SỬ DỤNG PHẦN MỀM GSP TRỢ GIÚP DẠY HỌC QUY TẮC, PHƯƠNG PHÁP

k 2 a + 2 b

2.5. SỬ DỤNG PHẦN MỀM GSP TRỢ GIÚP DẠY HỌC QUY TẮC, PHƯƠNG PHÁP

PHÁP

Sử dụng phần mềm GSP để trợ giỳp HS giải bài toỏn xỏc định điểm thỏa món đẳng thức vectơ cho trước. Đõy là một dạng toỏn cú quy tắc, phương phỏp giải và GV sẽ giỳp HS khỏm phỏ ra quy tắc, phương phỏp giải loại toỏn này bằng cỏch tổ chức hoạt động cho HS. GV khụng chỉ đơn giản cung cấp kiến thức cho HS, mà là tổ chức những hoạt động khỏm phỏ cú hướng dẫn cho HS. Trong phương phỏp học tập tớch cực này, HS được cuốn hỳt vào cỏc hoạt động học tập do GV tổ chức và chỉ đạo. Qua đú HS khụng những cú được những kĩ năng mới, nhận thức mới mà cũn vừa nắm được tri thức phương phỏp. Cỏc hoạt động thường tiềm ẩn trong nội dung dạy học. Người GV cần phải khai thỏc được cỏc hoạt động đú cho HS hoạt động. Để HS dễ dàng lĩnh hội được cỏc tri thức người GV cần phải phõn bậc hoạt động theo sự phức tạp của đối tượng, sự phức hợp của hoạt động, theo mức độ vận dụng, theo tớnh chất của hoạt động…

Vớ dụ 17: Cho tam giỏc ABC. Xỏc định vị trớ điểm M sao cho:

2MAuuur+3MBuuur−4MCuuuur ur=0.

• GV sử dụng GSP dựng mụ hỡnh theo cỏc thao tỏc như sau:

- Dựng ∆ ABC. Điểm M tựy ý.

- Tạo nỳt ẩn/hiện điểm M. Tạo nỳt ẩn/hiện cỏc đối tượng điểm C, đoạn thẳng CA, đoạn thẳng CB.

- Dựng điểm tựy ý trờn đường thẳng AB, đặt tờn điểm là I bằng cỏch kớch chuột trỏi vào Label point đặt tờn điểm là I.

- Chọn điểm I, điểm B, và điểm A, vào Measure | Ratio, sửa nhón của tỉ số là k (Kớch chuột trỏi vào Text Tool | Label Measurement sửa thành k). Kộo rờ điểm I thỡ giỏ trị k sẽ thay đổi theo. Tạo nỳt ẩn/hiện giỏ trị k.

- Dựng cỏc vectơ MAuuur

, MBuuur, uuuurMK =2uuurMA; MJuuur=3MBuuur; và

2 3

ML= MA+ MB

uuur uuur uuur

. Tạo nỳt ẩn/hiện MAuuur

và MBuuur, nỳt ẩn/hiện MKuuuur

, nỳt ẩn/ hiện MJuuur

, nỳt ẩn/hiện cỏc đường song song, nỳt ẩn/hiện MLuuur

.

• Tổ chức hoạt động nhằm gợi ý cho học sinh tự tỡm lời giải bài toỏn trờn:

Yờu cầu học sinh làm cỏc bài toỏn sau:

∗ Bài toỏn phụ 1: Cho hai điểm A, B phõn biệt. Tỡm điểm I sao cho:

2IAuur+3IBuur r=0.

3

2 3 0 2 3

2

+ = ⇔ = − ⇔ = −

uur uur r uur uur uur uur

IA IB IA IB IA IB. Đặt 3

2

= −

k .

Bước 2: GV sử dụng mụ hỡnh tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn vị trớ điểm I.

- GV bấm vào nỳt hiện điểm I, hiện giỏ trị của k. Kộo rờ điểm I thỡ giỏ trị k sẽ thay đổi theo

Hỡnh vẽ minh họa giỏ trị k thay đổi khi vị trớ điểm I thay đổi

- HS quan sỏt hỡnh vẽ khi I thay đổi và dự đoỏn khi 3

2

= −

k thỡ vị trớ điểm I như thế nào?

bằng mắt và chỉ ra cú duy nhất một vị trớ của I tại đú 3 2

= −

k . Nếu

khụng cú mụ hỡnh trực quan này thỡ việc HS sẽ rất khú khăn để nhận ra vị trớ của điểm I và việc giải thớch cho HS sẽ mất nhiều thời gian hơn.

