k 2 a + 2 b
2.4.3.Bài toỏn ứng dụng vectơ trong hỡnh học
Vận dụng quy tắc biến đổi vectơ, HS biết cỏch chứng minh một số dạng toỏn hỡnh học bằng ngụn ngữ vectơ: Ba điểm thẳng hàng, cỏc đường thẳng đồng quy, hai điểm trựng nhau…, biết chuyển đổi ngụn ngữ từ bài toỏn hỡnh học sang bài toỏn vectơ.
Vớ dụ 13: Cho tam giỏc ABC với trọng tõm G. Gọi I là trung điểm của
đoạn thẳng AG và K là điểm nằm trờn cạnh AB sao cho 1
5
AK = AB. Đặt
,
CA a CB buuur r uuur r= = . Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng.
• GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh: (file: vdu13.gsp) b a K I G N M A B C
• GV sử dụng mụ hỡnh để tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn, chứng minh:
- Cú nhận xột gỡ về vị trớ của ba điểm C, I, K?
- Nếu HS chưa nhận thấy ba điểm C, I, K thẳng hàng thỡ GV dựng đoạn thẳng CK để HS dễ dự đoỏn hơn.
- Để chứng minh dự đoỏn trờn, húy biểu diễn cỏc vectơ CI CKuur uuur,
theo
ar
và br
. Sau đú so sỏnh chỳng để cú kết luận. - Tỡm cỏc mối liờn hệ giữa: CI CAuur uuur,
và CGuuur
; CG CAuuur uuur,
và CBuuur
. Biểu diễn vectơ CIuur
theo ar và br . ( 4 6 a b CIuur= r r+ ).
- Tương tự tỡm mối liờn hệ giữa: CK CAuuur uuur,
và uuurAK
; uuurAK
và uuurAB
.
- So sỏnh CI CKuur uuur,
suy ra 5 6
CIuur= CKuuur. Suy ra C, I, K thẳng hàng.
Vớ dụ 14: Cho ngũ giỏc ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung
điểm cỏc cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giỏc MPE và NQR cỳ cựng trọng tõm.[1, tr.9] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh: (file: vdu14.gsp)
• GV sử dụng mụ hỡnh để tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn, chứng minh:
- Nhận xột gỡ về trọng tõm của hai tam giỏc MPE và NQR?
- Nếu HS chưa nhận xột được thỡ GV ấn vào cỏc nỳt
- Húy nờu cỏc cỏch để chứng minh hai tam giỏc MPE và NQR cú cựng trọng tõm? (Gọi G là trọng tõm tam giỏc MPE. Hóy chứng minh G cũng là trọng tõm của tam giỏc NQR.)
- Để chứng minh G cũng là trọng tõm của tam giỏc NQR ta cần chứng minh điều gỡ? (Cần chứng minh: GN GQ GRuuur uuur uuur r+ + =0).
- GV yờu cầu HS từ GM GP GEuuuur uuur uuur r+ + =0 biến đổi tương đương đưa về đẳng thức vectơ GN GQ GRuuur uuur uuur r+ + =0.
Ta cú: 1( ) 1( )
2 2
GM GP GEuuuur uuur uuur+ + = GA GBuuur uuur+ + GC GDuuur uuur+ +GEuuur
1 1 1
( ) ( ) ( ) .
2 GC GB 2 GE GD 2 GE GA GN GQ GR
= uuur uuur+ + uuur uuur+ + uuur uuur+ =uuur uuur uuur+ +
- Suy ra trọng tõm hai tam giỏc MPE và NQR trựng nhau.
Vớ dụ 15: Cho tứ giỏc ABCD. Kớ hiệu A1, B1, C1, D1 lần lượt là trọng
tõm cỏc tam giỏc BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng cỏc đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy.[16, tr.28]
• GV sử dụng mụ hỡnh để tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn:
- Cú nhận xột gỡ về bốn đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1?
- GV ấn vào nỳt để HS quan sỏt và dễ dự đoỏn hơn.
- Gọi I là điểm mà tại đú cỏc đường thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 đồng quy. Theo em đú cú phải là điểm đặc biệt nào đú của tứ giỏc mà em đó biết khụng? (HS khú cú thể dự đoỏn được điểm I là trọng tõm tứ
- Sử dụng cụng cụ đo đạc tớnh tỷ số 1
IA
IA . Chọn I, A1, A vào
Measure/Ratio. Tương tự cho cỏc tỷ số
1 1 1
; ;
IB IC ID
IB IC ID . Suy ra
điều gỡ về cỏc cặp vectơ uur uur uur uuur uurIA&IA IB1; &IB IC1; &uuur uurIC ID1; &uuurID1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Từ đú suy ra uurIA= −3uur uurIA IB1; = −3IB ICuuur uur1; = −3uuur uurIC ID1; = −3uuurID1.
- Do A1 là trọng tõm tam giỏc BCD nờn theo Vớ dụ 9 với điểm I ta được điều gỡ? (IB IC IDuur uur uur+ + =3IAuur1).
- Suy ra uur uur uurIB IC ID+ + =3IAuur1 = − ⇒uurIA uur uur uur uur rIA IB IC ID+ + + =0.
- Đẳng thức này chứng tỏ điều gỡ về điểm I? (điểm I là trọng tõm tứ giỏc ABCD).
• GV yờu cầu HS trỡnh bày lời giải: