8. Cấu trúc của luận văn
2.2.2. Một số biện pháp rèn luyện tri thức phƣơng pháp cho học sinh
Biện pháp 1: Truyền thụ đầy đủ, tƣờng minh những tri thức phƣơng pháp định hƣớng cho hoạt động toán học cụ thể đƣợc trình bày rõ trong SGK.
a) Mục đích của biện pháp
Tri thức phƣơng pháp đƣợc trình bày rõ trong SGK thông thƣờng là tri thức phƣơng pháp có tính chất thuật toán (theo cả nghĩa rộng và nghĩa hẹp). Mục tiêu của việc truyền thụ tri thức phƣơng pháp có tính chất thuật toán là giúp HS phát triển tƣ duy thuật toán.
b)Cơ sở và vai trò của biện pháp
Tƣ duy thuật toán rất cần thiết cho nhà trƣờng phổ thông vì: Giúp HS hình dung đƣợc việc tự động hóa trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con
ngƣời, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trƣờng và xã hội tự động hóa; HS làm quen với làm việc với máy tính điện tử; HS học tốt hơn các môn học khác đặc biệt là môn Toán; HS phát triển năng lực trí tuệ chung, năng lực ngôn ngữ, hình thành các phẩm chất của ngƣời lao động mới nhƣ tính ngăn nắp, kỉ luật, phê phán và thói quen tự kiểm tra.
Tƣ duy thuật toán là phƣơng thức tƣ duy thể hiện ở các kĩ năng sau đây: + Kĩ năng thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trƣớc.
+ Kĩ năng phân tích một hành động thành những thao tác thành phần đƣợc thực hiện theo một trình tự xác định.
+ Kĩ năng mô tả chính xác quá trình, tiến trình hoạt động.
+ Kĩ năng khái quát hóa một hành động trên những đối tƣợng riêng lẻ thành một hành động trên một lớp đối tƣợng.
+ Kĩ năng so sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát triển thuật toán tối ƣu.
Trong chƣơng trình hình học không gian lớp 11 các tri thức phƣơng pháp có tính chất thuật toán thƣờng đƣợc trình bày khá rõ ràng dƣới một định nghĩa tƣờng minh hoặc một định lí chứa đựng các tri thức phƣơng pháp đó. Chẳng hạn: Định lí về điều kiện để đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, định nghĩa góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng, cách xác định góc giữa hai mặt phẳng,…
Ví dụ 2.1: Xét bài toán sau: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng AI và OC.
Khi giải bài toán trên là HS đã có kĩ năng thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định, phù hợp với thuật toán xác định đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b:
- Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I; - Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’ trên ;
- Trong mặt phẳng , vẽ ;
- Từ H dựng đƣờng thẳng song song với a cắt b tại B; - Từ B dựng đƣờng thẳng song song với OH cắt a tại A.
Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b Cụ thể là:
- tại O, (OAB) cắt AI tại
A
- Từ I kẻ thì IK vuông góc
với mặt phẳng (OAB) tại trung điểm K của đoạn OB. Ta có AK là hình chiếu vuông góc của AI trên mặt phẳng (OAB).
- Trong mặt phẳng (OAB) vẽ
.
Hình 2.1
- Dựng với và dựng với . Khi đó EF là
đoạn vuông góc chung của AI và OC.
Ví dụ 2.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
, AB=a, BC=3a, SA=a. Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AC và SD. Khi giải bài toán trên theo nhiều cách khác nhau HS có đƣợc kĩ năng so sánh các thuật toán tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau và chọn ra thuật toán tối ƣu. Chẳng hạn:
Cách 1. Tính khoảng cách nhờ việc xác định đƣờng vuông góc chung.
Từ D dựng , từ A dựng và
Qua H kẻ đƣờng thẳng , kẻ
Khi đó PQ là đoạn vuông góc chung của AC và SD.
Dễ thấy hai tam giác vuông AFD và CDA đồng dạng, suy ra:
F E K I O B C A H
Hình 2.2
Cách 2. Khoảng cách giữa AC và SD là khoảng cách từ đƣờng thẳng AC đến mặt phẳng (SDF).
