8. Nội dung đƣa ra bảo vệ
2.4.2. Thiết kế HLĐT cho mục đích rèn luyện kỹ năng giải tốn cơ bản
2.4.2.1. Xác định nội dung của HLĐT
Với mục tiêu nhằm giúp cho HS rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập dạng cơ bản qua đĩ khắc sâu kiến thức, hệ thống các bài tập thuộc phần này chúng tơi xây dựng trên cơ sở vận dụng lý luận về DH phân hĩa. Các dạng bài tập này đƣợc sử dụng trong ơn tập rèn kỹ năng giải tốn sau mỗi bài học, mỗi phần và cuối chƣơng, cụ thể:
- Hệ thống bài tập dành cho HS yếu kém: Đây là các bài tập hết sức đơn giản, chỉ cần HS hiểu đƣợc khái niệm, biết cơng thức để vận dụng.
- Hệ thống bài tập dành cho HS cĩ nhận thức trung bình, trung bình khá: Các bài tập ở nhĩm này khơng đơn thuần chỉ là sự vận dụng cơ học những kiến thức đã học mà HS phải hiểu thực sự một số vấn đề và biết vận dụng chúng vào giải bài tập.
- Hệ thống bài tập dành cho HS khá giỏi: Đây là các bài tập ở mức độ cao hơn so với các bài trên và phù hợp cho đối tƣợng HS khá và giỏi, để làm bài tập này tốt địi hỏi HS phải vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt. Nhằm phát triển các khả năng phân tích, tƣ duy, tính tốn, …
Các bài tập này thƣờng kèm theo lời giải chi tiết và dự kiến các HĐ để hỗ trợ HS khi giải quyết các bài tập.
Ví dụ 2.4. Một số bài tập trong hệ thống bài tập về “PT mặt phẳng” đƣợc chúng tơi thể hiện tƣ tƣởng phân hĩa nhƣ sau:
* Hệ thống bài tập dành cho HS yếu kém
Các bài tập trong phần này gồm các bài tập về viết PT mặt phẳng tổng quát, xét vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng, tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, … ở mức đơn giản nhất. HS chỉ cần nhớ các cơng thức PT mặt phẳng đi qua một điểm, các điều kiện về vị trí tƣơng đối, cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là cĩ thể giải quyết bài tập.
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Bài tập 1: Trong khơng gian Oxyz, viết PT tổng quát của mặt phẳng ( ) trong các trƣờng hợp sau:
a) ( ) đi qua M (3; 2; -5 ) và nhận véctơ n(2; 3;1)
làm VTPT.
b) ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A 3; 5; 4 , B 1 ; 3; 2
c) ( )chứa 3 điểm ba điểm A(1;2;-1), B(2;3;1), C(-1;0;2).
Phân tích ý đồ sư phạm:
a) Để giải quyết bài tập này, HS chỉ cần nhớ dạng PT tổng quát của PT mặt phẳng khi biết VTPT và 1 điểm thuộc mặt phẳng là:
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0.
Tiếp theo HS sẽ phải thay tọa độ điểm M (3; 2; -5 ) và tọa độ của VTPT
n(2; 3;1)
vào PT và rút gọn:
Kết quả HS thu đƣợc PT cần xác định là: 2x 3y z 5 0
b) Giải quyết bài tập này HS cần sử dụng các kiến thức sau:
- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và nhận véctơ AB
làm VTPT, sau đĩ HS lần lƣợt đi tìm: - Tọa độ trung điểm của AB là M (2; 1;1)
- VTPT là véctơ AB ( 2;8; 6)
Kết quả HS thu đƣợc là: x 4y 3z 9 0
c) Đối với bài tập này cần gợi ý cho HS các kiến thức theo từng mức độ sau: - Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C, khi đĩ HS chọn một trong ba điểm trên để sử dụng thay vào phƣơng trình mặt phẳng.
- HS phải hiểu khái niệm về cặp VTCP của mặt phẳng, khi đĩ HS đi tìm nĩ chẳng hạn là các véctơ AB, AC
- Ứng dụng tích cĩ hƣớng để tìm VTPT: n AB, AC ( 7;7;0)
Khi đĩ HS chỉ cần thay vào cơng thức là đƣợc kết quả
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Bài tập 2: Trong khơng gian Oxyz, viết PT tổng quát của mặt( )chứa 3 điểm ba điểm A(2;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;5).
