Chương 2: NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA NỀN ĐẤT CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH NẰM NGANG
2.5 Kiểm tra kết quả và các nhận xét
Như đã trình bày trên, các ẩn của bài toán là các chuyển vị u, v, w tại các nút của phần tử. Biết được các chuyển vị thì tính được các biến dạng εij và các ứng suất σij tại các điểm của khối đất V. Tương tự dựa vào các công thức của Mindlin hay Kelvin tính được các chuyển vị u0, v0, w0tại các nút và từ đó tính được các biến dạng ε0ij và các ứng suất σ0ij tại các nút của hệ so sánh.
2.5.1 Bài toán dùng hệ so sánh là nửa không gian vô hạn đàn hồi
Xét bài toán tương tác giữa khối đất V có mô đun đàn hồi E1 và hệ số Poisson ν1 với nửa không gian vô hạn đàn hồi có mô đun đàn hồi E0 và hệ số Poisson ν0
- Nhập dữ liệu đầu vào đặc trưng cho kích thước hình học, tính chất vật liệu khối đất và tải trọng tác dụng cũng như vị trí của nó: ptz, ptx, pty, dx,
dy,dz, Ed1, Ed2, ν, P, c...
- Các công thức tính theo lời giải của Mindlin
Chia khối đất thành các phần tử khối chữ nhật 20 nút. Xác định số ẩn chuyển vị nút u, v, w.
Dùng lời giải Mindlin tính các chuyển vị nút u0, v0, w0, từ đó xác định trạng thái ứng suất σij0 của mỗi phần tử.
Xây dựng ma trận độ cứng phần tử để tính tích phân ZV của bài toán cho toàn bộ thể tích khối đất V.
Kết quả tính toán cho hệ phương trình bậc nhất dưới dạng ma trận:
AX=B.
Véc tơ chuyển vị nút X được xác định theo hàm: X=A\B ( hàm giải hệ phương trình bậc nhất).
In kết quả
(hình 2.12). Dựa trên phần mềm Matlab, tác giả xây dựng chương trình tính Mstatic1 khảo sát một số trường hợp sau:
Hình 2.12 Mô hình bài toán tính khối đất
* Trường hợp 1: Cho E1 = E0, ν1 = ν0 (mô đun đàn hồi, hệ số Poisson của hệ so sánh bằng mô đun đàn hồi, hệ số Poisson của hệ cần tính)
Trên hình 2.13 trình bày biểu đồ chuyển vị ngang u(z) của điểm nằm gần tâm khối đất khi lực nằm ngang P tác dụng ở bề mặt (hình 2.13a) và tại chân (hình 2.13b) khối đất.
Các đường nét liền có dấu là kết quả tính chuyển vị ngang (ký hiệu là U0_M1) theo PPNLCT Gauss. Các đường nét liền trơn là kết quả tính chuyển vị ngang (ký hiệu là U_M1) theo công thức của Mindlin.
Nhận thấy các kết quả tính theo PPNLCT Gauss hoàn toàn trùng khớp với kết quả lời giải giải tích của Mindlin (xem Phụ lục 1)
Khi thay đổi thể tích khối V, kể cả trường hợp khối V chỉ có 1 phần tử, vẫn có được kết quả chính xác. Kết quả này có thể nói là hiển nhiên bởi vì đang xét trường hợp E1 = E0, ν1 = ν0 nghĩa là khối đất V với môi trường còn lại hợp thành nửa không gian đàn hồi đầy đủ. Điều kiện ở vô hạn cũng được thỏa mãn. Như vậy phương pháp dùng hệ so sánh trình bày ở trên tự động thỏa mãn các điều kiện biên trên khối đất và điều kiện ở vô cùng.
Miền mở rộng để xét điều kiện biên.
P Khối đất cần tÝnh
E0,
ν
E1,
ν
c
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M1 U0_M2
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M1 U0_M2 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M1 U_M1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M1 U_M1
(a) (b)
Hình 2.13 Biểu đồ chuyển vị ngang khối đất khi lực ngang P tác dụng tại bề mặt (a) và chân (b) khối đất, trường hợp E1 = E0, ν1 = ν0.