Từ D dựng , gọi (P) là mặt phẳng qua SD và Dx. Khi đó Từ đó
Dựng Suy ra
Cách 3. Xem khoảng cách giữa AC và SD là khoảng cách của hai mặt phẳng song song. Từ D dựng
Gọi (P) là mặt phẳng qua SD và Dx, (Q) là mặt phẳng qua AC và Khi đó
Cách 4. Xem khoảng cách giữa AC và SD là chiều cao của hình chóp có đỉnh A và đáy là tam giác SFD.
Q P B S A D C F H
Việc chọn ra cách giải tối ƣu còn phụ thuộc vào mức độ nhận thức của HS. Nếu HS đã học cách tính thể tích của hình chóp và có kĩ năng tính toán tốt thì nên chọn cách 4, còn nếu HS thành thạo việc xác định đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau thì nên chọn cách 1.
c) Hướng dẫn thực hiện biện pháp
Trƣớc khi dạy học các tri thức phƣơng pháp đƣợc trình bày rõ trong SGK, GV cần xác định rõ các vấn đề sau:
Thứ nhất: Độ hoàn chỉnh, chi tiết, chặt chẽ của các tri thức phương pháp.
Thông thƣờng các tri thức phƣơng pháp có độ hoàn chỉnh cao, tuy nhiên mức độ chi tiết, chặt chẽ thì khác nhau.
Chẳng hạn thuật toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc đƣợc trình bày hoàn chỉnh, chi tiết và chặt chẽ, định lí đƣợc chứng minh chứ không chỉ thừa nhận.
Định lí: “Nếu một mặt phẳng chứa một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau”.
Định lí này đƣợc chứng minh chi tiết và chặt chẽ nhƣ sau: Giả sử (P) là mặt phẳng chứa đƣờng thẳng a mà a vuông góc với mặt phẳng (Q). Gọi H là giao điểm của a và (Q) thì H thuộc giao tuyến c của (P) và (Q). Trong (Q), kẻ đƣờng thẳng b đi qua H và vuông góc với c. Khi đó góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa a và b. Vì nên , từ đó suy ra hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Thuật toán chứng minh ba vectơ đồng phẳng đƣợc trình bày hoàn chỉnh nhƣng không chặt chẽ và chi tiết, gồm hai bƣớc chính:
Bước 1:Xác định cặp số m, n sao cho , trong đó là hai vectơ không cùng phƣơng.
Bước 2:Chứng minh rằng cặp số m, n là duy nhất.
Thứ hai: con đường truyền thụ và cách thức truyền thụ.
Con đƣờng truyền thụ có thể là dựa vào trực giác hoặc là lập luận logic hay kết hợp cả trực giác và lập luận logic.
Ví dụ 2.3: Kết hợp cả trực giác và lập luận logic.
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của SA, BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng
a) Tính MN, SO.
b) Tính góc giữa MN và (SAO).
Có thể giải bài toán trên nhƣ sau:
Hình 2.3
Gọi P là trung điểm của AO
Khi đó và do đó góc giữa MN và (ABCD) là .
Theo định lí hàm số cosin ta có:
Trong tam giác vuông MNP ta có
H P O N M D S A B C
Gọi H là trung điểm OC. Suy ra mà Do đó góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) là Ta có:
Do đó trong tam giác vuông MHN ta có
Vậy góc giữa MN và (SAC) bằng thỏa mãn ,
Khi giải bài toán trên, bằng trực giác của mình HS có thể dự đoán đƣợc khi MP thì MP||SO, hoặc kẻ NH||BD. Sau đó bằng suy luận logic và dựa trên định nghĩa góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng HS sẽ xác định đƣợc góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) cũng nhƣ góc giữa MN và (SAO).
Ví dụ 2.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh bằng a. Đƣờng thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AD và vuông góc với cạnh SC.
