Chương 1: DỮ LIỆU ĐỊA KHÔNG GIAN VÀ LÝ THUYẾT ĐỊA THỐNG KÊ
1.4.1. Hệ phương trình Kriging và phân loại Kriging
Giả sử chúng ta có một trường ngẫu nhiên dừng bậc hai với các giá trị quan trắc là Z(s1), Z(s2), …, Z(sn) tại các vị trí si khác nhau (i=1, 2, …, n). Để ƣớc lƣợng một giá trị Z s 0 tại một vị trí s0 dựa vào các giá trị đã biết Z(si), người ta thường sử dụng mô hình tuyến tính dạng:
0 1 n
i i
i
Z s Z s (1.102)
Trong đó: là các hệ số cần đƣợc xác định sao cho ƣớc lƣợng
Z s0 là ƣớc lƣợng không chệch.
Công thức (1.102) có dạng nhƣ công thức trung bình trọng số mà chúng ta đã biết, và có thể viết ở dạng:
0 1 1 2 2 ... n n
Z s Z s Z s Z s (1.103) trong đó coi λ1, λ2, …, λn là các trọng số của n trị đo Z(s1), Z(s2), …, Z(sn) tại n điểm lân cận với điểm cần nội suy.
Như giả thiết ở trên, ở đây người ta coi các giá trị quan trắc Z(s1), Z(s2), …, Z(sn) và cả giá trị hiện thời (actual value) Z(s0) (nếu đƣợc quan trắc) tại điểm cần nội suy là các biến ngẫu nhiên dừng bậc hai có phân phối xác suất nhƣ nhau và kỳ vọng toỏn học là àz. Sự khỏc biệt giữa chỳng chỉ là khoảng cỏch h. Sự khỏc biệt giữa chúng có thể mô tả bằng hàm bán phương sai mũ đơn giản có dạng:
1 Ex h
h c p
L (1.104) Đó chính là mô hình ngẫu nhiên của bài toán ƣớc lƣợng theo (1.101).
Ký hiệu Z s0 là giá trị thực tại điểm cần ƣớc lƣợng, khi đó ta có công thức tính sai số, chính là hiệu số giữa trị ƣớc lƣợng với trị thực:
0 0 0
1 n
i i
i
Z s Z s Z s Z s (1.105)
Rõ ràng là, để tìm một ƣớc lƣợng tốt thì cần phải xác định các hệ số đáp ứng theo các tiêu chuẩn sau:
- Không chệch (Unbiasedness)
- Phương sai tối thiểu (Minimum variance)
Để ƣớc lƣợng là không chệch, thì trị trung bình sai số của các giá trị ƣớc lƣợng phải bằng 0, tức là:
0 0
1 1
. 1 0
n n
i z z i z
i i
E Z s Z s (1.106)
Để àz là giỏ trị trung bỡnh (kỳ vọng của biến ngẫu nhiờn Z(s)), tuy khụng đƣợc xỏc định nhƣng luôn thỏa mãn (1.106) thì cần có điều kiện:
1
1
n i i
(1.107)
Việc áp đặt điều kiện trên đối với ƣớc lƣợng không chệch cho phép chúng ta loại bỏ tham số chƣa biết àz.
Để nhận được phương sai tối thiểu, thì trị trung bình bình phương sai số ước lượng phải là nhỏ nhất. Ở đây chúng ta có thể tính trung bình bình phương sai số theo bán phương sai, nếu chúng ta sử dụng điều kiện (1.107). Sau một vài phép biến đổi đại số, ta có:
0 0
1 1 1
2
n n n
i j i j i i j
i j i
E Z s Z s s s s s (1.108)
trong đó: ký hiệu chuẩn si sj hi j, là khoảng cách hình học giữa điểm i và j.
Nhƣ vậy các giá trị hệ số λi sẽ đƣợc xác định theo điều kiện tối thiểu (1.108) và ràng buộc bởi (1.107). Biểu thức (1.108) gọi là hàm mục tiêu, còn (1.107) gọi là điều kiện ràng buộc [1].