* Trường hợp 2: Cho ν1 = ν0; E1 ≠ E0 (giữ nguyên E1 như trường hợp 1, thay đổi E0 của hệ so sánh)
Trên hình 2.14 trình bày các chuyển vị ngang u(z) của điểm nằm gần tâm khối đất khi lực nằm ngang P tác dụng tại bề mặt khối đất (hình 2.14a) và tại chân khối đất (hình 2.14b).
Trong đó: U0_M1 là ký hiệu chuyển vị ngang khối đất trong trường hợp 1 theo lời giải của PPNLCT Gauss. U0_M2 là ký hiệu chuyển vị ngang trong trường hợp 2 theo lời giải của PPNLCT Gauss. Ở đây thấy sự trùng khớp hoàn toàn giữa hai kết quả tính theo lời giải của PPNLCT Gauss trong trường hợp 1 và trường hợp 2 (U0_M1 ≡ U0_M2). ( xem Phụ lục 2)
(a) (b)
Hình 2.14 Biểu đồ chuyển vị ngang khối đất khi lực ngang P tác dụng tại bề mặt (a) và chân (b) khối đất, trường hợp ν1 = ν0; E1≠ E0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M1 U0_M3
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm) U0_M1
U0_M3
Khi thể tích V thay đổi ta vẫn nhận được kết quả chính xác như trên.
Như vậy, qua 2 trường hợp khảo sát trên thấy rằng, dù hệ so sánh có mô đun đàn hồi giống hoặc khác mô đun đàn hồi của hệ cần tính thì kết quả chuyển vị của hệ cần tính là không đổi.
* Trường hợp 3: Cho ν1 = ν0; E1 ≠ E0 (giữ nguyên E0 của hệ so sánh như trường hợp 1, tăng E1 của hệ cần tính lên gấp hai lần so với trường hợp 1)
Trên hình 2.15 trình bày các chuyển vị ngang u(z) của điểm nằm gần tâm khối đất khi lực nằm ngang P tác dụng tại bề mặt khối đất (hình 2.15a) và tại chân khối đất (hình 2.15b).
Trong đó: U0_M1 là ký hiệu chuyển vị ngang tính trong trường hợp 1 theo lời giải của PPNLCT Gauss. U0_M3 là ký hiệu chuyển vị ngang tính trong trường hợp 3 theo lời giải của PPNLCT Gauss.
(a) (b)
Hình 2.15 Biểu đồ chuyển vị ngang khối đất khi lực ngang P tác dụng tại bề mặt (a) và chân (b) khối đất, trường hợp ν1 = ν0; E1≠ E0
Ta thấy kết quả chuyển vị của khối đất tính theo PPNLCT Gauss trong trường hợp 3 (U0_M3) nhỏ hơn hai lần chuyển vị của khối đất tính theo PPNLCT Gauss trong trường hợp 1 (U0_M1) ( xem Phụ lục 3).
Kết quả nghiên cứu trong trường hợp 2 và 3 cũng có thể xem là hiển nhiên bởi vì theo các công thức Mindlin trạng thái chuyển vị (u, v, w) tỷ lệ nghịch với mô đun đàn hồi E (công thức (2.41), (2.45)); còn trạng thái ứng suất σij không phụ thuộc vào E, chỉ phụ thuộc vào hệ số Poisson ν ( công thức (2.44), (2.46)).
Từ các trình bày trên thấy rằng phương pháp dùng hệ so sánh của PPNLCT Gauss mà tác giả dùng để xây dựng bài toán cho phép tự động thỏa mãn các điều kiện trên biên của khối V và điều kiện ở vô cùng.
* Trường hợp 4: Cho E1 ≠ E0, ν1 ≠ ν0 (hệ cần tính và hệ so sánh khác nhau về mô đun đàn hồi và hệ số Poisson)
Ở ba trường hợp trên, hệ số Poisson của khối V và của môi trường bằng nhau (ν 1 = ν 0)và cho thể tích khối V thay đổi để nghiên cứu. Bây giờ ta xét trường hợp ν1 ≠ ν0 , thể tích khối V không đổi nhưng thay đổi thể tích V* của khối mở rộng (hình 2.16).
