k 2 a + 2 b
2.4.2. Bài toỏn chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, bài toỏn tỡm quỹ tớch điểm.
tỡm quỹ tớch điểm.
Bài toỏn chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định và bài toỏn tỡm quỹ tớch điểm gắn liền với cỏc yếu tố “động” nờn vốn đó là một loại toỏn khỳ. Nếu chỉ vẽ hỡnh minh họa trờn giấy hoặc bảng thỡ hỡnh vẽ là một hỡnh “chết” và HS khụng thể hỡnh dung được cỏc yếu tố chuyển động do đú thật khú cú thể tỡm ra điểm cố định mà đường thẳng luụn đi qua hoặc tỡm ra quỹ tớch điểm. Mặt khỏc, trước đú HS thường chỉ được học với cỏc hỡnh cố định, trớ tưởng tượng của HS lại chưa cao thỡ khi nhỡn nhận một vấn đề mà hỡnh chuyển động trở thành rất khú khăn. Phõn tớch như thế nào để HS thấy rừ nhất là khi yếu tố này chuyển động kộo theo những yếu tố kia chuyển động, và những tớnh chất của chuyển động. Đú là một điều rất khú khăn. Thờm nữa HS lại khụng nắm vững, khụng thành thạo sử dụng cụng cụ vectơ trong giải toỏn hỡnh học phẳng thỡ việc giải hai bài toỏn này lại càng khú khăn hơn. Nhưng nhờ cỏc hỡnh vẽ “động” và trực quan của phần mềm GSP, HS cú thể quan sỏt, dự đoỏn về điểm cố định cũng như quỹ tớch điểm nờn việc giải quyết hai bài toỏn trờn trở nờn dễ dàng hơn rất nhiều. Hơn nữa với sự trợ giỳp của phần mềm GSP, HS sẽ được tham gia cả vào cụng việc phỏt hiện ra vấn đề và giải
Vớ dụ 10: Cho gúc xOy và hai số dương a, b. A và B là hai điểm chạy
trờn Ox và Oy sao cho a b 1
OA OB+ = . Chứng minh rằng đường thẳng AB luụn đi qua một điểm cố định.[3, tr.28]
Bước 1: GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh theo đề bài và tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn:
• GV sử dụng GSP tạo mụ hỡnh theo cỏc thao tỏc như sau:
- Dựng gúc xOy.
- Trờn Ox lấy một điểm I tựy ý. Đo khoảng cỏch OI bằng cỏch chọn hai điểm O và I vào Measure/Distance. Thay đổi nhón khoảng cỏch là a, ẩn nhón điểm I vào Hide Label. Trờn Oy lấy một điểm J tựy ý. Đo khoảng cỏch OJ. Thay đổi nhón khoảng cỏch là b, ẩn nhón điểm
J.
- Lấy điểm A tựy ý trờn Ox. Đo khoảng cỏch OA. - Vào Measure/Caculate tớnh giỏ trị OB b: 1 a
OA = − ữ . - Vẽ đường trũn tõm O bỏn kớnh OB bằng cỏch chọn điểm O và hộp 1 b a OA
− vào Contruct/Circle by Center + Radius.
- Tỡm giao của đường trũn (O; OB) với tia Oy bằng cỏch kớch chuột vào đường trũn và tia Oy vào Contruct/Intersection. Đặt tờn điểm là B. Ẩn đường trũn (O; OB).
x y OB = b 1- a OA = 7.6 cm b = 4.0 cma = 2.0 cm OA = 4.2 cm B O A
• GV tổ chức cho HS quan sỏt, nhận xột và đưa ra dự đoỏn.
- GV dịch chuyển vị trớ của điểm A trờn tia Ox. Yờu cầu HS quan sỏt sự liờn quan giữa cỏc đối tượng hỡnh học (đối tượng chuyển động, đối tượng cố định) và đưa ra nhận xột về điểm B, dự đoỏn điều gỡ về đường thẳng AB.
- Nếu HS chưa dự đoỏn được điều gỡ về đường thẳng AB thỡ tạo vết cho đường thẳng AB. GV tiếp tục kộo rờ điểm A trờn tia Ox để HS quan sỏt và đưa ra dự đoỏn về đường thẳng AB.
