Chương 1: DỮ LIỆU ĐỊA KHÔNG GIAN VÀ LÝ THUYẾT ĐỊA THỐNG KÊ
1.5.1. Công thức cơ bản của Collocation
Giả thiết có hai tập hợp đại lƣợng ngẫu nhiên [1]:
Tập hợp “trị đo” l1, l2, …, ln, đƣợc biểu thị bởi vecto q- chiều:
1 2 .. q T
l l l l (1.124) và tập hợp “tín hiệu” cần xác định là S1, S2, …, Sm, đƣợc biểu thị bằng vecto m- chiều:
1 2 ... m T
S S S S (1.125) nhƣ vậy các vecto l và S đều là vecto cột.
Giả thiết rằng, các đại lƣợng ngẫu nhiên trên có kỳ vọng toán bằng không, tức là:
E{l} = 0; E{S} = 0 (1.126) Các đại lƣợng có kỳ vọng (giá trị trung bình) bằng 0 đƣợc gọi là các đại lƣợng “đã đƣợc quy tâm” hay đã chuẩn hóa.
Chúng ta xét các ma trận hiệp phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên đó:
- Ma trận hiệp phương sai của vecto ngẫu nhiên trị đo l, là ma trận vuông có kích thước qxq
Cov(l, l) = E(llT) = Cll (1.127) - Ma trận hiệp phương sai chéo giữa vecto trị đo l và véc tơ tín hiệu S có kích thước mxq:
Cov(Sl) = E(SlT) = CSl (1.128) Nhƣ vậy chúng ta chƣa biết quan hệ hàm số giữa véc tơ “tín hiệu” cần tìm S với véc tơ trị đo l mà chỉ biết được “quan hệ” hiệp phương sai chéo giữa chúng thể hiện ở dạng (1.128).
Chúng ta giả thiết rằng các ma trận hiệp phương sai (1.127) và một số ma trận khác bảo đảm là những ma trận có hạng đầy đủ (full rank) theo tiêu chuẩn Gauss-Markov. Dựa trên các dữ liệu đã biết chúng ta phải xác định véc tơ S theo tiêu chí bình phương nhỏ nhất (một kiểu ước lượng tuyến tính bình phương nhỏ nhất).
Ƣớc lƣợng tuyến tính tốt nhất của véc tơ S đƣợc ký hiệu là S, đƣợc viết ở dạng:
.
S H l (1.129)
trong đó H là ma trận cần xác định có kích thước mxq, tức là mỗi thành phần của véc tơ S đƣợc biểu thị là tổ hợp tuyến tính của số liệu đo l.
Với ƣớc lƣợng trên, chúng ta thiết lập véc tơ sai số hay độ lệch giữa ƣớc lƣợng và giá trị đúng của nó.
Véc tơ sai số ε đƣợc xác định qua biểu thức:
S S (1.130)
Từ (1.130) ta có biểu thức xác định ma trận hiệp phương sai của như sau:
T
C Cov E T E S S S S (1.131)
Ma trận Cεε được gọi là ma trận hiệp phương sai sai số, có kích thước (mxm).
Các phần tử trên đường chéo của ma trận này là phương sai K2 của tín hiệu ước lƣợng SK (với k=1, 2, …, m).
2
2
K E K K E SK SK (1.132) Tuân theo lý thuyết tổng quát ƣớc lƣợng thống kê, chúng ta sẽ xác định đánh giá trị tổ hợp tuyến tính tốt nhất S theo l nhƣ là ƣớc lƣợng tuyến tính không chệch với phương sai nhỏ nhất.
Từ (1.130) và (1.129) ta có biểu thức tính ε:
H l. S (1.133) Nhờ các công thức (1.132) và (1.135) chúng ta nhận đƣợc:
T Hl S Hl S T Hl S l HT T ST
= HllTHT – HlST – SlTHT + SST (1.134) Từ đó chúng ta có:
. . .
T T T T T T T
E H E ll H H E lS E Sl H E SS (1.135) Đối chiếu với (1.125), (1.126) và ký hiệu thêm:
E(SST) = CSS và E(lST) = ClS = (1.136) Ta sẽ viết đƣợc (1.135) ở dạng sau:
C H C H. ll. T H C. lS C HSl T CSS (1.137) Biểu thức trên tương đương:
1 1 1 T
SS Sl ll lS Sl ll ll Sl ll
C C C C C H C C C H C C (1.138) Điều này có thể dễ dàng kiểm tra nếu thực hiện phép nhân, nhóm số hạng và lưu ý rằng C Cll1 ll E (E là ma trận đơn vị). Nghịch đảo Cll1 là tồn tại vì chúng ta đã giả tiết rằng tất cả các ma trận hiệp phương sai đều có hạng đầy đủ.
Ma trận (1.138) là tổng của hai ma trận:
A CSS C C CSl ll1 lS (1.139)
và
1 1
T
Sl ll ll Sl ll
B H C C C H C C (1.140) Ma trận A không phụ thuộc vào H và vì thế sẽ nhƣ nhau đối với tất cả các ƣớc lƣợng tuyến tính (1.129).
Có thể chứng minh được rằng ma trận B có các yếu tố trên đường chéo luôn dương và phương sai của ε là tối thiểu khi ma trận B = 0.
Từ điều kiện ma trận B = 0 ta có:
H C CSl ll1 0 (1.141) Suy ra: H C CSl ll1 (1.142)
Thay (1.142) vào (1.129) ta đƣợc:
1
Sl ll
S C C l (1.143) Đây là ước lượng tuyến tính tốt nhất của véc tơ “tín hiệu” dưới dạng hàm tuyến tính của vecto số liệu quan trắc l (tức là ước lượng không chệch với phương sai nhỏ nhất).
Công thức (1.143) được gọi là công thức nội suy bình phương nhỏ nhất, hay nội suy Collocation bình phương nhỏ nhất, cho phép nội suy đại lượng S khác loại với véc tơ đã biết . Công thức này tương tự với công thức dự báo của Kolmogorov-Wiener, khá quen thuộc trong lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.
Tuy nhiên, trong ứng dụng thực tiễn của công thức (1.143), vấn đề mấu chốt lại là xác định ma trận hiệp phương sai Cll của véc tơ trị quan trắc và ma trận hiệp phương sai chéo CSl giữa véc tơ quan trắc và véc tơ tín hiệu cần xác định. Công thức (1.143) được sử dụng để nội suy xác định dị thường độ cao theo dị thường trọng lực trên khu vực xét đã có đủ thông tin để xác định các tham số của hàm hiệp phương sai.lK C C lKl ll1
Trong trường hợp đơn giản hơn, công thức (1.143) được sử dụng để nội suy đại lượng cùng loại dựa trên hàm hiệp phương sai đã xác định. Trong trường hợp này, công thức nội suy Collocation để xác định giá trị cùng loại tại điểm k có dạng:
lK C C lKl ll1 (1.144) trong đó CKl là véc tơ hiệp phương sai giữa điểm cần nội suy với các điểm quan trắc [1], [4].