Bước 3: Sau khi HS đó dự đoỏn, GV yờu cầu HS giải bài toỏn: Giải: v 3 3 2 2 à ng ợc h ớng   = − ⇔  =  uur uur uur uur IA IB IA IB IA IB ⇔ I thuộc đoạn thẳng AB và 3 2 IA IB = ⇔ I thuộc đoạn thẳng AB và 3 5 IA AB = ∗ Bài toỏn phụ 2: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm bất kỡ. Chứng

minh rằng vectơ 2MAuuur+3MBuuur luụn đi qua một điểm cố định.

Bước 1: GV sử dụng mụ hỡnh tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn:

- Ẩn giỏ trị của k, ẩn điểm I. Hiện điểm M, hiện vectơ MAuuur

và MBuuur, hiện vectơ MKuuuur

, hiện vectơ MJuuur

, hiện cỏc đường song song, hiện vectơ MLuuur

.

- Bước dự đoỏn 1: Di chuyển điểm M tựy ý trờn mặt phẳng, dự đoỏn

gỡ về vectơ MLuuur

? (Nếu HS khụng dự đoỏn được thỡ tạo vết cho đoạn thẳng ML, kớch chuột vào đoạn thẳng ML vào Display/Trace

Segment. Sau đú rờ điểm M tựy ý trờn mặt phẳng, vết của đoạn

thẳng ML cho ta dự đoỏn rừ hơn.)

- Tỏc dụng của việc sử dụng phần mềm GSP là khi ta thay đổi vị trớ của điểm M thỡ dựa vào vết của đoạn thẳng ML, HS quan sỏt hỡnh vẽ

- Bước dự đoỏn 2: Dự đoỏn gỡ về điểm cố định mà vectơ MLuuur

luụn đi

qua? GV yờu cầu HS dự đoỏn vectơ IAuur=?IBuur. (Nếu HS chưa dự đoỏn được thỡ GV thao tỏc: Chọn điểm I, điểm B, và điểm A, vào

Measure | Ratio, tỉ số IA 1.5 IB = − chứng tỏ 3 2 IA= − IB uur uur . Điểm cố định đỳ chớnh là điểm I được xỏc định trong bài toỏn phụ 1. Nếu khụng cú mụ hỡnh trực quan này thỡ việc HS tỡm ra điểm cố định mà vectơ 2MAuuur+3MBuuur sẽ gặp rất nhiều khú khăn và khụng dễ dàng để HS biết điểm cố định đỳ chớnh là điểm I ở bài toỏn phụ 1.)

- Bước dự đoỏn 3: GV yờu cầu HS dự đoỏn vectơ MLuuur=?MIuuur. (Nếu HS chưa dự đoỏn được thỡ GV thao tỏc: Chọn điểm M, điểm I, và

điểm L, vào Measure | Ratio, tỉ số ML 5

( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 5 . MA MB MI IA MI IB MI IA MB IB IA IB MI + = + + + = + + + = + +

uuur uuur uuur uur uuur uur

uuur uur uuur uur

uur uur uuur

+ Gọi I là điểm sao cho 2uurIA+3uur rIB=0. + Suy ra 2MAuuur+3MBuuur=5MIuuur.

Vậy vectơ 2MAuuur+3MBuuur luụn đi qua một điểm I cố định.

Sau hai bài toỏn phụ trờn thỡ việc giải quyết vớ dụ 17 sẽ trở nờn dễ dàng hơn rất nhiều. Do với điểm M bất kỡ ta cú 2MAuuur+3MBuuur=5MIuuur nờn việc xỏc định vị trớ điểm M sao cho: 2MAuuur+3MBuuur−4MCuuuur r=0 tương đương với bài toỏn xỏc định M sao cho 5MIuuur−4MCuuuur r= 0, với I là điểm sao cho

2IAuur+3IBuur r=0.

Từ cỏch giải của bài toỏn phụ 1, ta dễ dàng xỏc định được vị trớ điểm M

. GV yờu cầu HS xỏc định vị trớ điểm M.

  − = ⇔ = ⇔  = =  uuur uuuur

uuur uuuur r uuur 4uuuur và cùng h ớng

5 4 0 4 5 0.8 5 MI MC MI MC MI MC MI MC

Từ hai bài toỏn trờn GV yờu cầu HS đưa ra hướng giải vớ dụ 17?

Gợi ý:

- Xỏc định vị trớ điểm I sao cho 2IAuur+3IBuur r=0.

- Khi đú với điểm M bất kỡ ta cú đẳng thức vectơ nào? ( 2MAuuur+3MBuuur=5MIuuur)

- Xỏc định vị trớ điểm M sao cho 5MIuuur−4MCuuuur r=0.

 Qua vớ dụ trờn húy nờu cỏc bài toỏn tổng quỏt và phương phỏp giải cỏc bài toỏn tổng quỏt đú:

• Bài toỏn tổng quỏt 1: Cho tam giỏc ABC và ba số α, β, γ khụng đồng thời

bằng 0. Xỏc định vị trớ điểm M sao cho: αMAuuur+βMBuuur+γMCuuur ur=0.

• Phương phỏp giải bài toỏn tổng quỏt: Qua hai bài toỏn phụ:

Bài toỏn phụ 1 của bài toỏn tổng quỏt 1:

Bài toỏn phụ 1a: Xỏc định vị trớ điểm I sao cho: αIAuur+βIBuur r=0.

Bài toỏn phụ 1b: Xỏc định vị trớ điểm I sao cho: βIBuur+γICuur r=0.

Bài toỏn phụ 1c: Xỏc định vị trớ điểm I sao cho: γICuur+αuur rIA=0.

Phương phỏp giải bài toỏn phụ 1a:

- Biến đổi về dạng α β β α

IA= − IB⇔ IA=− IB

uur uur uur uur

. Đặt β α

k = −

- Cú 2 trường hợp:

Nếu k = 1 tức là β= −α (hay α + β = 0) thỡ IA IBuur uur= ⇒ ≡A B ⇒ mõu thuẫn với đề bài. Vậy khụng tồn tại điểm I.

+ Nếu k < 0 thỡ điểm I nằm trong đoạn thẳng AB sao cho IA k IB = − .

+ Nếu k > 0 thỡ điểm I nằm ngoài đoạn thẳng AB sao cho IA k IB = .

Cõu hỏi 1: Khi nào thỡ khụng tồn tại điểm I trong cả ba bài toỏn phụ 1a, 1b, 1c?

Gợi ý trả lời cõu hỏi 1: Khi xảy ra đồng thời cả 3 điều kiện:

α β 0 γ (α β) 0 β γ 0 α β γ 0 α (β γ) 0 γ α 0 β (γ α) 0 + = = − + =    + = ⇒ + + = ⇒ = − + =    + =  = − + =  

Mõu thuẫn vỡ ba số α, β, γ khụng đồng thời bằng 0.

Vậy luụn tồn tại điểm I ở một trong ba bài toỏn phụ 1a, 1b, 1c.

∗ Trường hợp tồn tại α + β = 0 thỡ ta cú: ( ) α β γ 0 α α γ 0 α γ 0 α γ 0. + + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ + =

uuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur r

uuur uuur uuuur r uuur uuuur r

MA MB MC MA MB MC

MA MB MC BA MC

• Nếu γ = 0 thỡ khụng tồn tại điểm M trong bài toỏn tổng quỏt 1.

• Nếu γ ≠ 0 thỡ α γ 0 α .

γ

+ = ⇔ =

uuur uuuur r uuuur uuur

BA MC MC AB

Bài toỏn tổng quỏt 1 trở nờn dễ dàng giải quyết. Tương tự cho trường hợp β + γ = 0, hoặc γ + α = 0.

∗Trường hợp α + β ≠ 0: theo bài toỏn phụ 1a, khi đú tồn tại duy nhất điểm I sao cho αuurIA+βIBuur r=0. Với M bất kỡ ta cú:

αMAuuur+βMBuuur= +(α β)MIuuur.