Dẫn đến bài toán tối ưu có ràng buộc với hàm mục tiêu là dạng bình phương kèm theo điều kiện ràng buộc có dạng tuyến tính. Bài toán này có thể giải dễ dàng nhờ nhân tử Lagrange, đó là một phương pháp tối ưu chuẩn trong toán tối ưu. Theo phương pháp này, lời giải tối ưu của ước lượng (nội suy) với các hệ số λ1, λ2, …, λn
phải là nghiệm của hệ thống phương trình Kriging (Kriging System) với điều kiện (1.107) có dạng nhƣ sau [13]:
1 n
i i j i j
j
s s v s s (i=1, 2, …,n) (1.109)
trong đó: v là nhân tử Lagrange hay tham số Lagrange.
Thông thường, người ta thường viết hệ thống phương trình Kriging ở dạng ma trận. Ký hiệu x là véc tơ ẩn số:
1 2
. .
n
x
v
(1.110)
Vế bên phải của (1.109) đƣợc ký hiệu là b:
1 0
2 0
0
. . . 1
n
s s s s
b
s s
(1.111)
Ma trận hệ số A có dạng:
1 2 1
2 1 2
1 2
0 .. 1
0 .. 1
.. .. .. .. ..
.. 0 1
1 1 .. 1 0
n n
n n
s s s s
s s s s
A
s s s s
(1.112)
Nếu ký hiệu Ai,j là các phần tử của ma trận hệ số A, với i là chỉ số dòng và j là chỉ số cột, và tương tự và cũng là các phần tử (dòng – i) của các véc tơ x và b, lưu ý tới tính đối xứng của ma trận A, tức là Aij = Aji hệ phương trình Kriging có thể viết:
1 ij 1 n
j i
j
A x b với i=1, 2, …, n+1 (1.113)
hoặc viết ở dạng ma trận:
A.x = b (1.114) Do giá trị của hàm bán phương sai có giá trị đúng bằng 0 khi khoảng cách h bằng 0, cho nên các phần tử trên đường chéo của ma trận hệ số A có giá trị bằng 0.
Tất cả các lời giải ước lượng bình phương nhỏ nhất không chệch đều dẫn đến lời giải của một hệ phương trình tuyến tính như vậy. Việc giải một hệ phương trình đó không khó, đƣợc thực hiện theo thuật toán tối ƣu Lagrange. Nhƣ vậy ƣớc lƣợng theo phương trình (1.102) hoàn toàn xác định. Thêm vào đó, chúng ta cần ước lượng sai số của lời giải theo phương trình (1.108) và của các giá trị λ1, λ2, …, λn nhận được từ lời giải của hệ phương trình Kriging [1].
Từ (1.109) ta có thể viết:
1 n
j i j i j
j
s s v s s (1.115)
Theo (1.108) chúng ta nhận đƣợc biểu thức thực dụng sau:
2
2
0 0 0 0
1 n
i i
i
E Z s Z s v s s (1.116)
1.4.1.2. Phân loại Kriging
Phương pháp Kriging được phát triển mở rộng theo một số hướng khác nhau nhƣ, tối thiểu hóa điều kiện tiên quyết, phối hợp các số liệu khác loại (Cokriging), bài toán lọc sai số trong dữ liệu, kể cả bài toán ƣớc lƣợng phi tuyến.
Với thuật toán Kriging có một số phương pháp khác nhau như [6], [7], [8], [12], [13]:
1. Kriging đơn giản (Simple Kriging-SK)
2. Kriging thông thường (Ordinary Kriging-OK) 3. Kriging tổng hợp (Universal Kriging-UK) 4. Kriging vững (Robust Kriging)
5. Kriging đánh bóng trung bình (Median Polish Kriging) 6. Kriging chỉ số (Indicator Kriging)
7. Kriging khối (Block Kriging)
8. Kriging phối hợp (Cokriging) v.v…