CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.2. Quy trình mô hình hóa toán học
Năm 1970, Pollak đã đưa ra sơ đồ mô hình hóa đầu tiên về sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa [29].
Sơ đồ 1.1. Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak
Từ sơ đồ ta thấy, tình huống thực tiễn ban đầu được phiên dịch sang tình huống toán học dựa trên ngôn ngữ toán học, rồi giải bài toán trong mô hình đó, và quay lại áp dụng kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu. Chiều các mũi tên biểu thị cho sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học nhiều lần.
Theo Swetz và Hartzler, quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [31]
Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.
Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán học. Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng.
11
Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình.
Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận.
Ví dụ 1.1: Một sợi dây thẳng nằm ngang có chiều dài là L m( ), được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình tròn. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được nhỏ nhất ?
Lời giải
Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.
- Từ đề bài ta vẽ hình minh hoạ tương ứng
Hình 1.1. Hình mô phỏng trong ví dụ 1.1
- Trọng tâm của bài toán: Tổng diện tích hình tam giác và hình tròn phụ thuộc vào việc tính toán phần dây bị cắt đi để tạo thành tam giác đều.
Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán học. Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng.
- Bài toán quy về việc tính toán phần dây để cắt đi sao cho tổng diện tích các hình được tạo thành nhỏ nhất.
12
Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình.
Gọi x là độ dài của cạnh hình tam giác đều.
Chiều dài phần dây làm thành tam giác là 3x.
Chiều dài phần dây làm thành hình tròn là L- 3x 3 2
L x
p
ị - chớnh là bỏn kớnh của đường tròn.
Khi đó ta có: 3 2 2 3 (9 3) 2 6 2
2 4 4
tron tamgiac
x Lx L
L x x
S S S
p p
p p
+ - +
ổ - ửữ
= + = ỗỗỗố ữữữứ + =
Xét f x( )= (9+ p 3)x2- 6Lx+ L2. Ta có
( )
max
: 3
2 9 3
9 3 0
f x parabol b L
x a
a p p
ỡù -
ùù ị = =
ớù = + > +
ùùợ
Do đó ta có 3
9 3
x L
= p
+ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận.
- Từ kết quả bài toán, học sinh hiểu được cách cắt đi phần dây có độ dài như thế nào để thu được các hình trang trí thỏa mãn theo yêu cầu đã định.
- Trong thực tế việc tính toán để cắt phần dây và gấp thành các hình theo yêu cầu còn phụ thuộc vào việc sử dụng chúng để làm việc gì, loại dây to hay nhỏ, việc vận chuyển chúng như thế nào, hay không gian để đặt các hình trang trí đó…
Quy trình mô hình hóa và giải quyết vấn đề có những đặc điểm tương tự nhau, hỗ trợ các học sinh rèn luyện thông qua các phương pháp để phát triển hướng dẫn tư duy của học sinh và thúc đẩy các quá trình siêu nhận thức. Quy
13
trình này là vòng tuần hoàn khép kín vì nó được dùng để mô tả thế thới thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải thích các vấn đề trong thực tiễn; học sinh thường phải quay lại các giai đoạn trước để kiểm tra thông tin hoặc tinh chỉnh các chiến lược. Swetz và Hartzler minh họa quy trình trên theo sơ đồ sau[31]:
Sơ đồ 1.2. Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991.
Chúng ta có thể mô tả mô quá trình mô hình hóa một tình huống nào đó xảy ra với ba giai đoạn: giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn nghiên cứu trên mô hình và giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình.
- Giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn cần đến trí tưởng tưởng, trực giác của học sinh. Nhờ trí tưởng và trực giác học sinh xây dựng mô hình dựa trên các đặc điểm đặc trưng của đối tượng. Mô hình này có thể là mô hình vật chất hoặc liên tưởng tới những mô hình đã có sẵn. Hay nói cách khác, giai đoạn xây dựng mô hình là giai đoạn đi tìm hình mẫu đại diện cho đối tượng.
- Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình, giai đoạn này mô hình phát hiện được ở giai đoạn trước trở thành đối tượng nghiên cứu bằng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau. Đó là quá trình nghiên cứu mô hình có phù hợp với đối tượng ban đầu hay không và đến giai đoạn tiếp theo.
14
- Giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình, giai đoạn này kết quả thu được dựa trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu ban đầu để đối chiếu, dựa vào đó để điều chỉnh mô hình phù hợp với đối tượng.
Hầu hết các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Bloom và Leib (2006) bao gồm 7 bước mô tả quá trình giải quyết nhiệm vụ mô hình hóa. Đặc điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi Bloom cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình hóa[24].
Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006.
Các giai đoạn được thể hiện theo sơ đồ trên như sau:
Giai đoạn 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống, khám phá và thiết lập mục tiêu giải quyết cho tình huống.
Giai đoạn 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô hình thực của tình huống, lựa chọn các biến quan trọng để mô tả tình huống.
Giai đoạn 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán, hay thiết lập mô hình bằng công cụ và ngôn ngữ toán học, mô tả mối quan hệ giữa các biến số.
15
Giai đoạn 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán, phân tích các mối quan hệ giữa các biến để rút ra kết luận
Giai đoạn 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;
Giai đoạn 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2;
Giai đoạn 7: Trình bày cách giải quyết.
Năm 2007, Stillman, Galbraith, Brown đưa ra sơ đồ mô hình hóa mở rộng với sự cải tiến chi tiết của sơ đồ. Bên cạnh việc mô tả quá trình mô hình hóa, Stillman và các cộng sự nhấn mạnh tính chất phản ánh quá trình thông qua mũi tên hai chiều, đồng thời chú ý đến các hoạt động nhận thức của học sinh xảy ra trong suốt quá trình [30].
Sơ đồ 1.4. Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007.
Trong đó: Các mục từ A đến G là các bước của quá trình mô hình hóa, các mũi tên thể hiện sự chuyển đổi giữa các bước. (1) Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống. (2) Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán. (3) Giải toán. (4) Giải thích kết quả toán. (5) So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí. (6) Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận). (7) Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận).
16
Như vậy, hầu hết các quy trình mô hình hóa toán học đều gồm 4 yếu tố chính là: toán học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh. Các yếu tố này mô tả các hoạt động mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình mô hình hóa.
1.1.2.2. Quy trình mô hình hóa toán học
Quy trình mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn.
Sơ đồ 1.5. Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán
Quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây [10]: .
- Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương ứng.
- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán đã được toán học hóa. Để giải được bài toán, học sinh cần phải có
17
phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả.
- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống thực tiễn ban đầu. Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn.
- Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới. Ở bước này, có thể xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn. Khi đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng và kết quả thu được.
Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn. Khi đó, cần tìm hiểu nguyên nhân và hạn chế. Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp.
Ví dụ 1.2: Từ một tấm bìa có hình dạng là nửa hình tròn bán kính 1m. Hãy cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Lời giải
Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn):
Mô phỏng bằng hình vẽ
Hình 1.2. Hình ảnh mô phỏng trong ví dụ 1.2
18
Gọi các điểm A, B, O, D như hình vẽ. Diện tích hình chữ nhật là Bước 2 (Giải bài toán):
Đặt , ( )
Diện tích hình chữ nhật là
Ta có , đặt . Xét
Ta có S lớn nhất khi lớn nhất, mà lớn nhất khi
Nên S lớn nhất khi ,
Bước 3 (Thông hiểu): Học sinh hiểu được vì diện tích S lớn nhất khi , nên cần cắt tấm bìa sao cho cạnh . Để thực hiện ta chỉ cần dựng đoạn OA sao cho , Dựng AC song song với OB (C thuộc nửa đường tròn), Từ C dựng CD song song với AB. Hình chữ nhật cần cắt là ABDC.
Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả):
Trong thực tế hình dạng miếng bìa sử dụng cắt có thể là một hình khác mà khi tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật sẽ gặp khó khăn hơn.
. D S AB A
AB x 0 x 1 BD 2O B2 1x2 2x 1 2
S x
2 4x (12 2)
S x y x 2,(0 y 1) g y( ) 4 (1 y y) 4y24y
( )
g y g y( ) 4 1
2.( 4) 2 y
2
x 2 Smax1
2 x 2 2
AB 2
45 AOB
19
Nói tóm lại, quy trình mô hình hóa toán học được lặp đi lặp lại, được coi là khép kín và được dùng để mô tả các vấn đề thực tiễn và kết quả của bài toán mô hình hóa được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn.
Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình mô hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trường phổ thông [13]. Cơ chế điều chỉnh này được thể hiện qua mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:
Sơ đồ 1.6. Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa
Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau[27]:
- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế;
- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;
- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình MHH;
20
- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tế cũng như tính toán đến sự phức tạp của nó;
- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn;
- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn;
- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng.
Theo tác giả, Nguyễn Danh Nam đưa ra quy trình 7 bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán như sau[10]:
- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xây dựng giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.
- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng, các giả thuyết đã nêu ra ở bước 1.
- Bước 3: Xây dựng bài toán dựa trên các ngôn ngữ toán học để mô tả tình huống thực tế.
- Bước 4: Sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học để giải bài toán.
- Bước 5: Tìm ra được lời giải của bài toán, hiểu ý nghĩa của mô hình toán học đối với tình huống thực tiễn
- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình, kiểm tra tính hợp lý và tính tối ưu của mô hình đã xây dựng.
- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.
Sơ đồ 1.7. Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa
21
Ở đề tài này, tôi vận dụng vào phạm vi và đối tượng giáo viên và học sinh trung học phổ thông, và giới hạn trong nội dung dạy học hàm số, tôi cụ thể hóa các hoạt động thực hiện MHH toán học theo các bước như sau
Giai đoạn 1: Toán học hóa
Học sinh hiểu được vấn đề thực tiễn, xác định các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và thể hiện vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Xác định các khái niệm, các biến số, mối liên hệ giữa các biến, từ đó biểu diễn vấn đề dưới ngôn ngữ toán học. Quá trình này là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học.
Giai đoạn 2: Giải bài toán
Học sinh lựa chọn, sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để xây dựng và giải quyết bài toán, có thể sử dụng sự hỗ trợ của công nghệ thông tin.
Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán
Học sinh hiểu lời giải của bài toán đã được chuyển đổi từ tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu) và hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán
22
trong hoàn cảnh thực tiễn, trong đó cần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống thực tiễn.
Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế
Xem lại các giả thuyết, các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán. Giai đoạn này yêu cầu học sinh phải có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống.
Ví dụ 1.3: (Bài toán ô cửa) Một ô cửa sổ có hình dạng của một hình chữ nhật và một hình bán nguyệt có đường kính bằng chiều rộng hình chữ nhật. (Xem hình vẽ). Nếu chu vi cửa sổ là 20 feet, xác định kích thước của cửa sổ để nhận được nhiều ánh sáng nhất? (chú thích 1 feet = 0,3048m).
Hình 1.3. Hình ô cửa
Bước 1 ( Toán học hóa, tìm hiểu bài toán thực tiễn) Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa bài toán để cửa sổ nhận được nhiều ánh sáng nhất ta cần thiết kế cửa sổ đó sao cho nó có diện tích lớn nhất, với chu vi cửa sổ đã cho là 20 feet. Học sinh đi tính diện tích hình chữ nhật và hình bán nguyệt. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x, chiều dài là y (x, y > 0). Khi đó, bán kính đường tròn là
2 r x .