Phân tích ý đồ sư phạm:Bài tập cĩ hai cách giải quyết
Cách 1: Làm tƣơng tự ý c của bài 1(cách này HS thƣờng lựa chọn). Cách 2: HS chỉ cần áp dụng PT mặt phẳng theo đoạn chắn x y z 1
a b c cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lƣợt tại các điểm A(a;0;0), B(b;0;0); C(c;0;0).
Khi đĩ HS thay trực tiếp và rút gọn đƣợc kết quả: x y z
1 15x 10y 6z 30 0 2 3 5
Bài tập 3: Trong khơng gian Oxyz, Viết PT mặt phẳng ( ) đi qua M 1; 2;3 và song song với mặt phẳng ( ) 3x 2y 4z 1 0 .
Phân tích ý đồ sư phạm: Đây vẫn là bài tồn viết PT mặt phẳng nhƣng nhằm mục đích giúp HS rèn luyện cách vân dụng kiến thức về vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng
- Hai mặt phẳng mà song song với nhau sẽ cĩ cùng VTPT. Suy ra mặt phẳng ( ) cĩ VTPT là n (3;2; 4)
- Thay vào phƣơng trình A(x x ) B(y y ) C(z z )0 0 0 0 sau đĩ rút gọn thu đƣợc PT mặt phẳng cần tìm là: 3x 2y 4z 13 0
Bài tập 4: Trong khơng gian Oxyz, viết PT mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm P(1;-1;1) , Q(2;1;5) và vuơng gĩc với mặt phẳng ( ) x 2y 3z 11 0.
Hướng dẫn
Do ( ) đi qua hai điểm P, Q và vuơng gĩc với mặt phẳng ( ) nên nĩ song song với giá của các véctơ n
và PQ . Hay nĩi cách khác ( )cĩ cặp VTCP là n và PQ . Từ đĩ suy ra VTPT của ( )là n n ,PQ .
Thay vào phƣơng trình A(x x )0 B(y y )0 C(z z )0 0, rút gọn thu đƣợc kết quả PT mặt phẳng ( )là: 14x y 4z 9 0
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Bài tập 5: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M(2;-1;3) và
mặt phẳng ( ) x 2y 2z 1 0
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ).
b) Tìm điểm N trên trục Ox. Sao cho khoảng cách từ N đến( )bằng khoảng cách từ M đến ( ).
c) Chứng tỏ rằng: Mặt phẳng ( ) 2x 4y 4z 5 0 song song với mặt phẳng ( ) , Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ).
Hướng dẫn
a) Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm M(x ; y ;z ) đến 0 0 0
0 0 0 ( ): A.x By Cz D 0 0 0 0 2 2 2 A.x By Cz D d(M,( )) A B C
Thay trực tiếp và tính tốn đƣợc kết quả.
2 2 2 1.2 2( 1) 2.3 1 9 d(M,( )) 3 3 1 ( 2) 2 b) Do N thuộc Ox suy ra N(n;0;0), ta cĩ: d(N, ( ) ) 3 Từ đĩ ta cĩ PT với ẩn n: n 1 3
3 , giải PT này suy ra tọa độ điểm N Kết quả cĩ hai điểm N (10;0;0)1 và N ( 8;0;0)2
c) Để chứng minh hai mặt phẳng song song, trƣớc tiên ta đi chứng minh hai VTPT của hai mặt phẳng phải cùng phƣơng với nhau, tức là chứng tỏ n kn
Tiếp theo xét tiếp đến trƣờng hợp song song hay cùng phƣơng rồi mới kết luận.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta chọn một điểm bất kỳ thuộc vào một trong hai mặt phẳng sau đĩ tính khoảng cách từ điểm đĩ với mặt phẳng cịn lại.
