2.6.1. Mục tiêu của chương “Bất đẳng thức. Bất phương trình”
[5, tr.41-49]
2.6.1.1. Kiến thức
- Biết đƣợc định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức Côsi.
- Biết được khái niệm bất phương trình, nghiệm của bất phương trình.
- Biết khái niệm hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương bất phương trình.
- Hiểu cách giải bất phương trình bậc nhất, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của nó.
- Hiểu đƣợc định lý dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc hai.
52 2.6.1.2. Kỹ năng
- Vận dụng tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức Côsi vào chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và giải quyết các bài toán thực tế.
- Vận dụng định lý dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình và một số bài toán có nội dung thực tiễn có thể quy về giải bất phương trình.
- Biểu diễn được tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
2.6.2. Các câu hỏi kiểm tra chương “Bất đẳng thức. Bất phương trình”
Trong phần này chúng tôi tập trung đƣa ra một số ví dụ về các bài toán PISA liên quan đến nội dung của chương. Hệ thống các câu hỏi đầy đủ của chương sẽ được trình bày trong phụ lục 5.
2.6.2.1. Bài toán “Phân xưởng sản xuất” ( [9], tr. 97)
Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M M1, 2sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Mỗi tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, mỗi tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1trong 1 giờ và máy M2trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy M2một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ.
Câu hỏi thuộc cấp độ1
a) Thủ quỹ của phân xưởng cần chuyển số tiền lãi khi sản xuất 4 tấn sản phẩm loại I và 3,5 tấn sản phẩm loại II cho giám đốc. Tổng số tiền lãi là:
A. 15 triệu đồng C. 13,6 triệu đồng B. 12 triệu đồng D. 14,5 triệu đồng
b) Hãy nối các ý của cột 1 với cột 2 ( x,y là số tấn sản phẩm loại I và loại II) Số tấn sản phẩm loại I và loại II Số tiền lãi thu đƣợc
53 2, 5
y 5 x
25,4 triệu đồng
6, 4 3, 5 x y
18,4 triệu đồng
5, 5 9 x y
13 triệu đồng
c) Gọi x, y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong 1 ngày
x0,y0. Theo giả thiết ta có x, y thỏa mãn hệ phương trình:
3 6
4 0 0 x y x y x y
Hãy vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Câu hỏi thuộc cấp độ 2
d) Tìm x, y sao cho tổng số tiền lãi là cao nhất.
Hướng dẫn chấm:
a) Tổng số tiền lãi là: 4.2 3,5.1, 6 13, 6 (triệu đồng) - Cho điểm tối đa: đáp án C
- Không cho điểm: không trả lời hoặc chọn phương án khác b)
Số tấn sản phẩm loại I và loại II Số tiền lãi thu đƣợc 2, 5
y 5 x
25,4 triệu đồng
6, 4 3, 5 x y
18,4 triệu đồng
5, 5 9 x y
13 triệu đồng
- Cho điểm tối đa: nối đúng nhƣ hình vẽ
- Cho điểm một phần: chƣa nối đúng hoàn toàn
54 - Không cho điểm: nối sai hoặc không làm.
c) Học sinh biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình như hình vẽ. Miền nghiệm của bất phương trình chính là hình tứ giác OAIC kể cả 4 cạnh AI, IC, CO, OA.
- Cho điểm tối đa: vẽ đúng miền nghiệm nhƣ hình vẽ
- Không cho điểm: không vẽ hình hoặc vẽ sai
d) Học sinh cần xác định đƣợc công thức tính tiền lãi là L2x1, 6y(triệu đồng) và chỉ ra đƣợc biểu thức L2x1, 6y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OAIC. Tính giá trị của biểu thức L2x1, 6y tại các đỉnh của tứ giác OAIC thấy L lớn nhất khi x1; y3
- Cho điểm tối đa: kết quả đúng và có giải thích
- Cho điểm một phần: xây dựng đƣợc công thức tính tiền lãi và chỉ ra đƣợc L đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh của tứ giác OAIC.
- Không cho điểm: đáp án sai hoặc không trình bày lời giải.
2.6.2.2. Bài toán “Thuê xe”
Một công ty tổ chức chiến dịch quảng cáo và khuyến mại hàng hóa mới cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Mỗi chiếc xe loại A cho thuê có giá 4 triệu đồng, loại B có giá 3 triệu đồng. Xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng hóa, xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng hóa.
Câu hỏi thuộc cấp độ 1
a) Công ty có thể sử dụng một loại xe để chở hết số người và số hàng hóa được không?
Câu hỏi thuộc cấp độ 2
b) Tính số xe loại A và loại B cần thuê biết các xe đều chở tối đa số người và số tấn hàng hóa.
y x
3
2 4 1 4 6
I
O
A C
55
A. 5 xe loại A và 4 xe loại B C. 3 xe loại A và 7 xe loại B B. 6 xe loại A và 2 xe loại B D. 2 xe loại A và 5 xe loại B
c) Gọi x, y là số xe loại A và B. Dựa vào đề bài, hãy thiết lập hệ bất phương trình theo ẩn x, y.
Câu hỏi thuộc cấp độ 3
d) Cần phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất.
Hướng dẫn chấm:
a) Học sinh có thể tính toán nếu dùng cả 9 xe B thì chở được 90 người và vận chuyển được 13,5 tấn hàng hóa, như vậy sẽ thừa 50 người và thiếu 4,5 tấn hàng.
Nếu dùng cả 10 xe A chở được 200 người và 6 tấn hàng hóa như vậy sẽ thiếu 60 người và thừa 3 tấn hàng.
- Cho điểm tối đa: nếu trả lời “ nếu sử dụng một loại xe thì không chở hết số người và số hàng hóa”
- Không cho điểm: không trả lời hoặc trả lời sai.
b) Gọi x, y là số xe loại A và loại B cần thuê. Theo giả thiết ta có hệ phương trình:
20 10 140 5
0, 6 1,5 9 4
x y x
x y y
- Cho điểm tối đa: đáp án A
- Không cho điểm: không trả lời hoặc đáp án sai.
c) – Cho điểm tối đa: thiết lập được hệ bất phương trình:
20 10 140
0, 6 1, 5 9
0 10
0 9
x y
x y
x y
hoặc
2 14
2 15 30
0 10
0 9
x y
x y
x y
- Không cho điểm: không trả lời hoặc đáp án khác.
d) Để tìm ra số xe cần dùng để chi phí vận chuyển là thấp nhất, học sinh có thể thực hiện theo 2 cách:
56
+ Cách 1: liệt kê các trường hợp số xe tương ứng (x,y), sau đó tính số tiền cần trả tương ứng với số xe đó. Từ đó suy ra trường hợp số xe cần dùng để chi phí thuê xe là nhỏ nhất.
+ Cách 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình của câu c như hình vẽ, cần tìm (x,y) để T x y( , )4x3y là nhỏ nhất. Học sinh chỉ ra T nhỏ nhất đạt tại các đỉnh của tứ giác
ABCD.
Ta có:
(A) 4.5 3.4 32
T (triệu)
( ) 4.10 3.2 46
T B (triệu) ( ) 4.10 3.9 67
T C (triệu) ( ) 4.5 3.9 37
T D 2 (triệu) Vậy T A( )32 triệu là chi phí nhỏ nhất để thuê xe.
- Cho điểm tối đa: đáp án là 5 xe loại A, 4 xe loại B và giải thích đúng.
- Không cho điểm: đáp án sai hoặc đáp án đúng nhƣng không giải thích hoặc không trả lời câu hỏi.