Chương 2: NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA NỀN ĐẤT CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH NẰM NGANG
2.4 Giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) để tính khối đất chữ nhật có thể tích V nằm trong nửa không gian vô hạn đàn hồi chịu tác dụng của lực nằm ngang P (hình 2.4). Xét hai trường hợp: Hệ so sánh là khối đất nằm trong bán không gian vô hạn đàn hồi (hình 2.5) và hệ so sánh là khối đất nằm trong không gian vô hạn đàn hồi (hình 2.8c). Trong cả hai trường hợp, khối đất cần tính cũng như khối đất của hệ so sánh được chia thành các phần tử khối chữ nhật (bài toán 3 chiều) có kích thước phần tử bất kỳ. Để có thể xét được điều kiện biên trên hệ cần tính, hệ so sánh có số phần tử nhiều hơn so với hệ cần tính 1 phần tử theo chiều sâu z và theo chiều x, chiều y ( hình 2.9).
Hình 2.9 Chia khối đất hệ cần tính thành các phần tử khối
1 9 2 13
3 19
7 12 8
16 6
18 14 17
15 10
11 20 4 5
0 x
y z
* Phần tử khối chữ nhật 20 nút
Có thể dùng phần tử khối chữ nhật 8 nút [38], nhưng để có được xấp xỉ tốt hơn, tác giả sử dụng phần tử khối chữ nhật 20 nút như hình 2.10 trong hệ tọa độ tự nhiên với kích thước phần tử ∆x = ∆y = ∆z = 2 và dùng chuyển vị làm ẩn. Tọa độ các nút được cho trong bảng 2.1.
Hình 2.10 Phần tử khối chữ nhật 20 nút Bảng 2.1 Bảng tọa độ nút phần tử khối chữ nhật 20 nút.
Nút 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 xp -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 yp -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 -1 -1 1 1 zp -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 0 0
Mỗi nút có 3 thông số (ẩn) cần xác định là chuyển vị u theo chiều x, v theo chiều y, w theo chiều z. Như vậy trong phần tử có 3 x 20 = 60 thông số chuyển vị ( 60 ẩn) cần xác định. Biết được chuyển vị các nút thì chuyển vị tại điểm bất kỳ nằm trong phần tử được xác định theo các hàm nội suy [39],[60]
Các hàm nội suy:
- Đối với các nút i =1÷8
Ni = (1+x.xpi)(1+y.ypi)(1+z.zpi)( x.xpi+ y.ypi+ z.zpi -2)
8 (2.60a)
- Đối với các nút i =9÷12
Ni = (1-x2)(1+y.ypi)(1+z.zpi)
4 (2. 60b)
- Đối với các nút i =13÷16
Ni = (1-y2)(1+x.xpi)(1+z.zpi)
4 (2. 60c)
- Đối với các nút i =17÷20
Ni = (1-z2)(1+x.xpi)(1+y.ypi)
4 (2. 60d)
Gọi θc là vecto cột chứa 60 ẩn phần tử sắp xếp theo tọa độ:
θc = [ u1 u2 ... u20 v1 v2... v20 w1 w2... w20]
Gọi fu là vecto dòng chứa 20 hàm nội suy để xác định chuyển vị ue tại mỗi điểm trong phần tử; fv là vecto dòng chứa 20 hàm nội suy để xác định chuyển vị ve; fw là vecto dòng chứa 20 hàm nội suy để xác định chuyển vị we.
fu = [ f1 f2... f20 , (40 số 0)]
fv = [ (20 số 0), f1 f2 ...f20, (20 số 0)] (2.61) fw = [(40 số 0), f1 f2... f20 ]
thì chuyển vị tại mỗi điểm trong phần tử được viết dưới dạng:
ue = fu θc; ve = fv θc; we = fw θc (2.62) Biết được chuyển vị xác định các biến dạng:
εx = ∂fu
∂x θc; εy = ∂fv
∂y θc; εz = ∂fw ∂z θc γxy =( ∂fu
∂y + ∂fv
∂x )θc; γxz = (∂fu ∂z + ∂fw
∂x )θc; γyz = (∂fv ∂z + ∂fw
∂y )θc (2.63) Biết được các biến dạng, theo các liên hệ cơ bản (2.1), sẽ xác định được trạng thái ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử.
- Ma trận độ cứng phần tử (dùng để tính tích phân ZV)
Xem phần tử như là công trình, viết phiếm hàm lượng cưỡng bức trong trường hợp dùng hệ so sánh như sau:
Z=∫ ∫ ∫
−
−
− 1
1 1
1 1
1
[(σx-σx0) εx + (σy-σy0) εy + (σz-σz0) εz + (τxy-τxy0) γxy + (τxz-τxz0) γxz + (τyz-
τyz0) γyz]dxdydz → min (2.64)
Bởi vì dạng các hàm biến dạng đã biết, nên bài toán (2.64) không còn là bài toán biến phân mà trở thành bài toán tối ưu thông số tìm các ẩn θi (60 ẩn) sao cho Z đạt cực tiểu. Vì vậy điều kiện cực trị của (2.64) được viết dưới dạng sau:
δZ=∫ ∫ ∫
−
−
− 1
1 1
1 1
1
(σx-σx0)∂εx
∂θi + (σy-σy0) ∂εy
∂θi + (σz-σz0) ∂εz
∂θi + (τxy-τxy0) ∂γxy
∂θi + (τxz-τxz0) ∂γxz
∂θi + (τyz-τyz0)∂γyz
∂θi ]dxdydz = 0 (2.65)
(i=1,2,...,60)
Thực hiện tích phân trên ứng với mỗi i, nhận được một phương trình cân bằng, có vế trái là dòng chứa 60 cột và vế phải là một số. Cho i thay đổi từ 1÷60 sẽ nhận được phương trình ma trận sau: ae θc = be (2.66) trong đó: ae là ma trận độ cứng phần tử có kích thước a(60x60)
be là véc tơ cột có kích thước b(60,1).
Trong tính toán cụ thể, ma trận độ cứng phần tử được tính bằng cách tích phân trực tiếp các phương trình (2.65)
Khối đất V bao gồm nhiều phần tử khác nhau. Ta dùng ma trận độ cứng phần tử để xây dựng ma trận tổng thể của khối đất V (tính thành phần ZV) với chú ý rằng các ẩn chuyển vị nút của một phần tử này có thể nằm trong các phần tử liền kề.
Trong trường hợp dùng hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi (lời giải Kelvin) do có ứng suất σ0z tác dụng lên mặt thoáng AB của khối đất V nên phải xét thêm biểu thức (2.55) và điều kiện σz = 0 trên mặt thoáng AB.
* Chương trình tính