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Từ đĩ suy ra 2 2 2 2(1) 4(0) 4(0) 5 7 7 d ( ),( ) d(T,( )) 6 36 2 ( 4) 4
Nhƣ vậy với cách xây dựng các bài tập trên HS yếu, kém cĩ thể tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và vẫn đảm bảo khai thác đầy đủ các nội dung kiến cơ bản và từng bƣớc tiến bộ.
* Hệ thống bài tập dành cho HS trung bình, trung bình khá.
Các bài tập phần này cơ bản HS cũng cần nhớ lý thuyết, yêu cầu HS biết vận dụng kiến thức ở mức đơn giản, chẳng hạn nhƣ các bài tập liên quan đến mặt cầu, các bài tập lên quang đến khoảng cách, …
Bài tập 6: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trƣờng hợp sau.
a) (P) đi qua M(2;-3;1) và song song với ( ) x 2y 2z 1 0 b) (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(-1;2;-5), B(5;3;2). c) (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2
(S) (x 2) (y 1) (z 1) 3 tại E(3;2; 2).
* Phân tích ý đồ sư phạm
Bài tập này địi hỏi HS phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, mỗi ý của bài tập HS cần làm các nhiệm vụ chính sau.
a) VTPT của (P) chính là VTPT của ( ) . Sau đĩ Áp dụng cơng thức để viết PT mặt phẳng.
Kết quả thu đƣợc PT mặt phẳng (P) là: x 2y 2z 10 0
b) HS cần phải biết rằng mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và vuơng gĩc với AB. Nhƣ vậy HS làm theo các bƣớc + Tìm trung điểm I của AB
+ Véctơ AB
là VTPT.
+ Áp dụng cơng thức để viết PT mặt phẳng thu đƣợc kết quả PT mặt phẳng (P) là: 6x y 7z 25 0
c) HS cần chỉ ra điểm E thuộc mặt phẳng cần tìm. Sau đĩ chỉ ra VTPT là véctơ
IE
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
PT mặt phẳng (P) là: x y z 4 0
Bài tập 7: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trƣờng hợp sau.
a) (P) đi qua ba điểm A(-1;2;1), B(2;3;0), C(1;-1;-2)
b) (P) đi qua M(1;0;-1), N(3;-1;2) và vuơng gĩc với ( ) 2x y z 1 0 . c) (P) đi qua I( 1;2; 1) và vuơng gĩc với giao tuyến của hai mặt phẳng
(Q): x y z 1 0 và (R) : x y z 5 0
Hường dẫn
a) Mặt phẳng (P) đã biết điểm đi qua. (Chọn một trong 3 điểm A, B, C). Do chứa A, B, C nên cĩ cặp VTCP là AB , AC , suy ra VTPT là: nP AB AC, . Tính tốn thu đƣợc kết quả PT mặt phẳng (P) là: 7y 11z 3 0
b) Do đi qua M, N nên giá của véctơ MN
song song với (P). Do vuơng gĩc với ( ) nên giá của VTPT n
của ( )song song với (P) Từ đĩ suy ra (P) cĩ cặp VTCP là MN và n VTPT của (P) là nP MN n, . Tính tốn thu đƣợc kết quả PT mặt phẳng (P) là: x 2y 1 0 c) Do vuơng gĩc với (Q) và (R) nên (P) cĩ cặp VTCP là nQ
và nR
. Suy ra VTPT của (P) là: nP n n Q, R
Tính tốn thu đƣợc kết quả: PT mặt phẳng (P) là: y z 1 0
Bài tập 8: Viết PT mặt phẳng (P) song song với ( ) 2x y z 1 0 và tiếp xúc
với mặt cấu 2 2 2
(S) (x 2) (y 1) (z 1) 9.
Hướng dẫn
Do song song với ( ) nên (P) cĩ dạng 2x y z m 0 (m 1)
Do (P) tiếp xúc với (S) nên khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến (P) bằng bán kính mặt cầu. Áp dụng cơng thức tính khoảng cách 0 0 0 2 2 2 A.x By Cz D d(M,( )) A B C
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Từ đĩ HS tìm đƣợc tham số m, suy ra mặt phẳng cần tìm là:
2x y z 3 6 2 0
* Hệ thống bài tập dành cho HS khá giỏi
Hệ thống bài tập này yêu cầu học phải nắm chắc các dang bài tập ở hai phần trƣớc. Các bài tập ở phần này yêu cầu HS vận dung sáng tạo từ các kiến thức đã biết để giải quyết.
