Chương 2: NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA NỀN ĐẤT CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH NẰM NGANG
2.1 Các phương trình cơ bản và phương trình truyền sóng của môi trường đàn hồi
2.1.2 Xây dựng các phương trình vi phân cân bằng và phương trình truyền sóng theo PPNLCT Gauss
2.1.2.1 Phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss
Biểu thức lượng cưỡng bức ở dạng hình học của NLCT Gauss viết như sau:
2
.
. i i
i
iB C
∑m ⇒min! (2.4)
ở đâyBiCi2là khoảng cách giữa 2 điểm Bi và Ci của chất điểm i có khối lượng mi. Bi là vị trí mà chất điểm i có được khi chuyển động tự do và Ci là vị trí khi chất điểm đó chuyển động có liên kết sau thời gian vô cùng bé dt.
Dấu Σ là dấu tổng lấy theo số chất điểm của hệ. Như vậy bài toán xác định chuyển động của hệ chất điểm theo NLCT Gauss dẫn đến tìm cực trị của biểu thức lượng cưỡng bức dưới dạng hình học vừa nêu. Dưới dạng lực, biểu thức lượng cưỡng bức của NLCT Gauss được viết như sau:
2
∑
−
i
oi i i
i m
F
m γ ⇒min! (2.5)
Trong đó:
Fi là lực tác dụng lên chất điểm i
γoi là gia tốc của chất điểm i đạt được nếu nó tự do.
NLCT Gauss có thể được suy ra từ nguyên lý vận tốc ảo của Lagrange và nguyên lý D’Alembert. Nhưng đồng thời NLCT Gauss tổng quát hơn so với hai nguyên lý trên xét về mặt liên kết vì nó không bị ràng buộc bởi điều kiện liên kết của hệ.
Với đối tượng nghiên cứu là chất điểm, NLCT Gauss dựa trên ba khái niệm cơ bản: Liên kết, chuyển động và khối lượng. Nếu ta tìm cách áp dụng nguyên lý này cho vật rắn biến dạng, thì đối tượng khảo sát là tập hợp các mặt cắt và các khái niệm trên được biểu hiện như sau:
- Liên kết có thể là liên kết ngoài hoặc liên kết trong:
+ Liên kết ngoài là tác động tương hỗ giữa hệ đang xét và hệ khác.
+ Liên kết trong là tác động tương hỗ giữa các mặt cắt.
Trong cơ học vật rắn biến dạng, các liên kết trong được thể hiện qua các phương trình cân bằng, các phương trình liên tục của biến dạng, các quan hệ ứng suất- biến dạng của lý thuyết đàn hồi.
- Chuyển động ở vật rắn biến dạng là chuyển vị tương đối giữa các bộ phận của vật thể, ta có thể hiểu đó là các biểu hiện của biến dạng: Mặt đàn hồi, mặt trượt...
- Khái niệm cơ bản của cơ học lý thuyết là chất điểm với đặc trưng là khối lượng chất điểm. Còn trong cơ học môi trường liên tục là khái niệm mặt cắt với các đặc trưng là độ cứng tương ứng.
Thí dụ: Trong sức bền vật liệu, mặt cắt chịu lực của dầm có đặc trưng độ cứng là EJ ; trường hợp chịu nén, mặt cắt của thanh có độ cứng là EF ; trường hợp chịu cắt, mặt cắt có độ cứng là GF.
NLCT Gauss áp dụng đối với hệ chất điểm. Dựa trên cơ sở của nguyên lý này, năm 1979, GS.TSKH Hà Huy Cương đã đề xuất sử dụng Phương pháp NLCT Gauss để giải các bài toán về cơ học vật rắn biến dạng. Các luận điểm của phương pháp này có thể trình bày như sau:
- Khái niệm cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng là khái niệm mặt cắt ( mặt cắt tiết diện trong sức bền vật liệu hay mặt cắt phân tố trong lý thuyết đàn hồi…).
Mặt cắt chịu tác động của lực( nội lực hoặc ngoại lực ) có liên kết hoặc tự do sẽ bị chuyển động ( chuyển vị, biến dạng ) với các độ cứng tương ứng với lực tác dụng.
Như vậy trong một khía cạnh nào đó, có thể xem khái niệm mặt cắt tương ứng với khái niệm chất điểm trong cơ học lý thuyết.
- Có thể nói rằng tư tưởng của NLCT Gauss là so sánh chuyển động của hệ chất điểm có liên kết tuỳ ý với chính nó khi hoàn toàn tự do theo nghĩa lượng cưỡng bức ( ràng buộc ) tối thiểu. Nếu ta biết chuyển động của một trong hai trạng thái chuyển động của hệ thì có thể biết chuyển động của hệ ở trạng thái kia. Tuy nhiên PPNLCT Gauss của GS.TSKH Hà Huy Cương chứng tỏ rằng có thể so sánh chuyển động của hệ cần tìm có liên kết tuỳ ý với hệ đã biết khác cũng có liên kết tuỳ ý.
- Đặc điểm chuyển động của hệ vật rắn biến dạng khác so với hệ chất điểm là lực không những gây ra chuyển động theo phương tác động của nó mà còn gây ra chuyển động( chuyển vị, biến dạng ) trong mặt phẳng trực giao với nó qua hệ số nở ngang ( Poisson ) ν của vật liệu. Biến dạng, chuyển vị theo phương của lực tác dụng được gọi là biến dạng, chuyển vị cơ bản và đó chính là đại lượng biến phân của PPNLCT Gauss do GS.TSKH Hà Huy Cương đưa ra năm 1979.
Từ những nhận định trên, đối với hệ kết cấu, PPNLCT Gauss phát biểu như sau:
“ Chuyển động của hệ kết cấu có liên kết tuỳ ý và chịu tác động bất kỳ, trong mỗi thời điểm xảy ra luôn có xu thế gần nhất có thể với chuyển động của hệ kết cấu khác khi cùng chịu tác động đó. Nói cách khác, chuyển động của hệ kết cấu sẽ xảy ra với lượng cưỡng bức nhỏ nhất”.
Biểu thức lượng ràng buộc của hệ kết cấu viết với bài toán tĩnh được viết như sau:
2
0
∑
−
i i
i i i
i K
F K
K F ⇒min! (2.6)
Ở đây Ki là độ cứng của mặt cắt thứ i (mặt cắt tiết diện hoặc mặt cắt phân tố) tương ứng với lực tác động tại đó là Fi ( nội lực hoặc ngoại lực ). Ký hiệu với chỉ số 0 là của chính mặt cắt i khi không có liên kết ( tự do). Dấu tổng (Σ) trong biểu thức
lấy theo tất cả các mặt cắt khi rời rạc hoá môi trường hoặc thay bằng tích phân khi xét môi trường liên tục. Đối với bài toán động lực học ta xét thêm bài toán tĩnh.
Nguyên lý không chứng minh vì vậy dưới đây trình bày hai ví dụ minh hoạ tính hiệu quả khi áp dụng PPNLCT Gauss để giải các bài toán cơ học vật rắn biến dạng.
2.1.2.2 Xây dựng phương trình vi phân cân bằng