Chương 3 NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN TƯƠNG TÁC GIỮA CỌC VỚI NỀN ĐẤT CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH NẰM NGANG
3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn đối với dầm có xét đến biến dạng trượt ngang
Khi tính khối đất V chứa cọc, ta sử dụng phần tử khối chữ nhật 20 nút, mỗi nút có 3 chuyển vị u, v, w và xây dựng ma trận độ cứng phần tử giống như đã trình bày trong chương 2.
Ở trên đã trình bày lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang của Timoshenko. Dùng lý thuyết này trong các bài toán tương tác giữa cọc với nền đất với việc giải theo phương pháp phần tử hữu hạn. Vì vậy ở đây trình bày các phần tử của dầm sẽ được dùng sau này.
Do có hai hàm ẩn, hàm chuyển vị và hàm lực cắt của dầm cho nên có hai loại phần tử: phần tử chuyển vị và phần tử lực cắt.
z
uc(-) = uc(+) (du
dz )(-)=(du dz )(+)
z
uc(-) = uc(+) (du
dz - α
GcF Q)(-) = (du dz -
α
GcF Q)(+)
- Phần tử chuyển vị: Phần tử chuyển vị dầm thường dùng là phần tử đoạn thẳng hai nút, mỗi nút có hai thông số (hai ẩn) là chuyển vị và góc xoay tại nút (hình 3.4). Như vậy phần tử chuyển vị có 4 ẩn. Do vậy đa thức xấp xỉ chuyển vị là đa thức bậc ba. Gọi uc1 và uc2 là chuyển vị tại nút 1 và 2; ϕc1 = duc1
dz , ϕc2 = duc2 dz là góc dốc của đường độ võng tại nút 1 và 2 thì chuyển vị tại điểm bất kỳ trong phần tử xác định trong hệ tọa độ như công thức sau:
uce = N1uc1+N2uc2+N3 ϕc1 +N4 ϕc2 (3.34) Các hàm nội suy N1, N2 đối với chuyển vị nút như sau:
N1 = 1
4 (z-1)2(2+z) N2= 1
4 (z+1)2(2-z) (3.35)
Các hàm nội suy N3, N4 đối với góc xoay:
N3= 1
4 (z-1)2(z+1) N4 = 1
4 (z+1)2(z-1) (3.36)
Trong đó: z là tọa độ của điểm cần tính bất kỳ đối với gốc tọa độ O tại tâm phần tử chuyển vị.
Hình 3.4 Phần tử chuyển vị của dầm - Phần tử lực cắt:
Lực cắt Q gây ra biến dạng trượt ngang γc = α
GcF Q làm thay đổi góc xoay của đường chuyển vị. Vì vậy có thể dùng đa thức bậc 2 ( nhỏ thua một bậc so với đa
Nút 1 (uc1, ϕc1)
+1
z
-1
Nút 2 (uc2, ϕc2) 0
thức chuyển vị) để xấp xỉ lực cắt Q. Đa thức bậc 2 có ba thông số cho nên phần tử lực cắt có 3 nút, mỗi nút có một ẩn lực cắt (hình 3.5).
Hình 3.5 Phần tử lực cắt của dầm
Gọi q1, q1, q3 là lực cắt tại các nút 1, 2, 3. Lực cắt tại điểm bất kỳ trong phần tử được xác định theo đa thức xấp xỉ như sau:
qe = N5q1+N6q2+N7q3 (3.37)
N5 = 1
2 z(z-1); N6 = 1-z2; N7 = 1
2 z(z+1) Trong đó:
z là tọa độ của điểm cần tính bất kỳ đối với gốc tọa độ O trùng với nút 2 của phần tử lực cắt
Như vậy phần tử dầm chịu uốn có xét biến dạng trượt ngang có 7 ẩn (7 thông số) cần xác định được sắp xếp thành vecto cột θc
θc = [u1 u2 ϕc1 ϕc1 q1 q2 q3] (3.38) Dưới dạng ma trận, chuyển vị và lực cắt tại mỗi điểm trong phần tử được viết lại như sau:
uce =N. θc; qe = Nq.θc (3.39) với N, Nq là các ma trận dòng:
N = [N1 N2 N3 N4 0 0 0]
Nq = [0 0 0 0 N5 N6 N7]
Biết được các chuyển vị và lực cắt phần tử, dễ dàng xác định các biến dạng phần tử dầm như sau:
Biến dạng trượt ngang: γce = (Nq. α
GcF ) θc (3.40) Nút 1 (q1)
Nút 3 (q3) z
Nút 2 (q2) -1
0
+1
Góc xoay do mô men uốn gây ra: ϕce = (dN dz -Nq
α
GcF ) θc (3.41) Biến dạng uốn: χce = (-d2N
dz2 β2 + dNq dz β α
GcF ) θc (3.42)
Mô men uốn Me = EcJ χce (3.43)
Hệ số β = 2
∆z đưa chiều dài không thứ nguyên của phần tử bằng 2 về chiều dài thật ∆z khi lấy đạo hàm
- Ma trận độ cứng phần tử dầm:
Xem phần tử như là công trình thì ma trận độ cứng phần tử dầm được tính như sau:
Zce = ∫
− 1
1
Me δχce dz +∫
− 1
1
qe δγcedz = 0 (3.44) Các hàm χce và γce là các hàm đối với các thông số phần tử, cho nên thay cho ký hiệu biến phân δ ta có:
Zce = ∫
− 1
1
Me ∂χce
∂θci dz +∫
− 1
1
qe ∂γc e
∂θci dz = 0 (3.45)
Chú ý rằng Me là vecto dòng chứa 7 thành phần, các đạo hàm riêng ∂χce ∂θci và
∂γce
∂θci
là biểu thức. Cho nên thực hiện phép tính tích phân ứng với mỗi θci ta nhận được một dòng của ma trận độ cứng phần tử dầm. Mỗi phần tử có 7 thông số ẩn xác định cho nên ma trận độ cứng phần tử dầm là ma trận vuông có kích thước 7x7.
Dựa trên ma trận độ cứng phần tử thì xây dựng được ma trận độ cứng tổng thể của dầm với sự chú ý rằng một thông số nút phần tử này có thể nằm trên các phần tử khác kề nó.
3.4 Xây dựng bài toán tương tác giữa cọc đơn với nền đất khi chịu tải trọng tĩnh nằm ngang
Xây dựng bài toán tương tác giữa cọc đơn có chiều dài l với nền đất nằm trong nửa không gian vô hạn đàn hồi có các thông số đàn hồi E0, ν0. Vì dùng lời giải