- GV thay đổi vị trớ điểm I và J để hai số a và b thay đổi là hai số dương bất kỡ cho trước. Sau đú dịch chuyển điểm A trờn Ox và yờu cầu HS quan sỏt và nhận xột xem điều gỡ xảy ra. Hóy phỏt biểu thành bài toỏn. x y OB = b 1- a OA = 7.0 cm b = 4.0 cm a = 2.0 cm OA = 4.6 cm B O A x y OB = b 1- a OA = 5.3 cm b = 2.0 cm a = 3.0 cm OA = 4.9 cm B O A
Bước 2: GV hướng dẫn HS tỡm cỏch giải vớ dụ 10
- Show Label hai điểm I và J.
- Yờu cầu HS dự đoỏn về vị trớ điểm cố định K mà đường thẳng AB luụn đi qua và ba điểm O, I, J (HS nhận ra được tứ giỏc OIJK là hỡnh bỡnh hành).
- GV dựng hỡnh bỡnh hành OIJK di chuyển điểm A, yờu cầu HS quan sỏt và cho nhận xột (HS nhận xột với cỏch dựng này K là điểm cố
định mà đường thẳng AB luụn đi qua).
- GV yờu cầu HS tỡm cỏch chứng minh K là điểm cố định mà đường
thẳng AB luụn đi qua. (GV cú thể gợi ý: Hóy biểu thị vectơ OKuuur
theo hai vectơ OAuuur
và OBuuur ). x y OB = b 1- a OA = 5.3 cm b = 2.0 cma = 3.0 cm OA = 4.9 cm B K O A I J Ta cú: OK OI OJ OI OA OJ OB a OA b OB OA OB OA OB = + = + = +
uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur
Vỡ a b 1
OA OB+ = nờn b 1 a
( ) 1 1 . a a OK OA OB OA OA a OK OB OA OB OA a BK BA OA = + − ữ ⇔ − = − ⇔ =
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
Suy ra cỏc điểm A , K, B thẳng hàng. Vậy đường thẳng AB luụn đi qua điểm cố định K.
Bước 3: GV yờu cầu HS trỡnh bày lời giải vớ dụ 10.
Yờu cầu HS xem lại hướng dẫn, sau đú trỡnh bày lời giải ngắn gọn, đầy đủ và logic.
Vớ dụ 11: Cho đoạn thẳng AB = 9 cm. Tỡm tập hợp điểm M sao cho:
2 3.
MA+ MB =
uuur uuur
[16, tr.18]
Bước 1: GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh theo đề bài và tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn:
• GV sử dụng GSP tạo mụ hỡnh theo cỏc thao tỏc như sau:
- Dựng 2 điểm A, B bất kỡ.
- Dựng đoạn thẳng AB, chọn 2 điểm A, B vào Measure/Distance, di chuyển điểm B đến khi khoảng cỏch AB là 9 cm.
- Lấy điểm M bất kỡ, dựng vectơ MAuuur
, MCuuuur= 2MBuuur. - Dựng vectơ tổng MD MAuuuur uuur= +2MBuuur.
AB = 9.0 cm
D
C
A B
M
• GV tổ chức cho HS quan sỏt, nhận xột và đưa ra dự đoỏn.
- GV dựng chuột kộo điểm M di chuyển tựy ý, HS quan sỏt sự liờn quan giữa cỏc đối tượng hỡnh học (đối tượng chuyển động, đối tượng cố định) và nhận xột về vectơ tổng MDuuuur
. - Nếu HS vẫn chưa nhận ra vectơ tổng MDuuuur
luụn đi qua điểm cố định
thỡ kớch chuột chọn đoạn thẳng MD, vào Display/Trace Segment. Kộo điểm M khi đỳ trờn màn hỡnh để lại cỏc vết của cỏc vị trớ của đoạn thẳng MD. Hóy nhận xột về vectơ tổng MDuuuur
.
- Gọi I là giao của hai đoạn thẳng MD và AB. Yờu cầu HS dự đoỏn về hai vectơ MDuuuur
và MIuuur . MD MI = 3.0 AB = 9.0 cm I C A B M
- Chọn M, I , D vào Measure/ Ratio. Rờ điểm M để HS thấy rừ khi M
di chuyển thỡ tỉ số MD
MI luụn bằng 3.