Khi giải bài toán này, HS dùng trực quan có thể nhận thấy thiết diện là một ngũ giác, từ đó dùng suy luận logic để tìm giao điểm của mặt phẳng
với các cạnh của hình chóp. Cụ thể nhƣ sau:
Gọi H là trung điểm cạnh SC. Tam giác ACS cân tại A nên
Ta có
Mặt phẳng vuông góc với
SC nên song song với BD và AH. R P Q Y X K N M H D S A B C
Hình 2.4
Mặt phẳng đi qua M song song với BD nên cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến
Gọi X, K, Y lần lƣợt là giao điểm của MN với các đƣờng thẳng BC, AC, CD.
Mặt phẳng đi qua K song song với AH nên cắt mặt (SAC) theo giao tuyến
XQ cắt SB ở P, YQ cắt SD ở R. Thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR. Sau khi tìm đƣợc thiết diện, HS chỉ cần dùng suy luận logic là tính đƣợc diện tích thiết diện.
Có nhiều hình thức để truyền thụ và củng cố tri thức phƣơng pháp có tính chất thuật toán , chẳng hạn để truyền thụ tri thức phƣơng pháp chứng minh hai đƣờng thẳng a và b vuông góc với nhau, có các hình thức sau:
- Trình bày rõ các bƣớc:
+ Cách 1: Nếu hai đƣờng thẳng a và b đƣợc đƣa về cùng trong mặt phẳng (P), sử dụng các cách chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc trong hình học phẳng.
+Cách 2: Dùng định nghĩa góc của hai đƣờng thẳng trong không gian và chứng minh góc đó bằng .
+Cách 3: Tìm hai vectơ chỉ phƣơng và của hai đƣờng thẳng a, b và chứng minh .
+Cách 4: Chứng minh đƣờng thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đƣờng thẳng kia.
+Cách 5: Áp dụng định lí ba đƣờng vuông góc. - Trình bày dƣới dạng bảng hay sơ đồ:
ĐN đƣờng thẳng VGvớimặt phẳng
Đƣa về phẳng
Dùngđịnh nghĩa góc Thông qua vectơ
Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc
Yêu cầu đối với HS khi dạy học tri thức phƣơng pháp đƣợc trình bày rõ trong SGK.
- Độc lập hoặc dƣới sự hƣớng dẫn của GV, HS rút ra đƣợc quy trình tổng quát.
- Tiến hành hoạt động dựa trên tri thức phƣơng pháp ấy(Thực hành các bƣớc ăn khớp với các bƣớc trong quy trình mẫu).
- Hiểu đƣợc ngôn ngữ diễn tả từng bƣớc trong quy trình ấy. - HS phát biểu các bƣớc theo ngôn ngữ của mình.
- HS có thể hành động dựa trên phƣơng tiện ngôn ngữ ấy. Tổng quát hơn là:
- HS hiểu và thực hành phân tích một hoạt động thành các hoạt động thành phần theo một trình tự xác định.
- HS phát biểu các hoạt động ấy bằng lời lẽ của mình.
Ví dụ 2.5: Thuật toán xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là tri thức phƣơng pháp đƣợc xác định rõ trong SGK. Khi tiến hành truyền thụ cho HS tri thức phƣơng pháp này GV có thể đƣa ra một số bài tập nhƣ sau:
1) Cho hình chóp S.ABC có
.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
2) Cho hình lập phƣơng ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (BA’C) và (DA’C).
3) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi C” là trung điểm của CC’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C”AB) và (ABC).
4) Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt
phẳng (ABC), SA=AB=a, AC=2a và . Tính góc
giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, BC=2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Sau khi giải xong các bài tập trên, HS có thể rút ra quy trình tổng quát để xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau nhƣ sau:
- Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng. - Từ một điểm I bất kì ta dựng
+ Đƣờng thẳng a nằm trong vuông góc với c. + Đƣờng thẳng b nằm trong vuông góc với c.
- Khi đó góc giữa là góc giữa hai đƣờng thẳng a và b.
Để có thể phát biểu đƣợc quy trình trên theo ngôn ngữ của mình, HS cần phải hiểu đƣợc ngôn ngữ diễn tả từng bƣớc trong quy trình ấy. Chẳng hạn để dựng đƣợc hai đƣờng thẳng a và b lần lƣợt nằm trong các mặt phẳng cùng vuông góc với c tại một điểm thì HS cần phải nắm rõ các mối quan hệ vuông góc cũng nhƣ tính chất của các hình đa giác.
