thể mô tả bề m ặt hình cầu theo dạng tham số, sử dụng góc v ĩ độ (ị) vă góc kinh độ 0 (H ình 2.4) băng hệ phương trình (2.10).
Nghiín círu một số phương phâp biểu diền bể mặt trong không gian ba chiểu 3 5
Hình 2.4 : Tham số (ị) vă 8 sử dụng để biểu diễn hình cầu
X = r cos<ị) COS0 y = r cos<Ị> sinG z = r sinệ -n/2 < (Ị) < n/2 -71 < 8 < n ( 2 .1 0 ) 2.1.2.2. Ellipsoid
Một bề mặt Ellipsoid có tđm ở gốc với ba trục a, b, c (hình 2.5) được mô tả bởi tập hợp câc điểm (x,y,z) thoả mẫn phương trình (2 .1 1):
( 2 .1 1 )
\ ữ j
+ = 1
Biểu diễn dưới dạng tham số của Ellipsoid theo góc vĩ độ (ị) vă góc kinh độ 0 (hình 2.5) qua hệ phương trình (2.12) : X = a.cosộ.cosG y = b.cos<Ị>.sinQ z = c.sinộ -n/2 < ệ < 71/2 - 7 Ĩ < 0 < 7 1 ( 2 .1 2 )
Nghiín cint một số phương phâp biểu diễn bề mặt trong không, giơn ba chiều 3 6
2.1.2.3. Hình xuyến
H ình xu y ến ỉă m ột bề m ặt đ ư ợ c tạo ra bằn g câch quay m ộ t đ ư ờ n g tròn h o ặ c m ột đ ư ờ n g bậc hai quanh m ột trục xâc định. Ph ư ơng trình c ủ a m ộ t hình x u y ế n trong hệ toạ đ ộ Đ ề C âc (D escartes) như sau:
' - • " U - t ỉ
+ = 1 (2.13)
T ron g đó r lă bân kính đ ư ờ n g biín n g o ă i. T rong nh iều ứ n g d ụ n g , hình x u y ế n đư ợ c tạo ra bằng câ ch sử d ụng m ột đ ư ờ n g tròn (a = b) nh ư tron g h ìn h 2 .6
B iể u diễn th eo tham số của hình xu y ến th eo câc g ó c v ĩ độ (ị) v ă g ó c k in h đ ộ 0 nh ư sau : X = a.cos(Ị>.cos0 y = b.cosộ.sinO z = c.sin<t> -K < (Ị) < n -71 < 8 < n C hú ý rằng g ó c v ĩ độ <Ị> đư ợ c m ở rộng từ -71 tới 7t (*. y. z) Mật phẳniỊ xy
Hình 2.6. Một hình xuyến có tđm tại gốc toạ độ.
(2.14)
Nghiín cứu một số phương phâp biếu diễn bể mặt trong không gian ba chiều 37
2.1.2.4. Be mặt tròn xoay
B ề m ặt tròn x o a y đư ợ c tạo ra khi quay tròn m ột đ ư ờ n g c o n g phẳng quanh m ộ t trục c ố định, g iả sử lă trục O z. Đ ư ờ n g c o n g ph ẳng đư ợ c biểu diễn bằng p h ư ơ n g trình tham số C (v) = (x (v ), z (v )), trong đó V b iến đ ổ i trong m ột kh oản g n ăo đó.
Khi ch iếu m ột đ iểm trín đ ư ờ n g c o n g c x u ố n g mặt ph ẳng xO y thì g iâ trị toạ đ ộ đư ợ c biểu diễn th eo tham số u {biểu diễn g ó c q u a y của hình chiếu đổi với g ổc toạ độ). L úc đ ó, m ồ i đ iểm (x (v ), z (v )) th uộc c được quay x u n g quanh m ột trục to ạ đ ộ th eo tham số u. Khi đ iểm (x (v ),0 ,z (v )) đư ợ c quay m ột g ó c u
quanh trục O z s ẽ tạo thănh m ột đư ờn g m ới c ó g iâ trị ( x ( v ) c o s ( h ) , x(v)sin (w ), z (v )). N ế u quay đủ m ột v ò n g quanh trục sẽ tạo thănh bề mặt, g ọ i lă bề m ặt tròn x o a y (H ình 2.7,0).