- Vậy ta luụn cú MDuuuur=3MIuuur. Từ đú suy ra tập hợp điểm M.
Bước 2: GV yờu cầu HS trỡnh bày cỏch giải
- Với bài toỏn 2 ở vớ dụ 15, HS đó biết cỏch xỏc định điểm cố định I mà vectơ MDuuuur
luụn đi qua. Do đú, HS dễ dàng trỡnh bày lời giải như sau:
Giải: Gọi I là điểm thỏa món điều kiện uurIA+2IBuur r=0. Suy ra MAuuur+2MBuuur=3MIuuur.
Từ giả thiết suy ra3MIuuur= ⇒3 MIuuur=1. Vậy tập hợp điểm M là đường trũn tõm I bỏn kớnh R = 1. IA IB = -2.0 MD = 3.0 cm MI = 1.0 cm AB = 9.0 cm D C B A I M
Vớ dụ 12: Cho hai điểm A, B và đường trũn (O; R). Với mỗi điểm N trờn đường trũn ta dựng điểm M sao cho uuuurNM =2uuurNA+3NBuuur. Tỡm tập hợp điểm M, khi N thay đổi trờn đường trũn đó cho.[16, tr.19]
• GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh theo đề bài:
- Dựng điểm N bất kỡ trờn (O; R), chọn đường trũn (O; R) vào
Contruct/Point On Circle, đặt tờn điểm là N.
- Dựng vectơ NA NB NCuuur uuur uuur, , =2NA NDuuur uuur, =3NBuuur. Dựng vectơ tổng
2 3
NM = NA+ NB
uuuur uuur uuur
.
- Tạo nỳt điều khiển chuyển động của điểm N.
- Dựng I là giao điểm của AB và OM. Tạo nỳt ẩn/hiện điểm I. Ẩn điểm I.
- Dựng đường thẳng OI, tạo nỳt làm ẩn/hiện đường thẳng OI. Ẩn đường thẳng OI.
- Dựng O’ thỏa món điều kiện OOuuuur' 5= OIuur, chọn đường thẳng OI vào
Construct/Point On Line, đặt tờn điểm là O’. Chọn O, I, O’ vào Measure/Ratio, di chuyển điểm O’ đến vị trớ sao cho OO' 5
OI = . Tạo
nỳt ẩn/hiện điểm O’, tạo nỳt ẩn/hiện tỷ số OO'
OI . Ẩn điểm O’, ẩn tỷ
số OO'
• GV sử dụng mụ hỡnh với cỏc tớnh năng của phần mềm GSP tổ chức cho HS nghiờn cứu bài tập này theo bốn bước giải bài tập của G. Polya:
Bước 1: Tỡm hiểu nội dung đề bài
Xỏc định rừ cỏc đối tượng cố định và đối tượng chuyển động:
- Cỏc điểm cố định là A, B, O.
- Điểm N là yếu tố gõy ra chuyển động, khi điểm N chuyển động kộo theo sự chuyển động của cỏc vectơ :
, , =2 , =3 , .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
NA NB NC NA ND NB NM
Bước 2: Tỡm cỏch giải
Cỏc hoạt động dự đoỏn QT:
- Bước dự đoỏn QT 1: GV dựng chuột kộo rờ vị trớ điểm N trờn
đoỏn quỹ tớch điểm M. Ta cú thể nhận xột ban đầu hỡnh như điểm M di chuyển trờn một đường cong.
- Bước dự đoỏn QT 2: Nếu HS vẫn chưa dự đoỏn được hỡnh (H)
chứa quỹ tớch của điểm M thỡ kớch vào nỳt . Khi đú điểm M chuyển động để lại vết vạch ra một quỹ đạo liền trờn mặt phẳng.
Hỡnh vẽ của bước dự đoỏn 1 Hỡnh vẽ của bước dự đoỏn 2
Sau cỏc bước trờn, chỳng ta đó dự đoỏn xong quỹ tớch điểm M là một đường trũn (C).
Tỡm cỏch chứng minh
- Chỳng ta dự đoỏn quỹ tớch của điểm M là một đường trũn (C). Do đú tõm của (C) là một điểm cố định và bỏn kớnh là một số khụng đổi.