Ví dụ 2.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi cạnh a và có góc ,
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). Hình 2.5 I O M D A B C S
Ta có AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)
Để có thể xác định đƣợc hai đƣờng thẳng cùng vuông góc với AB tại một điểm, ta cần lƣu ý tới đặc điểm của tam giác ABC là đều nên gọi M là trung điểm của AB thì . Nhƣng chƣa tìm đƣợc đƣờng thẳng nào nằm trong (SAB) cũng vuông góc với AB tại M. Mặt khác ta lại có nên kẻ
suy ra Từ đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là .
d)Những lưu ý khi thực hiện biện pháp
Trong tiến trình dạy học các tri thức phƣơng pháp đƣợc trình bày rõ trong SGK, cơ bản là các tri thức phƣơng pháp có tính chất thuật toán GV cần tiến hành gợi động cơ để HS có thể tự rút ra đƣợc quy trình và phát biểu chính xác từng bƣớc theo lời lẽ của mình. Trong tiến trình dạy học GV cũng cần lƣờng trƣớc những khó khăn sai lầm của HS và biện pháp khắc phục.
Biện pháp 2: Thông báo hoặc tiến hành những hoạt động ăn khớp với những tri thức phƣơng pháp không đƣợc trình bày rõ trong SGK.
a) Mục đích của biện pháp
Chúng ta đã biết các tri thức phƣơng pháp trong dạy học Toán là rất đa dạng và phong phú. Một điều chắc chắn là không thể trình bày một cách tƣờng minh tất cả tri thức phƣơng pháp trong chƣơng trình SGK. Mục đích của việc dạy học toán không chỉ là dạy cho HS những tri thức, kĩ năng quy định trong chƣơng trình mà còn phải dạy cho HS bản thân việc học, đặc biệt là năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Do đó, mục đích của dạy học toán ở trƣờng phổ thông không chỉ là dạy cho HS đầy đủ các tri thức phƣơng pháp tƣờng minh trong chƣơng trình mà còn giúp HS lĩnh hội đƣợc các tri thức phƣơng pháp ẩn tàng là cơ sở để phát triển tƣ duy, năng lực học tập và giải quyết vấn đề cho HS.
b)Cơ sở và vai trò của biện pháp
Đối với các tri thức phƣơng pháp không đƣợc trình bày rõ trong SGK chỉ ẩn sau các định nghĩa, định lý, quy tắc, bài tập toán, nghĩa là chúng không phải là đối tƣợng trung tâm của một tình huống dạy học cụ thể. Chúng ta có thể tiến hành dạy học theo 2 mức độ: Thông báo tri thức phƣơng pháp trong quá trình
hoạt động hoặc tiến hành những hoạt động ăn khớp với các tri thức phƣơng pháp ấy. Các tri thức này có hai dạng: Tri thức phƣơng pháp có tính chất thuật toán và tri thức phƣơng pháp có tính chất tìm đoán.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [1, tr. 147]: Đối với một số tri thức phƣơng pháp chƣa đƣợc quy định trong chƣơng trình, ta vẫn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trình hoạt động của HS nếu những tiêu chuẩn sau đây đƣợc thỏa mãn:
i) Những tri thức phƣơng pháp này giúp HS dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó đƣợc quy định trong chƣơng trình. ii) Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian
Đối với những tri thức phƣơng pháp không quy định trong chƣơng trình mà chỉ thỏa mãn tiêu chuẩn thứ nhất chứ không thỏa mãn tiêu chuẩn thứ hai, ta có thể đề cập ở mức độ thấp nhất: Chỉ tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức phƣơng pháp đó. Những tri thức nhƣ thế cần đƣợc GV vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bài tập, trong việc hƣớng dẫn và bình luận hoạt động của HS. Nhờ đó HS đƣợc làm quen với những phƣơng pháp này.
Ngoài ra GV cần xác định mức độ hoàn chỉnh của các tri thức phƣơng pháp cũng nhƣ khai thác và kết hợp một cách linh hoạt các hình thức truyền thụ