Chương 2: NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA NỀN ĐẤT CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH NẰM NGANG
2.3 Xây dựng bài toán tương tác giữa khối đất với nửa không gian vô hạn đàn hồi
2.3.2 Hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi
Hệ so sánh được dùng là không gian vô hạn đàn hồi với lời giải Kelvin đã được trình bày ở trên. Trong trường hợp này thì việc đầu tiên cần làm là dùng hệ không gian để tính nửa không gian, rồi dùng hệ nửa không gian để tính khối đất như phương án đầu (mục 2.4.1). Trong nội dung nghiên cứu luận án, trình bày các bài toán tương tác động lực học của cọc với nền đất, tác giả sẽ dùng phương án hai (mục 2.4.2), bởi vì chỉ có lời giải giải tích động lực học đối với không gian vô hạn, mà không có lời giải giải tích động lực học đối với nửa không gian vô hạn khi có lực đặt bất kỳ trong nửa không gian.
c P
- Xét trường hợp lực P tác dụng thẳng đứng lên khối đất V nằm trong nửa không gian vô hạn đàn hồi (hình 2.7a).
(a) (b) (c)
Hình 2.7 Mô hình bài toán tính khối đất chịu tác dụng lực thẳng đứng khi dùng hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi
Cho lực P tác dụng lên không gian vô hạn đàn hồi, dùng lời giải Kelvin tính được trạng thái ứng suất σij0 trong nó. Vì hệ cần tính nằm trong nửa không gian cho nên chỉ có thể dùng trạng thái ứng suất nửa dưới của không gian vô hạn (hình 2.7b) để làm hệ so sánh. Tuy nhiên trạng thái ứng suất σij0 của nửa không gian chỉ tương đương với lực P/2, vì vậy phải đặt 2 lực P để tính σij0. Trường hợp lực P đặt sâu so với mặt thoáng thì ta dùng hai lực P đặt đối xứng qua mặt AB ( hình 2.7c). Trường hợp lực đặt trên thì trên bề mặt AB còn có các ứng suất τxz0 và τyz0 tác dụng. Lời giải Mindlin đối với nửa không gian đàn hồi cũng xuất phát từ lời giải Kelvin với sơ đồ tính trên và tìm cách triệt tiêu các ứng suất τxz0 và τyz0 trên bề mặt AB [68].
- Xét trường hợp lực P tác dụng nằm ngang trên khối đất V (hình 2.8a). Mặt AB là mặt thoáng.
(a) (b) (c)
Hình 2.8 Mô hình bài toán tính khối đất chịu tác dụng lực nằm ngang khi dùng hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi
P
A B
Khối đất cần tính
P
Khối đất cần tính
A B
A P B
σij0
σij0
P P c
A c B
τxz0,τyz0 τxz0,τyz0
P P
c
A B A c B
σij0 σij0 σz0
σz0
P
Cho lực ngang P tác dụng lên không gian đàn hồi, dùng lời giải Kelvin tính được trạng thái ứng suất σij0 trong nó. Vì hệ cần tính nằm trong nửa không gian (hình 2.8a) cho nên chỉ có thể dùng nửa dưới của không gian vô hạn (hình 2.8b).
Trạng thái ứng suất σij0 chỉ tương đương với lực P/2 , cho nên phải đặt 2 lực P để tính ứng suất σij0 theo lời giải Kelvin. Trường hợp lực nằm ngang P đặt ở độ sâu c so với mặt thoáng thì dùng hai lực P đặt đối xứng qua bề mặt AB (hình 2.8c). Khi tính sơ đồ trên thì trên bề mặt AB còn có các ứng suất σz0 tác dụng
Lời giải Mindlin đối với nửa không gian đàn hồi khi chịu lực nằm ngang P xuất phát từ lời giải Kelvin với sơ đồ tính như hình 2.8c và tìm cách bảo đảm σz0 = 0 trên bề mặt AB. Lời giải nhận được là lời giải giải tích.
Tác giả luận án sử dụng sơ đồ hình 2.8c để tính σij0. Do có ứng suất σz0tác dụng lên bề mặt AB của nửa dưới cho nên cần xét tác dụng của biến này bằng cách viết lượng cưỡng bức như sau:
ZAB =
⌡⌠ ΩAB
[(σz-σz0)wdΩAB → min (2.55)
với ΩAB là diện tích bề mặt AB.
Ngoài ra còn cần phải đảm bảo điều kiện σz = 0 trên bề mặt AB. Tóm lại, bài toán xác định trạng thái ứng suất của khối đất đàn hồi V khi dùng lời giải Kelvin được viết như sau:
Z = ZV + ZAB → min (2.56)
Với ràng buộc σz = 0 trên mặt AB.
ZV=⌡⌠
V*
(σx-σx0) εxdV* +⌡⌠
V*
(σy-σy0) εydV* +⌡⌠
V*
(σz-σz0) εzdV* +⌡⌠
V*
(τxy-τxy0) γxy dV* +⌡⌠
V*
(τxz-τxz0) γxz dV* +⌡⌠
V*
(τyz-τyz0) γyz dV* → min (2.57) Trong (2.57), V* là thể tích khối đất mở rộng để xét điều kiện biên; V là thể tích khối đất cần tính (V<V*); εij là các biến dạng của khối đất; các ứng suất σx0, σy0, σz0, τxy0, τxz0, τyz0 là trạng thái ứng suất của hệ so sánh xác định theo lời giải Kelvin với hai lực P (hình 2.8c); các ứng suất σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz là trạng thái ứng suất của khối đất của hệ cần tính (hình 2.8a). Bằng cách viết phiếm hàm mở rộng
P/4 P/4
y
P 4
3 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 9 8 7 6 5 4 3 2
11 7 6 5
z
20 19 18 17 16 15 14 13 12
21
10 11 12 13 14 15 16 17 x
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
P/4 P/4
Lagrange, đưa bài toán cực trị có ràng buộc về bài toán cực trị không ràng buộc như
sau: F = ZV +ZAB+ λσz → min (2.58)
λ = λ(x,y) là thừa số Lagrange là hàm ẩn mới của bài toán.