Hình 2.16 Tương tác giữa khối bê tông và nền đất
Tác giả đã viết chương trình Mstatic2 trong môi trường Matlab cho trường hợp này. Dưới đây trình bày kết quả tính cho trường hợp khối V là bê tông có E1 = 20.000 MPa; ν1 = 0,15 nằm trong nền đất có E0 = 10 MPa ; ν0 = 0,3. Khối V có diện tích mặt bằng 4x3 phần tử; chiều cao bằng 2 phần tử. Thể tích khối mở rộng V* luôn lớn hơn thể tích khối V tối thiểu là một phần tử theo cả ba chiều x, y, z để có thể xét được các ứng suất σij tác dụng lên các mặt biên của khối V. Kết quả ta được giá trị chuyển vị ngang (bảng 2.2) và biểu đồ chuyển vị ngang trên trục thẳng đứng đi qua điểm gần tâm của khối bê tông V khi chịu lực nằm ngang P= 10kN tác dụng ở bề mặt (hình 2.17). Trong đó: U0_M4 là ký hiệu chuyển vị ngang tính trong trường hợp 4 theo lời giải của PPNLCT Gauss.
Bảng 2.2 Giá trị chuyển vị ngang của khối bê tông
z(m) 0 0.3 0.6 0.9 1.2
U0_M4 (cm) 0.162 0.061 0.037 0.026 0.019
P
V*, E0, ν
Khối V
V, E1, μ1
Miền mở rộng
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Chieu sau khoi be tong (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M4
Hình 2.17 Biểu đồ chuyển vị ngang khối bê tông.
Do khối bê tông có hệ số Poisson ν1 khác với nền đất có hệ số Poisson ν0 cho nên không thể dùng lời giải Mindlin để so sánh với kết quả tính như đã xét trong các trường hợp trên.
Bây giờ thay đổi thể tích khối mở rộng V* bằng cách mở rộng số phần tử theo chiều sâu hoặc theo chiều ngang hoặc cả hai. Kết quả nhận được giống nhau hoàn toàn. Điều này cho phép tác giả đi đến kết luận rằng sở dĩ phương pháp dùng hệ so sánh cho kết quả đúng là vì nhờ nó bảo đảm đúng điều kiện trên mặt biên của khối V cũng như điều kiện ở vô cùng.
Từ ví dụ trên cho thấy có thể dùng phương pháp hệ so sánh để nghiên cứu các bài toán tương tác giữa móng nông hoặc các công trình ngầm với nền đất.
2.5.2 Bài toán hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi
Sử dụng phần mềm Matlab, tác giả đã xây dựng chương trình Kstatic1 để tính khối đất trong trường hợp hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi (lời giải Kelvin).
Trong mục này tác giả tính khối đất có E1 = E0 = 10MPa, ν1 = ν0 =0,3 khi cho lực nằm ngang P lần lượt tác dụng tại 3 vị trí: c = 0 (mặt thoáng khối đất); c = 3m; c
= 5,4m (đáy khối đất) bằng hai chương trình tính Mstatic1 và Kstatic1.
Trên hình 2.18 trình bày biểu đồ chuyển vị ngang u(z) của điểm nằm gần tâm khối đất khi lực nằm ngang P tác dụng tại 3 vị trí: c = 0 (hình 2.18a); c = 3m (hình 2.18b); c = 5,4m (hình 2.18c)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M U0_K
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M U0_K
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M U0_K
(a)
(b)
(c)
Hình 2.18 Biểu đồ chuyển vị ngang khối đất tính theo 2 chương trình Mstatic1 và Kstatic1 khi tải trọng ngang P tác dụng tại vị trí c=0 (a); c=3m (b);
c=5.4m (c)
Từ các kết quả trên nhận thấy rằng, chuyển vị của khối đất khi tính theo chương trình Kstatic1 (ký hiệu là U0_K), xấp xỉ bằng kết quả chuyển vị của khối đất khi tính theo chương trình Mstatic1 (ký hiệu là U0_M) với sai số lớn nhất khoảng 6%
và lực đặt càng sâu so với mặt thoáng thì sai số giữa hai kết quả càng nhỏ đi và gần như trùng khít lên nhau (xem Phục lục 4). Sở dĩ có độ sai lệch như vậy là do ảnh hưởng của điều kiện mặt thoáng. Lực đặt càng sâu dưới đất thì sự ảnh hưởng của điều kiện mặt thoáng càng giảm. Như vậy thông qua lời giải số bằng phương pháp phần tử hữu hạn, có thể đưa lời giải không gian vô hạn đàn hồi ( lời giải Kelvin) về lời giải nửa không gian vô hạn đàn hồi (lời giải Mindlin).