Bài tập 9: Viết PT mặt phẳng (P) song song và cách( ) x y z 3 0 một
khoảng bằng 3.
Phân tích ý đồ sư phạm: Bài tập này khơng đơn thuần là tính khoảng cách mà địi hỏi HS phân tích, biện luận, tƣ duy để vận dụng cơng thức tính khoảng cách viết phƣơng trình mặt phẳng.
- Đầu tiên phải chỉ ra dạng của PT mặt phẳng (P): Do song song với ( ) x y z 3 0 nên (P) cĩ dạng x y z m 0 (m 3)
- Tiếp theo HS phân tích đƣợc rằng: khoảng cách giữa (P) và ( )đƣợc tính bẳng khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trên ( ) đến mặt phẳng (P) - Chọn điểm M thuộc mặt phẳng ( ): chẳng hạn chọn M(0;0;3) ( )
- Khi cĩ điểm M lập phƣơng trình tính d(M, (P) ) 3
- Cuối cùng HS chỉ cần giải PT với ẩn m. Từ đĩ tìm ra m và suy ra PT mặt phẳng (P) là: x y z 3 3 3 0
Bài tập 10: Trong khơng gian, cho tứ diện O. ABC cĩ OA, OB, OC đơi một vuơng
gĩc, OA=a, OB=b, OC=c. Tính độ dài đƣờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh O.
Phân tích ý đồ sư phạm:
Bài tập này nhằm mục đích cho HS làm quen với việc giải tốn hình học băng “Phƣơng pháp tọa độ trong khơng gian”. Để giải quyết bài tập này tốt HS cần thực hiện theo các bƣớc sau:
Bƣớc1: Chọn hệ trục tọa độ (bước quan trọng nhất).
Cĩ nhiều cách chọn hệ trục tọa độ cho một bài tốn, tuy nhiên nếu lựa chọn cách hợp lý nhất để việc tính tốn khơng phức tạp. Chẳng hạn do OA, OB, OC đơi
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
một vuơng gĩc, nên ta cĩ thể chọn hệ trục tọa độ sao cho: O là gốc tọa độ, OA nằm trên Ox, OB nằm trên Oy, OC nằm trên Oz
Bƣớc 2: Tìm tọa độ của một số điểm liên quan đến bài giải theo hệ trục vừa chọn. Vời hệ trục vừa chọn HS chỉ ra A(a; 0;0), B(0;b;0), C(00;c), O(0;0;0). Bƣớc 3: Giải bài tồn bằng phƣơng pháp tọa độ
Viết PT mặt phẳng (ABC) suy ra độ dài đƣờng cao hạ từ O bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC). Thu đƣợc kết quả: 2 2 2 abc d(O,(ABC) ) bc ca ac
Bài tập 11: Cho hình chĩp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a,
chiều cao hạ từ đỉnh S bằng b. Tính khoảng cách từ đƣờng thẳng CD đến mặt phẳng (SAB).
Hướng dẫn
Ta cĩ thể chọn hệ trục tọa độ sao cho: Tâm hình vuơng ABCD trùng với gốc tọa độ O, AC nằm trên Ox, BD nằm trên Oy, OS nằm trên Oz
Khi đĩ A(a 2
2 ;0;0), C(-a 2
2 ;0;0), B(0;a 2
2 ;0), D(0;-a 2
2 ;0), S(0;0;b), O(0;0;0). Chứng minh CD song song với (SAB) suy ra khoảng cách từ đƣờng thẳng CD đến mặt phẳng (SAB) bằng khoảng cách từ C đến (SAB).
Áp dung PT mặt phẳng theo đoạn chắn ta cĩ PT mặt phẳng (SAB) là:
x y z 2x 2y z
1 1
b a a b
a 2 a 2
2 2
HS tính tốn và thu đƣợc kết quả d(CD, (SAB)=
2 2
ab(a 1) a 4b
Ví dụ 2.5. Một số bài tập trong hệ thống bài tập “PT đƣờng thẳng”.
