Chương 3 NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN TƯƠNG TÁC GIỮA CỌC VỚI NỀN ĐẤT CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH NẰM NGANG
4.3 Lời giải số của bài toán động lực học
4.3.1 Số liệu trận động đất El Centro, 1940 và biến đổi Fourier rời rạc DFT(Discrete Fourier Transform).
Trận động đất El Centro xảy ra vào ngày 18 tháng 5 năm 1940 ở thung lũng Imperial- đông nam Southern California gần biên giới giữa Hoa Kỳ và Mexico.
Trận động đất này có độ sâu chấn tiêu 24km, độ lớn M=7.0, trạm địa chấn ghi gia tốc đồ nằm cách chấn tâm 48km [14],[33]. Trên hình 4.1 là gia tốc đồ theo hướng Bắc- Nam mà trạm địa chấn ghi được. Giá trị gia tốc bề mặt nền đất có đơn vị là g.
Biểu đồ gồm 1559 giá trị được ghi tại mỗi 0.02s tức là 500 giá trị mỗi giây, gia tốc tại thời điểm t=0 bằng không. Gia tốc ngang cực đại bằng -0.3188g tại thời điểm 2.04s.
Số liệu của trận động đất El Centro 1940 đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước sử dụng làm thông số đầu vào khi nghiên cứu tính toán động đất công trình.
Hình 4.1 Gia tốc đồ theo hướng Bắc- Nam của trận động đất El Centro 1940 [33]
Trong chương này tác giả cũng sử dụng số liệu trên để nghiên cứu bài toán động lực học của móng cọc khi chịu tải trọng động đất.
Khi giải trong miền tần số phải sử dụng biến đổi Fourier dữ liệu của trận động đất trên, tức là biến đổi dữ liệu từ miền thời gian sang miền tần số. Công thức biến đổi Fourier rời rạc (DFT) như sau:
X(k) = ∑
= N
j 1
x(j) sN(t-1)(k-1) (4.20)
trong đó sN = e(-2πi)/N, có thể hiểu x(j) trong miền thời gian; X(k) trong miền tần số.
Để biến đổi Fourier, ta cần xem dải dữ liệu n số liệu có chu kỳ T = n.∆t. Tần số cơ bản đầu tiên là: f1 = 1
T , các tần số ở bậc cao hơn là: fi = if1 = i
T (với i = 2 ÷n).
Tác giả sử dụng hàm biến đổi Fourier nhanh FFT ( Fast Fourier Transform) X = fft(x) trong phần mềm Matlab để tính toán biến đổi trên và nhận được biểu đồ phần thực của gia tốc nền trong miền tần số như hình 4.2a và biểu đồ phần ảo trong miền tần số như hình 4.2b
(a) (b)
Hình 4.2 Biểu đồ phần thực (a); phần ảo (b) của gia tốc nền nằm ngang trong miền tần số theo hướng Bắc- Nam của trận động đất El Centro 1940 sau khi được biến đổi từ miền thời gian sang.
Nhìn vào biểu đồ trên ta thấy giá trị gia tốc nền đối xứng nhau qua điểm giữa của trục tần số, điểm giữa này chính là tần số lớn nhất của phép biến đổi Fourier dùng để tính toán, và người ta gọi là tần số Nyquist[46],[59]:
fN = n 2T
hay ωN = π
∆t
Ngược lại, muốn biến đổi dữ liệu từ miền tần số sang miền thời gian ta sử dụng công thức biến đổi Fourier rời rạc (DFT) như sau:
x(j) = 1 N ∑
= N
k 1
X(k) ωN-(j-1)(k-1) (4.21) Tác giả sử dụng hàm biến đổi Fourier nhanh, ngược IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) X = ifft(x) trong phần mềm Matlab để tính toán biến đổi trên và lại nhận được biểu đồ gia tốc nền trong miền thời gian (hình 4.3) giống như ban đầu (hình 4.1)
Hình 4.3 Biểu đồ gia tốc nền nằm ngang trong miền thời gian theo hướng Bắc- Nam của trận động đất El Centro 1940 sau khi được biến đổi từ miền tần số sang.