K hi b iếu d iễn m ặt tròn x o a y , ta chỉ cần b iểu d iễn x ư ơ n g của m ặt tròn x o a y , số phần quay vă câc th u ộc tính của nó.
2.1.3. Bề m ặt cỏ quỉ luật
B e m ặt c ó quy luật đ ư ợ c tạ o ra bằng câch kết n ố i câ c đ iểm tư ơ n g ứng trín hai b ề m ặt c o n g C (u ) vă D(«) bằn g câ c đ ư ờ n g thẳng. Đ ặ c đ iểm ch ín h củ a bề m ặt n ăy lă v ớ i m ột đ iểm bất kỳ P (m,v) trín bề mặt, c ó ít nhất m ột đoạn
Nghiín cứu một số phương phâp biếu diễn bề mặt trong không gian bơ chiểu 38
thăng đi qua vă nằm hoăn toăn trong bề mặt (hình 2.8). Xĩt một đoạn u = Uị,
nối hai điểm Cị vă D| trín đường cong C(w) vă D(w), riíng biệt. Phương trình của đoạn thẳng năy có thể được viết như sau:
P(w,- , v ): Cj + V (Dj - Ci) (2 .1 5 )
Trong đó V ỉă tham số dọc theo đoạn thẳng. Tổng quât hoâ phương trình (2.15) cho một đoạn thẳng bất kỳ sẽ được phương trình tham số cho hề mặt có quy luật:
p(/í.v) = C(m) + V[D(m)- C(m) ] = (1 * v) C(m) + VD(w) (2 .1 6 ) 0<H <1 ,0 < V < 1
Nếu để u lă hằng sổ trong phương trình (2.16) sỉ tạo ra câc đoạn thẳng xâc định trong phương trình (2.15) theo hướng V của bề mặt, còn nếu giữ V lă hằng số ta sẽ thu được đường cong theo hướng u lă kết hợp tuyến tính của hai đường cong cho trước.
Hình 2.8: Biểu diễn theo tham số bề mặt có qui luật
Nghiín âm một sổ phiamg phâp biếu diễn bẻ một trong không gian ba chiều 39
2.1.4. Bề m ăt bđc 3 H erm ite« •
Một mặt bậc ba được giới hạn bời bốn đường cong. Mồi một đường cong giới hạn lă đường cong Hermite.
Be mặt bậc ba tham sổ được xâc định như sau :
P(í/.v) = i i a , i » i vj , 0<M .V < 1 (2.17)
tron g đ ó , u vă V nằm trong k h o ả n g [0 ,1 ]. 3ij lă câc hệ sổ của bề mặt. Đ ặt: u = [ 1 u u2 U3]T vă V = [ 1 VV2V3]T c > 3oo «01 ao2 a<)3 320 321 ^22 ^23 330 ^31 a32 a33 V
phương trình (2.16) có thể viết lại như sau :
P(w, v) = UTẢV (2.18)
Có một mặt bậc ba được giới hạn bởi bốn đường cong. Mồi một đường cong giới hạn lă đường cong Hermite. Những đường cong năy được xâc định một câch chính xâc P(w,0), P(l,w), P(0,v) vă P (l,v). Bổn điểm góc lă P(0,0), P ( ự ) ) ,P ( 0 ,l ) vă P (l,l ) .
Sử dụng câch tiếp cận tương tự như trong đường cong Hermite, ta có thể phât triển thănh công thức hình học của mặt bậc ba Hermite. Xâc định bốn điểm góc bởi Poo , P io, Pio. P|1 vă lấy đạo hăm riíng phần theo u, V .