Cũng tƣơng tự nhƣ phần hệ thống bài tập phần “PT mặt phẳng” chúng tơi xây dựng hệ thống bài tập bài “PT đƣờng thẳng” nhƣ sau:
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
* Đối với HS yếu, kém cần làm được các bài tập sau:
Bài tập 12: Trong khơng gian Oxyz, viết PT đƣờng thẳng trong các trƣờng hợp sau:
a. đi qua M (1; 2; -1 ) và nhận véctơ u(3; 3;1)
làm VTCP. b. là đƣờng thẳng đi qua hai điểm A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).
c. đi qua A và song song với BC, biết A(3;-2;-1), B(2;3;1), C(-1;0;2).
Hướng dẫn
a. Thay trực tiếp trực tiếp PT đƣờng thẳng tham số. b. Do đi qua A và B nên cĩ ngay VTCP là
B A B A B A
AB x x ; y y ;z z
, HS chon A hoặc B để thay vào phƣơng trình tham số hoặc chính tắc.
c. Do song song với BC nên đƣờng thẳng này nhận BC
làm VTCP, lúc này làm tƣơng tự ý a, b.
Bài tập 13: Viết PT đƣờng thẳng đi qua A(-1;1;1) và vuơng gĩc với mặt phẳng
(P) cĩ PT 3x-2y+5z-12=0.
Hướng dẫn
Do vuơng gĩc với mặt phẳng (P) nên đƣờng thẳng cần tìm cĩ VTCP là VTPT của mặt phẳng (P).
Bài tập 14: Trong khơng gian Oxyz, viết PT đƣờng thẳng đi qua M(1;-2;3) và đồng thời song song với hai mặt phẳng cắt nhau ( ) : x y 2z 3 0 và
( ) : 3x 2y 4z 1 0.
Hướng dẫn
Bài tập này mấu chốt là tìm VTPT. Tích cĩ hƣờng của hai VTPT của ( ) và ( ) sẽ đƣợc véctơ cĩ giá song song với hai mặt phẳng ( ) và ( ). Do vậy nĩ sẽ là VTCP của
Bài tập 15: Trong khơng gian Oxyz, xét vị trí tƣơng đối giữa các cặp đƣờng
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ a) x 1 t x 3 2t ' : y 2 3t ' : y 6t ' z 1 2t z 1 4t ' b) x 3t x 2 2t ' : y 1 2t ' : y 3t ' z 1 2t z 1 t ' c) x 1 t x 2 2t ' : y 2 3t ' : y 2 t ' z 3 t z 1 3t ' Hướng dẫn
Đầu tiên kiểm tra hai VTCP của hai đƣờng thẳng:
+ Nếu cùng phƣơng: Thì chỉ xét hai trƣờng hợp trung nhau hoặc song song (Xét điểm M thuộc xem cĩ thuộc ' khơng)
+ Nếu khơng cùng phƣơng: Ta xét hai trƣờng hợp chéo nhau hoặc cắt nhau
(Giải hệ PT với ẩn t và t’)
Bài tập 16: Trong khơng gian Oxyz, xét vị trí tƣơng đối giữa các cặp đƣờng
thẳng và mặt phẳng sau, tìm giao điểm nếu cĩ.
a) x 12 4t : y 9 3t z 1 t và ( ) : 3x 5y z 2 0 b) x 2 t : y 5 3t z 1 t và ( ) : 2 x y z 4 0 c) x 1 t : y 1 2t z 1 3t và ( ) : x y z 1 0 Hường dẫn
Đầu tiên kiểm tra VTCP của hai đƣờng thẳng và VTPT của mặt phẳng. + Nếu u.n 0
, Lấy M
M thuộc ( )thì kết luận ( ).
Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
+ Nếu u.n 0kết luận ngay cắt ( ). Sau đĩ đi tìm giao điểm bằng cách giải hệ 0 0 0 x x a t y y b t z z ct ( ): Ax By Cz D 0
* Đối với hoc TB, TB khá cần làm được các bài tập sau: