Với nhiệm vụ nghiên cứu hình dạng, kích thước, vị trí và mối quan hệ giữa các hình trong không gian, Hình học có hai đặc trưng cơ bản:
Thứ nhất: Trong Hình học, lôgic chặt chẽ kết hợp với biểu tượng trực quan sinh động.
"Trí tưởng tượng sinh động cho ta cái nhìn trực tiếp các sự kiện hình học và gợi ý cho tư duy lôgic cách diễn đạt và cách chứng minh các sự kiện đó. Còn tư duy lôgic lại cho trí tưởng tượng sự chính xác và dịnh hướng tới việc xây dựng những bức tranh mới với những mối liên hệ lôgic cần thiết” (Alêchxăngdrôp, Về hình học. Matxcơva, 1980).
Nói cách khác, từ trực quan sinh động, qua trí tưởng tượng không gian rồi đến tư duy hình học đó là con đường hình thành và phát triển Hình học.
Thứ hai: đó là mối liên hệ giữa hình học thuần tuý với hình học thực tế. Hình học thuần tuý lấy hình học thực tế làm xuất phát điểm để trừu tượng hoá và đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của nó trong không gian vật lí. Nói cách khác, đó là con đường từ lôgic đến thực tiễn .
Từ hai đặc trưng cơ bản trên, có thể nhận thấy rằng việc dạy học hình học phải bao hàm ba yếu tố có liên quan chặt chẽ: lôgic, trí tưởng tượng không gian và vận dụng vào thực tiễn. Điều này tạo ra linh hồn của của việc dạy học Hình học, do đó nhiệm vụ của dạy học Hình học ở trường phổ thông là phải phát triển ở học sinh ba phẩm chất tương ứng: trí tưởng tượng không gian, sự hiểu biết về thực tế và tư duy lôgic.
1.3.3.2Các cấp độ tư duy của học sinh trong học Hình học
Trong việc dạy học Hình học, theo Van Hiele (1959), việc tiếp thu của học sinh trải qua 5 cấp độ như sau:
Ở cấp độ thứ nhất, thấp nhất, các hình hình học được xem xét như những "cái toàn thể" chỉ được phân biệt với nhau bởi hình dạng của chúng. Chẳng hạn, nếu chỉ cho một em học sinh lớp 1 những hình thoi, chữ nhật, hình vuông, hình bình hành và gọi tên những hình ấy thì sau một vài lần nhắc lại, em đó có thể phân biệt các hình ấy theo hình dạng của chúng (trong toàn thể, không phân tích), lẽ dĩ nhiên ở cấp độ này chưa thể "nhìn thấy" hình bình hành ở trong hình thoi, hình chữ nhật trong hình vuông.
mang" các tính chất của mình và được nhận biết theo những tính chất ấy. Nhưng ở cấp độ này các tính chất chưa được sắp xếp lôgic, chúng được xác lập chủ yếu bằng con đường thực nghiệm. Bản thân các hình cũng chỉ được mô tả chứ chưa được định nghĩa, do đó chưa thể sắp xếp lôgic trong hệ thống.
Ở cấp độ thứ ba, các tính chất của hình và các hình được sắp xếp lôgic. Một hay vài tính chất được thừa nhận như là những dấu hiệu dùng để định nghĩa hình, còn những tính chất khác được suy ra bằng suy luận lôgic; các hình Hình học được phản ánh trong một mối liên hệ lôgic nhất định được thiết lập bởi các định nghĩa. Tuy nhiên, các mối liên hệ lôgic còn mang tính chất "địa phương", độ liên kết lôgic chưa phức tạp lắm, bên cạnh phương tiện suy luận lôgic thì yếu tố thực nghiệm còn được vận dụng đến như chỗ dựa cho hoạt động tư duy. Cấp độ này thường ứng với lứa tuổi từ 11 đến 14 tuổi.
Ở cấp độ thứ tư, hình Hình học được phản ánh như một thể hiện cụ thể của hệ thống lôgic các khái niệm, phán đoán toán học, các mối liên hệ lôgic mang tính địa phương ở cấp độ thứ ba, được móc nối với nhau thành thể hoàn chỉnh hơn, độ liên kết lôgic phức tạp hơn. Tuy hiên, quan hệ không gian mà Hình học nghiên cứu vẫn gắn với không gian Vật lí mà con người cảm thụ trực tiếp được. Cấp độ này thường ứng với lứa tuổi từ 15 đến 17 tuổi.
Ở cấp độ thứ năm, hình Hình học được phản ánh như một đối tượng hình thức không gắn với một thể hiện cụ thể nào, Hình học được xây dựng như một hệ suy diễn trừu tượng.
Van Hiele còn khẳng định: Việc ghi nhớ của học sinh không đặc trưng cho một cấp độ nào cả; học sinh phải tiến từ cấp độ này sang cấp độ sau, không thể nhảy cóc; các cấp độ mang tính rời rạc toàn cục, học sinh phải ở một cấp độ nhất định; học sinh đang ở cấp độ này không thể hiểu hoặc hành động ở cấp độ cao hơn; sự phát triển tư duy của học sinh từ cấp độ này lên cấp độ khác cao hơn phải thông qua học tập. Nhìn chung, học sinh ở Trung học tiếp thu Hình học từ cấp độ 1 đến cấp độ 5.
1.3.3.3 Cách thể hiện của hoạt động khám phá
Từ nghiên cứu của Lê Võ Bình [1], Bùi Văn Nghị [14], Đào Tam - Trần Trung [24], Đào Tam - Lê Hiển Dương[23],... chúng tôi cho rằng các thể hiện của hoạt động khám phá trong học Hình học của học sinh bao gồm:
- Phát hiện những thuộc tính đặc trưng của khái niệm từ đó đề xuất và định nghĩa khái niệm trên cơ sở những hình ảnh trực quan, hình biểu diễn, những biểu tượng hoặc ngôn ngữ thể hiện, ...Đây là kết quả có được trong hoạt động dạy học khái niệm khi giáo viên không đưa ra định nghĩa khái niệm ngay từ đầu, mà qua việc giới thiệu những đối tượng thoả mãn điều kiện của khái niệm (có thể đưa thêm một vài đối tượng không thoả mãn đầy đủ các điều kiện của khái niệm). Trên cơ sở cho học sinh quan sát, phân tích nhằm phát hiện những thuộc tính đặc trưng của các đối tượng đang xét để tự phát biểu được một định nghĩa về khái niệm.
- Phát hiện, tìm kiếm, đề xuất được những định nghĩa khác tương đương với định nghĩa đã có về một khái niệm và có khả năng lựa chọn dạng định nghĩa thích hợp nhất với mục đích giải của bài toán liên quan đến một khái niệm.
- Phát hiện, đề xuất những giả thuyết, dự đoán các tính chất, đặc điểm của các sự kiện và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học thông qua các hoạt động (quan sát, ước lượng, đo đạc, so sánh, ...) trên các mô hình hình học và sử dụng các phương pháp tương tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá. Khi dạy các định lí, GV không cung cấp ngay nội dung định lí mà tổ chức cho học sinh thông qua các hoạt động trí tuệ như: quan sát, ước lượng, đo đạc, so sánh, ... trên các hình vẽ hay mô hình hình học, để từ đó đưa ra các dự đoán về các sự kiện hay các mối liên hệ, tính chất mà mục đích của bài học nhắm tới.
- Làm bộc lộ hoặc nảy sinh các mối liên hệ lôgic bên trong giữa các đối tượng của bài toán bằng cách đa dạng hoá các phương thức diễn đạt bài toán và lựa chọn phương thức hợp lí.
- Biến đổi bài toán đã cho theo hướng làm cho giả thiết và kết luận trở nên gần gũi hơn trong quá trình giải toán bằng cách phân tích có định hướng thông qua tổng hợp.
- Giải quyết nhiệm vụ đặt ra của bài toán bằng cách huy động và biết lựa chọn được những kiến thức liên quan.
- Phát hiện những tri thức toán học ẩn dấu trong các tình huống, các sự kiện, các bài toán mang tính thực tiễn và vận dụng chúng để giải quyết vấn đề đặt ra. Việc vận dụng giải quyết các vấn đề thực tiễn là tăng cường khả năng sáng tạo cho học sinh, dẫn tới hình thành phẩm chất luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp toán học để giải thích, phê phán và giải quyết những yêu cầu đặt ra trong cuộc sống, đây cũng là mục tiêu quan trọng của giáo dục phổ thông. Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải khai thác một cách hợp lí các bài toán có nội dung thực tiễn để học sinh trên cơ sở nắm vững những kiến thức cơ bản thuộc chương trình giáo dục phổ thông, những kinh nghiệm hiểu biết để vận dụng nhằm giải quyết một cách có hiệu quả các yêu cầu đặt ra.
1.4 Ứng dụng công nghệ thông tin hỗ trợ tổ chức hoạt động khám phá trong dạy học hình học ở trường Trung học phổ thông