Nghiín ciru một số phương phâp biếu diễn bề mặt trong không gian ha chiểu 40
_u _V ' _uv _ _vu . _ _ L
băng p , p vă /7 = p ta có
p(u, 0)~ H [/?00 )Pio 5poou.piou ]T
P(u, ỉ ) = H [ p 0] ,P \\ , P o " . P u Y
p (0, v)= H [poo ,Pio » Poò‘.P\ò' ]T
?(ỉ, v)= H [poi ,/>11 ,Po\w.P u ] T
trong đỏ : H = H(w) = [ /íỏ (u) h\ iu) hị (u) hị (u) ]
(2.19)
(2 .2 0 )
Với câc hăm thănh phần được xâc định bởi công thức Hemite mô tả một đoạn đường cong bậc 3 được xâc định bởi răng buộc tại câc điểm đầu mút Po vă p3 với câc vector tiếp tuyến tại cảc điểm đầu mút như sau:
h-ự) = 2t3- 3 t 2 + 1 ; hỉ(t) = -2 ts +3t2 hị (t) = t3- 2 r + 1 ; hị (t) = t3~ í2.
(2.2 0b)
Câc đường cong biín năy cung cấp ỉ 6 vector {điểm) để xâc định ajj. cần thím 4 vector vă chúng được xâc định bởi vector xoắn :
uv d'PiM,v) t _ n !> ::= - tại./Í = 1,V = 0 d u c h ' pru ă i rV tại M = 0,V = 1 uv _ (• p «.v u v — tai H = l,v = l 7 11 ÔHÕI'
Với những gía trị trín, ta đê xâc định được mặt bậc ba Hermite theo câc hệ sô hình học của nó. Đ ặ t: A = oo (X Po, J p vr 00. p v~ 01 p 10 J P.1 , p v* 10. pvL II p u* 00 , P U0, » r 00.puv . r (pUV p ur 10 , p u„ ì r 10.pUY pUV
01 (2 .2 1 )
Nghiín âru một số phiamg phâp biíu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 41
Phương trình tham số của mặt bậc ba Hermite được viết lại như sau: P(w,v) = H(w) A H t (v) ( 2 .2 2 )
Mặt bậc ba Hermite cho phĩp liín tục c 1 vă G1 từ mặt năy tới mặt tiểp theo tương tự như đường cong bậc ba Hermite cho phĩp liín tục c ' vă G1 từ đoạn đường cong năy tới đoạn đường cong khâc.
2.1.5. Bề m ăt Bezier
Mặt bậc ba Bezier được xâc định như sau
3 3
P(M.v) = L £ p ij Bj3(w) Bj3(v) ; 0 < u , V < 1 (2.23) i=0 j=0
Trong đó Pij lă câc điểm điều khiển (tạo nín lưới câc điẻm điều khiín)
vă Bj3 xâc định câc đa thức bậc ba Berstein. Đặt p lă ma trận xâc định của câc điểm điều khiển (2.24) như sau:
Pư, Pa\ Pm Pn (2.24) Ọ10 P\\ ^12 Plì Ị}2ũ Pz\ Pĩĩ Pll I Pmị Pì\ Pi2 P iĩ. vă B(m) = [ (1 - UỸ , 3w(l - u ý , 3m2(1 - ù), u3] thì phương trình (2.2 2) có thể được viết lại như sau :
P(w ,v) = B(«) p BT(v) (2.25)
\ r r
Khi V = Vị lă hăng sô, ta có đường cong bậc ba Bezier theo biín u.
Nếu ký hiệu : Po" '( I - V - ) 3 Pl p 2 = p 3 v ,(l-v, ) 2 3v,3( l- v ,) J }3 . . v,3
Nghiín cứu mội số phmmg phâp biíu diễn bể mặt trong không gian ba chiều 42 thì : Po Pl Pl Pi ( 2 .2 6 ) T ư ơ n g tự, khi u = Ui lă h ằn g số, ta c ó đ ư ờ n g c o n g B e z ie r bậc ba th eo biến y.
