Trong mụn Toỏn, việc dạy học khỏi niệm Toỏn học cú vị trớ quan trọng hàng đầu. Việc hỡnh thành một hệ thống khỏi niệm Toỏn học là nền tảng của
hiệu quả cỏc kiến thức đó học, đồng thời cú tỏc dụng gúp phần phỏt triển năng lực trớ tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học.
Theo tỏc giả Nguyễn Bỏ Kim, Vũ Dương Thụy [9, tr.179], việc dạy học khỏi niệm ở trường phổ thụng phải dần dần làm cho HS đạt được cỏc yờu cầu sau:
a. Nắm vững cỏc đặc trưng cho một khỏi niệm.
b. Biết nhận dạng khỏi niệm, tức là biết phỏt hiện xem một đối tượng cho trước cú thuộc phạm vi một khỏi niệm nào đú hay khụng. Đồng thời biết thể hiện khỏi niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi khỏi niệm cho trước.
c. Biết phỏt biểu rừ ràng, chớnh xỏc định nghĩa của một số khỏi niệm. d. Biết vận dụng khỏi niệm trong những tỡnh huống cụ thể trong hoạt
động giải toỏn và ứng dụng vào thực tiễn.
e. Nắm được mối quan hệ của khỏi niệm với cỏc khỏi niệm khỏc trong một hệ thống khỏi niệm.
Người ta thường núi rằng một hỡnh vẽ cú giỏ trị bằng một ngàn từ, đặc biệt là hỡnh vẽ động. Phần mềm GSP sẽ giỳp cho cỏc em tiếp cận và khỏm phỏ cỏc khỏi niệm trong chương Vectơ một cỏch rất sinh động và trực quan qua cỏc mụ hỡnh. Cỏc mụ hỡnh này được vẽ bởi phần mềm GSP sẽ giỳp cỏc em hỡnh dung được cỏc khỏi niệm bằng nhau, cựng hướng, ngược hướng của cỏc vectơ một cỏch rừ ràng. Nú là cơ sở để cỏc em hiểu sõu sắc về khỏi niệm cỏc phộp toỏn trờn cỏc vectơ: phộp cộng vectơ, phộp trừ vectơ, tớch của một vectơ
với một số.
Vớ dụ 1: Khỏi niệm vectơ, hai vectơ cựng phương, cựng hướng, hai
vectơ bằng nhau.
- Đầu tiờn để mở đầu cho khỏi niệm vectơ, GV đưa ra mụ hỡnh mỏy bay chuyển động đến đớch, điều chỉnh hướng giú và động cơ sao cho mỏy bay bay đến đớch.
- Yờu cầu HS đọc vớ dụ (SGKNC – tr.4) từ đú hỡnh thành nờn khỏi niệm vectơ.
- Để tiếp cận khỏi niệm vectơ – khụng ta mụ tả bằng hỡnh vẽ một chất điểm A chuyển động đều với vận tốc khụng đổi, cũn chất điểm B chuyển động chậm dần đều từ B đến D.
HĐ2: Hoạt động hỡnh thành khỏi niệm
Vỡ những lý do sư phạm mà một số khỏi niệm cơ bản: vectơ, hướng của vectơ, quan hệ cựng hướng, ngược hướng trong SGK khụng được đề cập một cỏch tường minh mà chỉ mụ tả dựa vào trực giỏc và kinh nghiệm sống. Nhờ cỏc mụ hỡnh trực quan trờn, GV cú thể cung cấp đầy đủ cho HS những biểu tượng trực quan và những vớ dụ thực tế giỳp HS dễ dàng khắc sõu bản chất của cỏc khỏi niệm trong một thời gian ngắn.
- Khỏi niệm vectơ
- Khỏi niệm vectơ – khụng
- Khỏi niệm hai vectơ cựng phương, cựng hướng
- Hai vectơ bằng nhau
HĐ3: Hoạt động củng cố khỏi niệm
• Hoạt động nhận dạng cỏc khỏi niệm vectơ cựng phương, cựng hướng, ngược hướng, bằng nhau:
- Dựng chuột di chuyển cỏc vectơ ở bờn phải xem vectơ nào cựng phương, cựng hướng, ngược hướng, bằng vectơ ar
. Tương tự cho cỏc vectơ b c d e fr r r r ur; ; ; ; .
- Dựng chuột di chuyển cỏc vectơ để kiểm tra xem cỳ cỏc cặp vectơ nào bằng nhau? cựng hướng? ngược hướng? cú độ dài bằng nhau?
• Hoạt động thể hiện cỏc khỏi niệm vectơ cựng phương, cựng hướng, ngược hướng, bằng nhau:
- Hóy chỉ ra cỏc vectơ khỏc vectơ 0r
, đụi một bằng nhau, cú điểm đầu và điểm cuối lấy trong 6 điểm A, B, C, D, E, F.
- Cú thể viết AG GDuuur uuur= hay khụng? Tại sao?
- Cho vectơ ar
và một điểm O. Hóy dựng vectơ OAuuur
Vớ dụ 2: Khỏi niệm tổng của hai vectơ
Lần đầu tiờn HS được học cỏch tớnh tổng của hai đối tượng khụng phải là cỏc số nhưng lại cú tớnh chất tương tự cỏc số nờn chắc chắn HS sẽ gặp khú khăn. Chỳng ta sẽ giỳp HS hỡnh thành khỏi niệm tổng của hai vectơ bằng con đường quy nạp.
HĐ1: Hoạt động tiếp cận khỏi niệm
- Cho HS quan sỏt hỡnh vẽ SGK (hoặc mụ tả bằng vật cho HS quan sỏt)
- GV đọc hoặc chiếu cõu hỏi ?1 [14, tr.10].
- GV dựng ngụn ngữ của phộp tịnh tiến để dẫn dắt HS đi đến khỏi niệm tổng của hai vectơ (GV khụng định nghĩa chớnh xỏc phộp tịnh
tiến là gỡ, chỉ mụ tả một cỏch nụm na, đời thường) - HS phỏt hiện vấn đề mới: tịnh tiến theo vectơ uuurAC
“bằng” tịnh tiến theo vectơ uuurAB
rồi tịnh tiến theo vectơ BCuuur
- GV: Trong toỏn học, những điều trỡnh bày trờn được núi một cỏch ngắn gọn: Vectơ ACuuur là tổng của hai vectơ ABuuur và BCuuur.
HĐ2: Hoạt động hỡnh thành và phỏt biểu khỏi niệm
b a a b b a tong Reset A tong Reset A' C B C' B' A' A
- Cho hai vectơ ar
và br
, hai điểm A và A' tựy ý.
- Kớch nỳt tong1 (tổng 1), ta thấy từ điểm A, trờn màn hỡnh xuất hiện vectơ uuur rAB a= , rồi từ B xuất hiện vectơ uuur rBC b= , xuất hiện vectơ uuurAC
.
- Kớch nỳt tong2 (tổng 2), ta thấy từ điểm A', trờn màn hỡnh xuất hiện vectơ ' 'uuuuur rA B =a, rồi từ B' xuất hiện vectơ ' 'B Cuuuuur r=b, xuất hiện vectơ
AC
uuur
. Cú nhận xột gỡ về hai vectơ uuurAC
và ' 'uuuuurA C
? (HS chỉ nhận xột khụng cần chứng minh)
- GV dựng chuột di chuyển điểm A' trựng với A để HS thấy rừ
AC
uuur
= ' 'uuuuurA C
. - Hai vectơ uuurAC
và ' 'uuuuurA C
dựng được cú phụ thuộc vào việc chọn điểm A hay A' khụng?
