Chương 1: DỮ LIỆU ĐỊA KHÔNG GIAN VÀ LÝ THUYẾT ĐỊA THỐNG KÊ
1.3. Một số đặc trƣng địa thống kê của dữ liệu địa không gian
1.3.3. Bán phương sai thực nghiệm và hàm bán phương sai lý thuyết
Các công thức (1.59) và:
1 2
h 2E Z s Z s h (1.77)
là công thức của bán phương sai theo định nghĩa của lý thuyết xác suất, trên thực tế, chúng ta sẽ phải xác định bán phương sai dựa trên tập số liệu rời rạc được quan trắc
được gắn với hệ quy chiếu tọa độ quy ước. Trong trường hợp này, chỉ xác định được các giá trị bán phương sai thực nghiệm (Experimental Variogram) tương ứng với khoảng cách xét (h) nào đó. Từ công thức (1.77), chúng ta có công thức thực dụng để tính bán phương sai thực nghiệm như sau:
2 1
1 2
N h
i i
i
h Z s Z s h
N h (1.78)
trong đó: N(h) là số cặp giá trị Z(s) và Z(s+h) có vị trí cách nhau cùng một khoảng cách h (cho phép khác nhau trong phạm vi dung sai).
Từ giá trị bán phương sai thực nghiệm, sẽ tính được hệ số tương quan thực nghiệm (Experimental Correlation) ở khoảng cách h nhƣ sau:
1 0
h h
C (1.79) trong đó: C(0) là phương sai.
Nếu sử dụng hệ tọa độ vuông góc phẳng xoy, khoảng cách h giữa hai điểm i,k đƣợc tính theo công thức quen thuộc:
2 2
,
i k k i k i
h x x y y (1.80)
Trong tính toán bán phương sai thực nghiệm, người ta thường chọn các cặp điểm cách nhau một khoảng cách h có dung sai là ∆h/2 chứ không thể chọn các cặp điểm có cùng khoảng cách h một cách đúng tuyệt đối. Khi đó, những cặp điểm thỏa mãn các bất đẳng thức (1.67) đều đƣợc đƣa vào tính toán theo công thức (1.78).
Về kỹ thuật tính toán, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp vòng tròn động bán kính thay đổi với dung sai xác định.
Số khoảng cách (h) và giãn cách giữa các khoảng cách (h) tính toán là vấn đề cần xem xét cho trường hợp cụ thể để có thể khái quát hết được quy luật tương quan không gian của trường dữ liệu. Khoảng cách h tính toán phải đủ lớn để xác định được khoảng cách ảnh hưởng. Dung sai khoảng cách ∆h/2 cần xác lập sao cho số lƣợng cặp điểm chọn đƣợc ở các khoảng cách h không quá ít, không thể tính đƣợc bán phương sai thực nghiệm, hoặc là tính được với độ tin cậy thấp.
Sau khi tính xong chuỗi giá trị bán phương sai thực nghiệm theo các khoảng cách h tăng dần, cần triển lên đồ thị để có thể nhận dạng quy luật biến đổi của nó theo khoảng cách. Dựa vào quy luật biến đổi của bán phương sai thực nghiệm, có thể chọn được hàm bán phương sai lý thuyết phù hợp. Dựa trên phương pháp làm khớp (fitting) hàm lý thuyết với số liệu thực nghiệm chúng ta sẽ xác định đƣợc các tham số của hàm bán phương sai lý thuyết, chúng có vai trò quan trọng trong nội suy Kriging [1].
1.3.3.2. Hàm bán phương sai lý thuyết
Hàm bán phương sai lý thuyết là dạng hàm toán học liên tục được đưa ra để xấp xỉ tốt nhất với các giá trị bán phương sai thực nghiệm, phục vụ cho các tính toán nội suy, làm trơn, dự báo hoặc xây dựng mô hình của trường ngẫu nhiên. Hầu hết các hàm bán phương sai có dạng đường cong, tuy nhiên cũng có trường hợp người ta sử dụng hàm bán phương sai là hàm tuyến tính (đường thẳng) [13]. Sau đây là một số dạng hàm bán phương sai lý thuyết thường được áp dụng:
* Các hàm bán phương sai có hai tham số
Phần lớn các hàm bán phương sai lý thuyết thường dùng là hàm có hai tham số là giá trị ngưỡng c và khoảng cách ảnh hưởng L, như các hàm sau:
- Hàm bán phương sai cầu
Hàm bán phương sai cầu (Spherical) có dạng:
3
1,5 h 0,5 h
g h c
L L nếu h ≤ L (1.81) và g(h) = c nếu h > L
trong đó: h là khoảng cách trễ (lag) chính là biến số của hàm bán phương sai.
Trong hàm bán phương sai cầu có hai tham số cần xác định: c là tham số giá trị ngưỡng (sill), L là tham số khoảng cách ảnh hưởng (rang of influence) hay khoảng cách thực hành (practical range).
- Hàm bán phương sai mũ
Hàm bán phương sai mũ (Exponential) có dạng đơn giản:
. 1 Ex h
g h c p
L (1.82) hoặc có dạng:
. 1 Ex 3h
g h c p
L (1.83) Dạng hàm bán phương sai mũ (1.83) thường được sử dụng nhiều hơn.