- Để tỡm ra tõm và bỏn kớnh của đường trũn (C), yờu cầu HS tỡm ra cỏc điểm cố định. Nếu HS chưa chỉ ra được tất cả cỏc điểm cố định ta tạo vết cho đoạn thẳng NM vào Display/Trace Segment, kớch tiếp vào nỳt .
- HS chỉ ra được vectơ NMuuuur
luụn đi qua điểm cố định I. Hiện điểm I. Với bài toỏn 2 ở vớ dụ 15, HS dễ dàng xỏc định được vị trớ điểm cố định I phải thỏa món 2IAuur+3IBuur r=0. Và từ giả thiết suy ra
5
NM = NI
uuuur uur
.
- Gọi O’ là tõm của đường trũn (C). Yờu cầu HS dự đoỏn về mối quan hệ giữa cỏc điểm cố định O, I , O’.
- Nếu HS khụng dự đoỏn được mối quan hệ thỡ GV cú thể giỳp HS thử bằng cỏch dịch chuyển điểm N đến vị trớ đặc biệt sao cho NM là tiếp tuyến của (O; R). Lấy O’ bằng mắt sao cho O’ là tõm của đường
trũn vết của điểm M. Đo khoảng cỏch OI, OO’, tớnh tỷ số OO'
OI . HS
OO'OI = 5.0 OI = 5.0 OO' = 11.5 cm OI = 2.3 cm I M D C A O B N O'
- Yờu cầu HS kiểm tra lại dự đoỏn về vị trớ điểm O’: bấm lần lượt vào cỏc nỳt , , . Dựng đường trũn tõm
O’ bỏn kớnh O’M, chọn hai điểm O’ và M vào Construct/Circle By
Center + Point. Sau lệnh này thấy xuất hiện đường trũn tõm O’ bỏn
kớnh O’M trựng khớt với vết của điểm M để lại.
- Yờu cầu HS chứng minh dự đoỏn O’ là tõm của đường trũn (C): Thật vậy, với cỏch dựng trờn thỡ điểm O’ cố định . Mặt khỏc, hai tam
giỏc ION và IO’M đồng dạng (vỡ OO' NM IO' IM
'
4
O M IM
ON = IN = . Từ đú suy ra O’M = 4R. Vậy tập hợp điểm M là
đường trũn tõm O’ bỏn kớnh R’ = 4R.
Bước 3: Trỡnh bày lời giải
- Xõy dựng lời giải bằng cỏch xem kĩ từng bước thực hiện, trỡnh bày lời giải ngắn gọn, đầy đủ logic.
- Xem lại toàn bộ lời giải kết hợp minh họa trực quan bằng hỡnh vẽ chuyển động để nắm toàn bộ lời giải và cỏc yếu tố bản chất trong bài toỏn.
Bước 4: Nghiờn cứu sõu lời giải
• Mở rộng 1: Khi N chạy trờn cung AB thỡ quỹ tớch cũng là một cung
HG.
• Mở rộng 2: Khi N chạy trờn đường thẳng d thỡ quỹ tớch là một
Túm lại tớnh năng động của GSP cho phộp ta trong khoảng thời gian rất ngắn cú thể tạo ra một loạt hỡnh vẽ của một hỡnh hỡnh học nào đú. Kết hợp cỏc thao tỏc dựng hỡnh với việc sử dụng cỏc cụng cụ đo đạc, tớnh toỏn để nghiờn cứu phỏt hiện ra một tớnh chất nào đú và dự đoỏn cho trường hợp tổng quỏt. Tớnh chất được dự đoỏn được khỏi quỏt từ nhiều trường hợp riờng lẻ và được tạo ra một cỏch “động” nờn cỳ độ tin cậy cao. Khụng những vậy GSP cũn giỳp ta kiểm tra lại tớnh đỳng sai của cỏc dự đoỏn đú. Ta khụng thể làm điều đú bằng giấy, bỳt, bảng, phấn… vỡ những phương tiện đú chỉ vẽ được cỏc hỡnh “tĩnh” cứng nhắc, hạn chế việc phỏt hiện ra cỏc tớnh chất tổng quỏt.