Bài toỏn phụ 2 của bài toỏn tổng quỏt 1:

Cõu hỏi 2: Khi nào thỡ khụng tồn tại điểm M trong bài toỏn phụ 2? Gợi ý trả lời cõu hỏi 2: Khi α β γ 0+ + = .

Phương phỏp giải bài toỏn phụ 2 tương tự như giải bài toỏn phụ 1. Do đú, GV yờu cầu HS tự nờu cỏch xỏc định điểm M.

Từ đú GV yờu cầu HS húy nờu phương phỏp giải bài toỏn tổng quỏt 1.

Nhận xột: Trong trường hợp α β γ 0+ + ≠ . Với điểm O bất kỡ ta cú:

αOAuuur+βOBuuur+γOCuuur= + +(α β γ)OIuur

• Bài toỏn tổng quỏt 2: Bằng phộp quy nạp, ta cú thể chứng minh được kết

quả tổng quỏt: Cho n điểm A A1; ;...;2 A và n số thực n α ;α ;...;α1 2 n sao cho 1 2

α +α + +... αn ≠0. Khi đú tồn tại duy nhất điểm M sao cho:

1 1 2 2

α MAuuuur+α MAuuuur+ +... αnMAuuuur rn =0. (1)

Điểm M gọi là tõm tỉ cự của hệ điểm { A A1; ;...;2 An} ứng với cỏc hệ số {α ;α ;...;α1 2 n} (n ≥ 2).

Từ (1) với điểm O tựy ý ta cú:

( )

1 1 2 2 1 2

α OAuuur+α OAuuuur+ +... αnOAuuuurn = α +α + +... αn OMuuuur.[3, tr.17]

• Bài toỏn tổng quỏt 3: Cho tam giỏc ABC và một điểm M bất kỡ trong tam

giỏc. Đặt SMBC =S Sa, MAC = S Sb, MAB = Sc. Chứng minh rằng:

0.

a b c

S MA S MB S MCuuur+ uuur+ uuur ur= [3, tr.19]

• Phương phỏp giải bài toỏn tổng quỏt 3:

Để giải quyết bài toỏn tổng quỏt 3 ta sẽ sử dụng GSP để trợ giỳp đo đạc. GSP cú những chức năng kiểm tra, tớnh toỏn như tớnh song song, vuụng gúc, thẳng hàng…đo khoảng cỏch, diện tớch, tỷ số hai đoạn thẳng…Với hệ thống cụng cụ này, HS cú thể đo đạc, tớnh toỏn để đưa ra dự đoỏn của mỡnh,

GV hướng dẫn HS giải bài toỏn tổng quỏt 3 theo bốn bước giải bài tập của G.Polya với sự trợ giỳp của phần mềm GSP:

Bước 1: Tỡm hiểu nội dung đề bài

Xỏc định rừ cỏc yếu tố khụng đổi, yếu tố thay đổi, đối tượng chuyển động và đối tượng cố định:

- Cỏc điểm cố định là A, B , C.

- Điểm M là đối tượng gõy ra chuyển động. Khi M chuyển động kộo theo sự chuyển động của cỏc vectơ MA MB MCuuur uuur uuuur; ; và cỏc yếu tố diện tớch Sa, Sb , Sc vỡ thế cũng thay đổi theo. - Yếu tố khụng đổi là điều cần phải chứng minh:

0.

a b c

S MA S MB S MCuuur+ uuur+ uuur ur=

Bước 2: Tỡm cỏch giải

 GV sử dụng GSP tạo mụ hỡnh trợ giỳp giải bài toỏn tổng quỏt 3:

- Dựng ∆ ABC, điểm M bất kỡ nằm trong ∆ ABC.

- Tớnh diện tớch Sa: Dựng phần trong của ∆ MBC, chọn 3 điểm M, B,

C vào Construct/Triangle Interior khi đú xuất hiện phần trong của

∆ MBC được tụ màu. Nếu thớch cú thể đổi màu của phần trong này

bằng cỏch kớch chuột phải chọn Color, để tớnh diện tớch ∆ MBC thỡ chọn Area. Tương tự cho Sb , Sc.

Sa = 14.10 cm2Sc = 12.04 cm2