- GV hỡnh thành định nghĩa vectơ tổng của hai vectơ ar và br , kớ hiệu: a br r+ . b b Định nghĩa a + b a a tong Reset C B A
- GV yờu cầu HS phỏt biểu lại khỏi niệm: chỳ ý từ ngữ: “nào đỳ”. - Từ đú, để việc xỏc định vectơ tổng a br r+ một cỏch đơn giản hơn ta
nờn chọn vị trớ điểm A ở đõu? (Nếu HS chưa trả lời được, GV đặt cõu hỏi: Nếu lấy điểm A trựng với điểm đầu của vectơ ar
, thỡ việc xỏc định vectơ tổng a br r+ cú đơn giản hơn khụng?)
- Từ đú cú nhận xột: Ta cú thể lấy điểm A trựng với điểm đầu của vectơ ar
b b Nhận xét a + b a tong Reset C B A
HĐ3: Hoạt động củng cố khỏi niệm
• Hoạt động nhận dạng khỏi niệm vectơ tổng:
Bài 1: Cho hai vectơ ur
và vr
như hỡnh vẽ: Vectơ u vr r+ được vẽ đỳng ở hỡnh nào sau đõy?
• Hoạt động thể hiện khỏi niệm vectơ tổng:
vr ur u vr r+ ur vr (I) (II) u vr r+ ur v r (IV) ur v r (III) u vr r+ u r vr
a. uuur uuurAC CB+ b. CB BAuuur uuur+ c. uuur uuurAB CB+ d. uuur uuurAC BC+ .
Bài 3: Hóy vẽ hỡnh bỡnh hành ABCD với tõm O (O là giao điểm của hai
đường chộo). Hóy viết vectơ uuurAB
dưới dạng tổng của hai vectơ mà cỏc điểm mỳt của chỳng được lấy trong năm điểm A, B, C, D, O.
Vớ dụ 3: Khỏi niệm tớch của một vectơ với một số.
HĐ1: Hoạt động dẫn vào khỏi niệm
Ta đó biết thế nào là tổng của hai vectơ ar
và br
với , a br r
bất kỡ. Trường hợp đặc biệt a br r= , ta được ar
cộng với chớnh nú. Xỏc định độ dài và hướng của vectơ a ar r+ ?
• Yờu cầu HS thực hiện phộp cộng vectơ uuurAB
với chớnh nú. - So sỏnh độ dài, phương và hướng của vectơ uuurAB
với vectơ vừa cú? - Cộng nhiều lần vectơ uuurAB
với nhau thỡ làm như thế nào? - Cộng vectơ uuurAB
với một nửa vectơ uuurAB
thỡ làm như thế nào? a a a a+a Reset B'' B' B O A
• Kộo k, quan sỏt vectơ u kar= r khi thay đổi giỏ trị của k? - Rờ k sang trỏi, phải để thay đổi vectơ ur
, rờ điểm ngọn của vectơ ar
, cú nhận xột gỡ về mối liờn hệ giữa vectơ ar
và vectơ ur
? - Nhấn nỳt Vitri 1, khi đú vectơ ur
- Khi vectơ ar
bằng vectơ 0r, lỳc đú vectơ ur
thế nào? (rờ điểm đầu đến điểm cuối hoặc nhấn nỳt vectơ ar r=0.
- Nhấn nỳt Show kq để kiểm tra cỏc dự đoỏn.
k u a u = ? . a Vitri 2 Vitri 3 Vitri 1 Show kq Reset a=0
- GV hỏi: Khi số thực k là số nguyờn õm, nhận xột gỡ về hướng và độ
lớn của vectơ ur
?
HĐ2: Hoạt động hỡnh thành và phỏt biểu khỏi niệm
-Cho số thực k và vectơ ar , kộo rờ k, nhận xột gỡ về hướng và độ lớn của vectơ kar ? -Cho k →0,k → −1 (ấn nỳt k-->0 k-->-1 ) nhận xột vectơ ka r ? -Cho vectơ ar r=0 (ấn nỳt a=0 ), rờ cho điểm k thay đổi, nhận xột
vectơ kar
1.47 aa a 1.47 Reset a=0 k-->-1 k-->0 k
Từ cỏc nhận xột trờn, húy điền vào chỗ trống (…) trong định nghĩa sau:
Tớch của vectơ ar với số thực k là một …, kớ hiệu là ……, được xỏc định như sau:
1) Nếu k ≥ 0 thỡ vectơ kar…………………với vectơ ar. Nếu k < 0 thỡ vectơ kar…………………với vectơ ar.