C h o bốn đ ư ờ n g c o n g biín , P(w. 0), P(w, / ) , P (0, v), P ( l , v), lă câc đ ư ờ n g c o n g B ez ie r bậc ba, ta cũ n g c ó tư ơ n g tự :
Hình 2.9. Bề mặt Bezier với 16 điềm điều khiển chúng
2.1.6. G hĩp nối câc bề m ặt bậc 3
K hi m uốn tạo ra m ộ t m ặt c o n g phức tạp, ta cần phải gh ĩp nối câc bề m ặt c o n g lại v ớ i nhau sao ch o trơn tru tại câc điếm kết nối. Khi g h ĩ p hai bề m ặt v ớ i nhau, m ỗ i b ề mặt c ó tham số u, Vbiến đổi trong kh oản g [0 ,1 ] n ín tham số củ a hai m ặt đ ư ợ c chỉ ra trong hình 2.11
Hình 2.10. Kĩt nối hai bề mặt cong
Nghiín cứu một số phương phâp biếu diễn bề mật trong không gian ha chiều 43
Hình 2.11. Kết nối hai bề mặt Bezier v ớ i câc điểm điều k h i ể n chung
l ă p 14, P24. P34 v ă P44
Ghĩp nối hai bề mặt Hermite. Đường cong Hermite có liín tục c ' vă G1
từ đoạn đường cong năy tới đoạn đường cong tiếp theo. Như vậy, bề mặt Hermite cho phĩp liín tục c 1 vă G1từ bề mặt năy tới bề mặt tiếp theo. Đầu tiín, liín tụ c c ° tại một cạnh có nghĩa lă hai bề mặt phải được x â c định, câc điểm điều khiển của hai bề mặt phải được xâc định d ọ c theo cạnh. Điều kiện đế c 1 liín tục lă câc điểm điều khiển dọc theo cạnh vă vector tiếp tuyến, vector xoắn qua câc cạnh phải bằng nhau. Để đảm bảo liín tục G1 câc vector tiếp tuyến phải có cùng hướng vă không nhất thiết phải cùng độ lớn.
Khi ghĩp nối hai mặt Bezier với nhau, câc điểm điều khiến dọc cạnh chung phải trùng nhau vă tập câc cặp cạnh tương ứng nối câc điểm điều khiển của hai hề mặt lă thẳng hăng (xem hình 2.1 1).
2.1.7. P h âp tuyến vói m ặt phẳng
Phâp tuyến với bề mặt bậc ba, cần thiết trong việc tô bóng, trong việc nghiín cứu người mây, để tính toân cảc giâ trị điều khiển, được xâc định một câch dễ dăng. Cả hai vector tiếp tuyến :
ôP(w,v) __ _ , ,
vă — - song song với bí mặt tại điím (u, v), vă tích của hai vector năy vuông góc với bề mặt.
Nghiín cứu mội sổ phương phâp biếu diễn bề mặt trong không gian ba chiều 4 4
Chú ý rằng, nếu cả hai vector tiếp tuyến lă không, thì tích của hai vector cũng lă không vă ở điều kiện năy, ta không xâc định được phâp tuyến của bề mặt.
Trong những năm gần đđy, đường cong B-spline vă bề mặt trở nín phổ biến trong câc ứng dụng thiết kế nhờ mây tính (CAD). Để tìm hiểu một câch đầy đủ hơn về đường cong vă bề mặt, có thể tham khảo thím câc công việc của Piegl vă Tiller (1977). Đứng trín khía cạnh lý thuyết, đê có một văi công trình nghiín cứu để tìm ra câc mô hình khâc thay thế mô hình Bezier. Tại AIT, To ( 1992) đê thiết lập mối quan hệ giữa đường cong vă bề mặt Bezier vă Ball. Tương tự, Hansuebsai (1996) đê thiết lập mối quan hệ cho đường cong phđn thức Bezier vă Ball. Tien(1997) đă tổng quât hoâ câc kết quả năy cho bề mặt Bezier vă Ball. Câc công việc tổng quât hoâ khâc cũng đang được quan tđm vă thực hiện.