k 2 a + 2 b
2.4.1.Bài toỏn chứng minh đẳng thức vectơ
Vớ dụ 7: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kỡ A, B, C, D, ta cú:
.
AC BD AD BC+ = +
uuur uuur uuur uuur
[14, tr.12]
Bước 1: GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh theo đề bài và tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn
• GV sử dụng GSP theo cỏc thao tỏc như sau:
- Dựng bốn điểm A, B, C, D tựy ý. - Vẽ vectơ tổng uuuur uuur uuurAC'= AC BD+
C'
A
D
C
B
• GV yờu cầu HS quan sỏt và dự đoỏn xem vectơ uuuurAC'
cũn bằng tổng của hai vectơ (cú điểm đầu và điểm cuối là hai trong 4 điểm A, B, C, D) nào khỏc nữa?
Tỏc dụng của phần mềm GSP là ở chỗ HS qua quan sỏt cú thể tự mỡnh dự đoỏn thấy rằng với bốn điểm A, B, C, D bất kỡ thỡ ta luụn cú
.
AC BD AD BC+ = +
uuur uuur uuur uuur
Nếu khụng cú phần mềm GSP thỡ theo thụng thường chỳng ta sẽ đưa ra ngay bài toỏn, HS sẽ đún nhận bài toỏn một cỏch thụ động, mỏy múc mà khụng hiểu tại sao lại cú bài toỏn này. Với
là người tham gia vào cả việc phỏt hiện ra vấn đề. Điều này rất quan trọng trong việc phỏt triển tư duy cho HS.
Bước 2: GV yờu cầu HS chứng minh dự đoỏn
- GV hỏi: Cú những cỏch nào để chứng minh một đẳng thức vectơ? - HS đưa ra ba cỏch chứng minh một đẳng thức vectơ: biến đổi vế trỏi
về vế phải, biến đổi vế phải về vế trỏi, biến đổi tương đương.
- GV yờu cầu HS biến đổi vế trỏi về vế phải: nhỡn vào kết quả ở vế phải để hướng đớch.
Giải: Dựng quy tắc ba điểm ta cú thể viết uuur uuur uuurAC AD DC= + . Do đú uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC BD AD DC BD AD BD DC+ = + + = + + (tớnh chất giao hoỏn) =uuur uuurAD BC+ (quy tắc ba điểm đối với B, D, C)
Vớ dụ 8: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a. Chứng minh rằng uur uur rIA IB+ =0.
b. Với mọi điểm M ta cú: MA MBuuur uuur+ =2MIuuur.
Bước 1: GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh theo đề bài và tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn.
• GV sử dụng GSP tạo mụ hỡnh theo cỏc thao tỏc như sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Dựng hai điểm A, B tựy ý.
- Chọn đoạn thẳng AB, dựng trung điểm I của đoạn thẳng AB, vào [menu] Construct/Midpoint/Label Point đặt tờn điểm là I.
- Lấy điểm M tựy ý, vẽ vectơ tổng MC MA MBuuuur uuur uuur= + . - Tạo vết cho đoạn thẳng MC.
- GV dịch chuyển điểm M sao cho MCuuuur r=0 yờu cầu HS quan sỏt và dự đoỏn vị trớ của điểm M? Từ đú cú thể kết luận được điều gỡ? - Khi ta dịch chuyển điểm M thỡ vectơ MCuuuur
cũng thay đổi theo. Dịch chuyển M sao cho MCuuuur r=0 khi đú điểm M trựng với C và trựng với trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Hide Midpoint I
I
A M B
- Rờ điểm M tựy ý, vectơ tổng MCuuuur
luụn đi qua điểm cố định nào?
Từ đú so sỏnh vectơ tổng MC MA MBuuuur uuur uuur= + và vectơ MIuuur
? Hide Midpoint I C I A B M
Bước 2: GV yờu cầu HS chứng minh dự đoỏn ở cõu a, và dựng cừu a để chứng minh cõu b.
Do đú: IA IBuur uur r+ =0.
b. Với điểm M bất kỡ , theo quy tắc ba điểm ta cú:
MA MI IA= +
uuur uuur uur
và MB MI IBuuur uuur uur= +
Do đú: MA MB MI IA MI IBuuur uuur uuur uur uuur uur+ = + + +
( ) 2 2 2 0 2 MI IA IB MI MI = + + = + =
uuur uur uur
uuur r uuur
Vậy với mọi điểm M ta cú: MA MBuuur uuur+ =2MIuuur.
Vớ dụ 9: Cho tam giỏc ABC với trọng tõm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kỡ, ta cú: MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3MGuuuur.[14, tr.20]
Bước 1: GV sử dụng GSP để dựng mụ hỡnh theo đề bài và tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn:
• GV sử dụng GSP tạo mụ hỡnh theo cỏc thao tỏc như sau:
- Dựng tam giỏc ABC, M tựy ý trong mặt phẳng. - Dựng vectơ tổng: ME MA MB MCuuur uuur uuur uuuur= + + . - Dựng trung điểm C’, A’ của cỏc cạnh BA, BC. - Dựng cỏc đường trung tuyến AA’, CC’.
- Dựng trọng tõm G = AA’ ∩ CC’. - Tạo vết đoạn thẳng ME.
- Tạo nỳt ẩn/hiện cỏc trung tuyến, nỳt ẩn/hiện điểm G, nỳt ẩn/hiện vectơ MGuuuur
Show vecto MG Show Objects Show Intersection G E D B A C M (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• GV sử dụng mụ hỡnh tổ chức cho HS quan sỏt, dự đoỏn:
- Bước dự đoỏn 1: GV dịch chuyển điểm M sao cho MEuuur r=0 bằng cỏch rờ M đến trựng với E. Yờu cầu HS quan sỏt và dự đoỏn vị trớ của điểm M? Từ đú cú thể kết luận được điều gỡ?
Show vecto MG Show Objects Show Intersection G E D B A C M
- Bước dự đoỏn 2: Nếu HS khụng dự đoỏn được thỡ GV tạo vết cho
đoạn thẳng ME. Rờ M tựy ý, vectơ tổng uuur
ME luụn đi qua điểm cố
Show vecto MG Show Objects Show Intersection G E D B A C M
- GV yờu cầu HS kiểm tra lại dự đoỏn vectơ tổng uuur
MEluụn đi qua
trọng tõm G của tam giỏc ABC.
Show vecto MG Hide Objects Hide Intersection G G A' C' E D B A C M ME MG = 3.00 Show vecto MG Hide Objects Hide Intersection G G A' C' E D B A C M
- Bước dự đoỏn 3: Dự đoỏn gỡ về hai vectơ uuuur
MG và uuur
ME?
- Nếu HS khụng dự đoỏn được thỡ GV tớnh tỷ số ME
MG, chọn 3 điểm
M, G, E vào Measure/Ratio, hiện tỷ số ME =3
MG . Di chuyển điểm M
để thấy tỷ số này khụng thay đổi. Ta cú dự đoỏn: uuurME =3uuuurMG.
MA MG GAuuur uuuur uuur= + , MB MG GBuuur uuuur uuur= + , MC MG GCuuuur uuuur uuur= + . Do đú: ( ) 3 3 0 3 MA MB MC MG GA MG GB MG GC MG GA GB GC MG MG + + = + + + + + = + + + = + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur uuur
uuuur r uuuur
Vậy với mọi điểm M ta cú: MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3MGuuuur.