2) Độ dài vectơ karbằng……độ dài vectơ ar, tức là …………. Từ định nghĩa ta cú: 1.a ar r= −, 1.ar = −ar (vectơ đối của ar
).
HĐ3: Hoạt động củng cố khỏi niệm
Bài 1: GV yờu cầu HS đưa cỏc vectơ cựng màu về gần nhau, nhận xột gỡ về hướng và độ lớn của cỏc cặp vectơ đú? Húy thay dấu “…” bằng số thớch hợp: br=....... , ar ur=....... , vr dur=....... , rc rx=.......ury.
yx x a b d c v u
Bài 2: Dựa vào hỡnh sau hóy điền một số hoặc một vectơ thớch hợp vào
dấu (…) trong cỏc đẳng thức sau:
1 ....... ........ 2 ....... ( 2) ......... 1 ( 2)....... ......... 2 = = − ữ = − = = − = − ữ
uuuur uuur uuuur
uuuur uuur uuur
uuur uuur MN BC AM NM AC CN BA CA N M A B C
Bài 3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD.
a) Xỏc định điểm E sao cho:
2
AE= BC
uuur uuur
.
b) Xỏc định điểm F sao cho:
1 2 AF = − CA ữ uuur uuur . B A D C 2.3. SỬ DỤNG PHẦN MỀM GSP TRỢ GIÚP DẠY HỌC ĐỊNH LÍ
Việc dạy học cỏc định lớ toỏn học nhằm cung cấp cho HS một hệ thống kiến thức cơ bản của bộ mụn, là cơ hội rất thuận lợi để phỏt triển ở HS khả
Dạy học định lớ toỏn học cú thể thực hiện theo hai con đường: con đường suy diễn và con đường cỳ khừu suy đoỏn. Ta cú thể minh họa hai con đường này bằng sơ đồ sau:
Việc lựa chọn con đường nào khụng phải là tựy tiện mà phụ thuộc nội dung định lớ và điều kiện cụ thể của HS. Ban đầu ở mức độ thấp, dạy học định lớ cho học sinh THPT nờn theo con đường cỳ khừu suy đoỏn. Về sau, ở trỡnh độ cao hơn, cú thể dạy định lớ theo con đường suy diễn.[17, tr.21]
Trong dạy học định lớ, phần mềm GSP cú tỏc dụng chớnh sau:
• Gợi động cơ chứng minh: phần mềm GSP tạo ra những tỡnh huống trong
thực tế và trong Toỏn học nhằm nảy sinh nhu cầu chứng minh.
• Đối với dạy học bằng con đường cỳ khừu suy đoỏn, phần mềm GSP với cỏc tớnh năng di chuyển, dựng hỡnh, tớnh toỏn, biến hỡnh,…cỳ tỏc dụng trợ
giỳp suy đoỏn, trợ giỳp chứng minh định lớ.
• Phần mềm GSP cú tỏc dụng củng cố định lớ: dựng phần mềm GSP tạo ra những tỡnh huống thỏa món, khụng thỏa món định lớ để tổ chức HS hoạt động nhận dạng định lớ, hoạt động ngụn ngữ, trờn cơ sở đú để HS biết thể
Tạo động cơ
Phỏt hiện định lớ Suy luận logic dẫn tới định lớ Chứng minh định lớ Phỏt biểu định lớ Củng cố định lớ Con đường suy diễn Con đường cú khõu suy đoỏn
tượng hỡnh học, tớnh toỏn, tỏch/dớnh cỏc đối tượng hỡnh học với nhau,…cỳ tỏc dụng khỏi quỏt húa, đặc biệt húa và hệ thống húa những định lớ.
Vớ dụ 4: Cỏc tớnh chất của phộp cộng vectơ
Phần mềm GSP giỳp chỳng ta suy đoỏn, kiểm chứng cỏc tớnh chất của phộp cộng vectơ một cỏch nhanh gọn, tiết kiệm thời gian và trực quan.