2.5.3 Bài toán tính khối đất có xét đến trọng lượng bản thân
Lời giải Mindlin, Kelvin cũng như Boussinesq không xét trọng lượng bản thân của khối đất, lý do là vì trạng thái ứng suất của nền đất tự nhiên do trọng lượng bản thân gây ra là không xác định. Tuy nhiên với kết quả của [10], trạng thái ứng suất của nền đất tự nhiên có thể xác định được. Trong trường hợp bài toán phẳng, nền đất nằm ngang thì sự phân bố ứng suất trong đất sẽ là:
σγx(x,z) = σγz(x,z) = γ.z (2.63) τγxz = 0
Mở rộng bài toán 3 chiều:
σγx(x,y,z) = σγy(x,y,z) = σγz(x,y,z) = γ.z
τγxy = 0; τγxz = 0; τγyz = 0 (2.64) Trạng thái ứng suất trên thỏa mãn ba phương trình cân bằng, các điều kiện biên trên mặt thoáng và không thay đổi theo mặt phẳng nằm ngang, chỉ thay đổi theo chiều sâu.
Biết được trạng thái ứng suất do trọng lượng bản thân trên, dễ dàng xây dựng được bài toán tính khối đất khi xét trọng lượng bản thân theo phương pháp dùng hệ so sánh như tác giả đã nghiên cứu ở trên. Tác giả dùng hệ so sánh là bán không gian vô hạn đàn hồi (lời giải Mindlin) và phiếm hàm lượng cưỡng bức của bài toán được viết như sau:
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi ngang (cm)
U0_M U0G_M
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
Chuyen vi dung (cm)
W0_M W0G_M
ZV=⌡⌠
V*
(σx-σx0-σxγ) εxdV* +⌡⌠
V*
(σy-σy0-σyγ) εydV* +⌡⌠
V*
(σz-σz0-σzγ) εzdV* +⌡⌠
V*
(τxy-τxy0) γxy dV* +⌡⌠
V*
(τxz-τxz0) γxz dV* + ⌡⌠
V*
(τyz-τyz0) γyz dV* → min (2.65) hay:
ZV=⌡⌠
V*
(σx-σx0-γ.z) εxdV* +⌡⌠
V*
(σy-σy0-γ.z) εydV* +⌡⌠
V*
(σz-σz0-γ.z) εzdV* +⌡⌠
V*
(τxy-τxy0) γxy dV* +⌡⌠
V*
(τxz-τxz0) γxz dV* +⌡⌠
V*
(τyz-τyz0) γyz dV* → min (2.66) Sử dụng phần mềm Matlab, tác giả đã xây dựng chương trình có tên Mstatic3 để tính khối đất trong trường hợp có xét trọng lượng bản thân và hệ so sánh là nửa không gian vô hạn đàn hồi (lời giải Mindlin).
Trong mục này tác giả tính khối đất có E1 = E0 = 10MPa, ν1 = ν0 = 0.3, γ= 20 kN/m3 khi cho lực nằm ngang P tác dụng tại mặt thoáng khối đất (c = 0).
Trên hình 2.19 trình bày biểu đồ chuyển vị ngang u(z) (hình 2.19a) và chuyển vị đứng w(z) (hình 2.19b) của điểm nằm gần tâm khối đất khi lực nằm ngang P tác dụng tại mặt thoáng khối đất trong hai trường hợp xét trọng lượng bản thân đất (ký hiệu là U0G_M) và không xét trọng lượng bản thân đất (ký hiệu là U0_M).
(a) (b)
Hình 2.19 Biểu đồ chuyển vị ngang (a) và chuyển vị đứng (b), lực đặt tại mặt thoáng khối đất khi xét và không xét trọng lượng bản thân.
Dựa vào biểu đồ trên nhận thấy kết quả chuyển vị ngang của khối đất là không đổi, kết quả chuyển vị đứng là thay đổi khi xét hoặc không xét trọng lượng bản thân ( xem Phụ lục 5). Điều này hoàn toàn phù hợp với quy luật và điều kiện chịu lực thực tế của khối đất.