- Hàm bán phương sai Gauss
Hàm bán phương sai Gauss (Gaussian) có dạng:
2 2
. 1 Ex 3h
g h c p
L (1.84) - Hàm bán phương sai lũy thừa
Hàm bán phương sai dạng lũy thừa (Power) có dạng:
g(h)=c.hω (1.85) trong (1.85) có hai tham số cần xác định là c và .
* Hàm bán phương sai có ba tham số
Trong một vài tài liệu có giới thiệu dạng hàm bán phương sai có ba tham số.
Trong đó đƣa thêm tham số thứ ba với mục đích làm trơn hơn đồ thị của hàm với các giá trị bán phương sai thực nghiệm.
Hàm bán phương sai có ba tham số có dạng:
0 1 1
. 1 . . .
2 .
v v v
h h
h C h C K
v L L (1.86)
trong đó: δ(h) là delta Kronecker; Kv là hàm Bessel cải biên; Γ là hàm Gamma; v là tham số làm trơn.
Giỏ trị v thường lấy là 1 hoặc ẵ, cũn delta Kronecker được xỏc định bởi:
Đối với hàm bán phương sai ba tham số việc làm khớp sẽ phức tạp hơn, ngay cả khi sử dụng phương pháp làm khớp tự động (xấp xỉ hàm) theo quy trình tính lặp.
Xấp xỉ hàm (Functional Approximation) là phương pháp tính toán dựa trên nguyên lý bình phương nhỏ nhất để xác định các tham số của một hàm lý thuyết Y
= f(X) dựa trên các số liệu thực nghiệm rời rạc, còn được gọi là phương pháp ước lƣợng tham số.
Trong trường hợp giữa hai dãy số liệu thực nghiệm xi và yi đã biết mối quan hệ của chúng dưới dạng một hàm lý thuyết có các tham số cần xác định (ví dụ có 3 tham số a, b, c). Hàm lý thuyết có dạng là:
Y = f(X,a,b,c) (1.88)
Nhiệm vụ là phải xác định các tham số a, b, c của hàm dựa trên chuỗi số liệu quan trắc của biến X và hàm Y là xi và yi với i=1, 2, …, n.
Trước hết phải xác định trị gần đúng của các tham số a, b, c. Ký hiệu trị gần đúng của các tham số a, b, c là a0, b0, c0 và số hiệu chỉnh tương ứng là da, db, dc.
Giữa chúng có quan hệ:
a = a0 + da
b = b0 + db (1.89)
c = c0 + dc
Từ hàm (1.88) và mối quan hệ (1.89) ta có thể viết:
Y = f(X, a0 + da, b0 + db, c0 + dc) (1.90) Nếu các trị gần đúng a0, b0, và c0 đƣợc xác định rất gần với giá trị cần xác định, khi đó da, db, dc là những giá trị nhỏ, từ đó áp dụng khai triển chuỗi Taylor để đưa (1.88) về dạng phương trình số hiệu chỉnh sau:
0 0 0
i i
Y Y Y
v da db dc l
a b c (1.91)
trong đó số hạng tự do li đƣợc tính:
li = f(xi, a0, b0, c0) - yi (1.92) Nếu ký hiệu:
0 i
Y
a ;
0 i
Y
b ;
0 i
Y
c (1.93)
Các phương trình số hiệu chỉnh (1.91) được viết ở dạng tuyến tính:
i i i i i
v da db dc l (1.94)
Hoặc ở dạng ma trận:
V = A.X + L (1.95)
trong đó:
1 2
..
n
v V v
v
;
1 1 1
2 2 2
.. .. ..
n n n
A ;
da X db dc
;
1 2
..
n
l L l
l
(1.96)
Nếu số giá trị quan trắc (n) lớn hơn số tham số (trong trường hợp này là n >
3), ta sẽ xác định da, db, dc theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất. Hệ phương trình chuẩn sẽ là:
ATA.X + ATL = 0 (1.97)
Từ đó ta có lời giải hệ phương trình chuẩn:
X = -(ATA)-1ATL (1.98)
Việc giải hệ phương trình chuẩn (1.97) và tính các tham số a, b, c của hàm xấp xỉ được thực hiện theo quy trình tính toán như đã nêu ở phần trước. Việc tính toán xác định các tham số a, b, c phải tính lặp (nhích dần) cho đến khi trị tuyệt đối của các số hiệu chỉnh da, db, dc khá nhỏ, không lớn hơn (gọi là điều kiện dừng lặp). Việc xác định giá trị gần đúng đầu tiên của các tham số a, b, c không ảnh hưởng đến kết quả xác định tham số mà chỉ ảnh hưởng đến số lần tính lặp. Độ chính xác của tham số phụ thuộc vào giá trị đƣợc chọn khi tính lặp.
Phương pháp xấp xỉ hàm được xử dụng trong nghiên cứu các quy luật tự nhiên dựa trên các số liệu đo đạc hay quan trắc. Các giá trị của hàm đƣợc xác định theo phương pháp xấp xỉ (theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất) là cơ sở có độ tin cậy cần thiết để sử dụng cho tính toán nội suy, mô phỏng hoặc dự báo các quy luật tự nhiên nào đó [1].