• Tớnh chất giao hoỏn:
GV: Ta đó biết rằng tổng của hai số cú tớnh chất giao hoỏn. Đối với
tổng hai vectơ, tớnh chất đỳ cỳ đỳng hay khụng? Phần mềm GSP cú tỏc dụng trợ giỳp suy đoỏn, trợ giỳp chứng minh tớnh chất này.
a + b
Tính chất giao hốn của hai vectơ
b + a b b b a a a Chuyendong Reset A B O O'
GV sử dụng mụ hỡnh giỳp HS suy đoỏn, kiểm chứng tớnh chất giao hoỏn bằng hỡnh vẽ
- Vẽ hai vectơ a br r+ và b ar r+ rồi so sỏnh chỳng với nhau (di chuyển vectơ tổng b ar r+ đến vectơ a br r+ thấy trựng khớt).
- Thay đổi ar
và br
bằng cỏch kộo rờ cỏc điểm mỳt A, B để thấy tớnh chất giao hoỏn đỳng cho mọi vectơ ar
và br
.
a + ( b + c ) b + c b + c ( a + b ) + c a + b c c c b b a a reset (a+b)+c sosanh a+(b+c) A
GV sử dụng mụ hỡnh giỳp HS suy đoỏn, kiểm chứng tớnh chất kết hợp bằng hỡnh vẽ
- Vẽ hai vectơ ( )a br r+ +cr và ar+ +( )b cr r rồi so sỏnh chỳng với nhau.
Vớ dụ 5: Cỏc tớnh chất của phộp nhõn vectơ với một số
•Tớnh chất: k la( ) ( )r = kl ar
- Cho vectơ ar
, hai điểm A, B bất kỡ. - GV yờu cầu HS từ A dựng vectơ 2 ;ar
sau đú dựng tiếp −3 2 ;( )ar từ B dựng vectơ 6a− r.
- Nhận xột gỡ về vectơ −3 2a( )r và vectơ 6a− r?
- Để HS thấy được trường hợp tổng quỏt với k, l bất kỡ, GV sử dụng mụ hỡnh từ A dựng vectơ lar
, sau đú dựng tiếp k l a( )r
. Từ B dựng vectơ ( )kl ar
. Hóy so sỏnh hai vectơ vừa dựng?
- Cho l hoặc k lần lượt thay đổi (kộo rờ cỏc nỳt k, l) quan sỏt hai vectơ trờn.
k.l l -5 5 10 k 5.0 3.6 1.3 (kl).a k(la) a l a (kl)a Reset2 Reset1 k(la) B A O 1 •Tớnh chất: (k l a ka la+ ) r= r+ r
- GV yờu cầu HS vẽ một trường hợp cụ thể với k = −5, l = 3.
- Để HS thấy được trường hợp tổng quỏt với k, l bất kỡ, GV sử dụng mụ hỡnh từ A dựng vectơ kar
, sau đú dựng tiếp vectơ lar
, đặt tờn cho vectơ tổng là ka lar+ r. Từ B dựng vectơ (k l a+ )r. Hóy so sỏnh hai vectơ vừa dựng?
- Cho l hoặc k lần lượt thay đổi (kộo rờ cỏc nỳt k, l) quan sỏt hai vectơ
trờn.
-5 5 10l l k k+l la ka+la ka (k+l)a a k+l = 5.0 k = 2.0 l = 3.0 Reset1 ka+la (k+l)a Reset2 B A O 1 •Tớnh chất: k a b(r r+ =) ka kbr+ r
- Yờu cầu HS vẽ trong trường hợp cụ thể k = −2
- Rờ điểm k sang trỏi, phải để thay đổi giỏ trị của k. Nhận xột gỡ về OC a buuur r r= + và OCuuuur'=ka kbr+ r?
- Cú thể suy ra tớnh chất gỡ từ cỏc nhận xột trờn? Húy chứng minh tớnh chất thu được bằng quy tắc ba điểm.