4.3.2 Tích phân Duhamel trong miền thời gian và miền tần số
Đối với hệ tuyến tính khi biết phản ứng xung đơn vị h(t) của hệ và lực tác dụng x(t) của hệ thì lời giải động lực học y(t) của hệ được xác định bằng tích phân chập Duhamel:
y(t) = x(t)*h(t) = ∫t
0
x(τ)h(t-τ)dτ ( hoặc = ∫t
0
x(t-τ)h(τ)dτ )) (4.22) Ký hiệu (*) chỉ tích phân chập.
Khi rời rạc hóa tích phân trên được viết như sau [58]:
y(t) = x(t)*h(t) = 1 N ∑−
= 1
0 N
i
x(τ)h(t-τ) (hoặc = 1 N ∑−
= 1
0 N
i
x(t-τ)h(τ)) (4.23) Chuỗi y(t) là điều hòa với chu kỳ N. Khi biến đổi x(t) và h(t) về miền tần số
thì ta có: Cy(f) = Cx(f).Ch(f) (4.24)
Ở đây Cy, Cx và Ch lần lượt là các biến đổi Fourier của y(t); x(t) và h(t) Chứng minh:
Cy(f) = 1 N ∑−
= 1
0 N
m
y(m)wnm
= 1
N2 ∑−
= 1
0 N
m
∑−
= 1
0 N
I
x(i)h(m-i)wnm = 1
N ∑−
= 1
0 N
I
x(i) 1 N ∑−
= 1
0 N
m
h(m-i) wnm
= 1
N ∑−
= 1
0 N
I
x(i)wniCh(f) = Cx(f).Ch(f)
Như vậy, tích phân chập trong miền thời gian trở thành tích thường trong miền tần số.
Do đó để tính tích phân Duhamel trong miền thời gian, thường tính trong miền tần số theo sơ đồ sau:
Hình 4.4 Sơ đồ biến đổi lời giải trong miền tần số [58]
Có thể hiểu sơ đồ trên như sau: Đầu tiên dùng biến đổi Fourier nhanh (FFT) để biến đổi lực tác dụng trong miền thời gian p(t) qua miền tần số Cx(f) và biến đổi phản ứng trong miền thời gian h(t) qua miền tần số Ch(f). Nhân hai kết quả lại với nhau được kết quả trong miền tần số Cy(f) rồi sau đó biến đổi Fourier nhanh, ngược (IFFT) để có kết quả trong miền thời gian y(t).
Cx(f) p(t)
h(t) Ch(f)
Cy(f) IFFT y(t) FFT
FFT
x
Trong luận án này tác giả cũng dựa trên sơ đồ trên để nghiên cứu bài toán tương tác động lực học của cọc trong nền đất khi chịu tải trọng động đất. Tuy nhiên ở đây tác giả sẽ dùng phương pháp như sơ đồ sau để tính.
Hình 4.5 Sơ đồ biến đổi lời giải trong miền tần số theo cách làm của tác giả Đầu tiên dùng biến đổi Fourier nhanh (FFT) để biến đổi lực tác dụng trong miền thời gian p(t) qua miền tần số Cx(f), sau đó sử dụng phương pháp dùng hệ so sánh của PPNLCT Gauss để xác định phổ phản ứng của cọc Ch(f), rồi nhân hai kết quả lại với nhau được kết quả tổng cộng trong miền tần số Cy(f) rồi sau đó biến đổi Fourier nhanh, ngược (IFFT) để có kết quả trong miền thời gian y(t).
Chú ý rằng tích phân chập là đối ngẫu, nghĩa là tích chập trong miền thời gian bằng tích thường trong miền tần số và ngược lại tích chập trong miền tần số bằng tích thường trong miền thời gian.